BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2020 — Matematică-Informatică (Varianta 1)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul a=3+22+13+22a = 3 + 2\sqrt{2} + \dfrac{1}{3 + 2\sqrt{2}} este natural.

Rezolvare

1
3 puncte
a=3+22+3−229−8=a = 3 + 2\sqrt{2} + \dfrac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} =
2
2 puncte
=3+22+3−22=6= 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 6, care este număr natural
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Arătați că (f∘f)(1)=f(2)+2(f \circ f)(1) = f(2) + 2.

Rezolvare

1
3 puncte
(f∘f)(1)=f(f(1))=f(3)=7(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(3) = 7
2
2 puncte
f(2)=5f(2) = 5, deci (f∘f)(1)=f(2)+2(f \circ f)(1) = f(2) + 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x2=3⋅3x9^{x^2} = 3 \cdot 3^x.

Rezolvare

1
2 puncte
32x2=3x+1⇔2x2=x+13^{2x^2} = 3^{x+1} \Leftrightarrow 2x^2 = x + 1
2
3 puncte
2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0, de unde obținem x=−12x = -\dfrac{1}{2} sau x=1x = 1
Exercițiul 4
Determinați numărul natural nenul nn, știind că mulțimea A={1,2,3,…,n}A = \{1, 2, 3, \ldots, n\} are exact 1010 submulțimi cu două elemente.

Rezolvare

1
2 puncte
Numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii AA este Cn2C_n^2
2
3 puncte
n!2!(n−2)!=10⇔n2−n−20=0\dfrac{n!}{2!(n-2)!} = 10 \Leftrightarrow n^2 - n - 20 = 0 și, cum nn este număr natural, obținem n=5n = 5
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(1,0)M(1, 0), N(7,0)N(7, 0) și A(a,3)A(a, 3), unde aa este număr real. Știind că AM=ANAM = AN, arătați că segmentul AOAO are lungimea egală cu 55.

Rezolvare

1
3 puncte
AM=ANAM = AN, deci a=4a = 4
2
2 puncte
A(4,3)A(4, 3), deci AO=32+42=5AO = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5
Exercițiul 6
Se consideră x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) pentru care 3cos⁡x−2=2cos⁡2x3\cos x - 2 = 2\cos 2x. Calculați cos⁡x\cos x.

Rezolvare

1
3 puncte
3cos⁡x−2=4cos⁡2x−2⇔4cos⁡2x−3cos⁡x=0⇔cos⁡x(4cos⁡x−3)=03\cos x - 2 = 4\cos^2 x - 2 \Leftrightarrow 4\cos^2 x - 3\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x(4\cos x - 3) = 0
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem cos⁡x=34\cos x = \dfrac{3}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(12−aaa11a2a−5a−2)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2-a & a \\ a & 1 & 1 \\ a & 2a-5 & a-2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {x+(2−a)y+az=1ax+y+z=2−aax+(2a−5)y+(a−2)z=−4\begin{cases} x + (2 - a)y + az = 1 \\ ax + y + z = 2 - a \\ ax + (2a - 5)y + (a - 2)z = -4 \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=3\det(A(0)) = 3. b) Demonstrați că det⁡(A(a))=(a−1)(a−3)(3a+1)\det(A(a)) = (a - 1)(a - 3)(3a + 1), pentru orice număr real aa. c) Determinați numărul natural aa pentru care sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) și x0x_0, y0y_0, z0z_0 sunt numere naturale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(1200110−5−2)⇒det⁡(A(0))=∣1200110−5−2∣=A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=(−2)+0+0−0−(−5)−0=3= (-2) + 0 + 0 - 0 - (-5) - 0 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(A(a))=∣12−aaa−11−a1−aa2a−5a−2∣=(a−1)∣11−aa+1100aa−52a−2∣=\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 - a & a \\ a - 1 & 1 - a & 1 - a \\ a & 2a - 5 & a - 2 \end{vmatrix} = (a - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 - a & a + 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ a & a - 5 & 2a - 2 \end{vmatrix} =
4
3 puncte
=−(a−1)∣1−aa+1a−52a−2∣=(a−1)(a−1)(3a2−8a−3)=(a−1)(a−3)(3a+1)= -(a - 1) \begin{vmatrix} 1 - a & a + 1 \\ a - 5 & 2a - 2 \end{vmatrix} = (a - 1)(a - 1)(3a^2 - 8a - 3) = (a - 1)(a - 3)(3a + 1), pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Sistemul are soluție unică (x0,y0,z0)⇔det⁡(A(a))≠0(x_0, y_0, z_0) \Leftrightarrow \det(A(a)) \neq 0, deci, pentru a∈Na \in \mathbb{N}, obținem a∈N∖{1,3}a \in \mathbb{N} \setminus \{1, 3\} și, cum x0,y0,z0∈Nx_0, y_0, z_0 \in \mathbb{N} și ax0+y0+z0=2−aax_0 + y_0 + z_0 = 2 - a, obținem 2−a∈N2 - a \in \mathbb{N}
6
2 puncte
a=2a = 2, care nu convine, a=0a = 0 care convine
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=log⁡2(2x+2y)x * y = \log_2\left(2^x + 2^y\right). a) Arătați că 0∗0=10 * 0 = 1. b) Demonstrați că legea de compoziție \u201e∗*\u201d este comutativă. c) Determinați numărul real xx pentru care (x∗x)∗x=3+log⁡23(x * x) * x = 3 + \log_2 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∗0=log⁡2(20+20)=log⁡2(1+1)=0 * 0 = \log_2\left(2^0 + 2^0\right) = \log_2(1 + 1) =
2
2 puncte
=log⁡22=1= \log_2 2 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∗y=log⁡2(2x+2y)=log⁡2(2y+2x)=x * y = \log_2\left(2^x + 2^y\right) = \log_2\left(2^y + 2^x\right) =
4
2 puncte
=y∗x= y * x, pentru orice numere reale xx și yy, deci legea de compoziție \u201e∗*\u201d este comutativă
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x∗x)∗x=log⁡2(2x+2x)∗x=log⁡2(2x+1)∗x=(x+1)∗x=log⁡2(2x+1+2x)=log⁡2(2x⋅3)(x * x) * x = \log_2\left(2^x + 2^x\right) * x = \log_2\left(2^{x+1}\right) * x = (x + 1) * x = \log_2\left(2^{x+1} + 2^x\right) = \log_2\left(2^x \cdot 3\right), unde xx este număr real
6
2 puncte
log⁡2(2x⋅3)=3+log⁡23\log_2(2^x \cdot 3) = 3 + \log_2 3, de unde obținem x=3x = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4−x2+1f(x) = \sqrt{x^4 - x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=x(2x2−1)x4−x2+1f'(x) = \dfrac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că, pentru orice m∈(32,1]m \in \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1\right], ecuația f(x)=mf(x) = m are exact patru soluții reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=4x3−2x2x4−x2+1=f'(x) = \dfrac{4x^3 - 2x}{2\sqrt{x^4 - x^2 + 1}} =
2
2 puncte
=2x(2x2−1)2x4−x2+1=x(2x2−1)x4−x2+1= \dfrac{2x(2x^2 - 1)}{2\sqrt{x^4 - x^2 + 1}} = \dfrac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=1f'(1) = 1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=xy = x
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−12f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}, x=0x = 0 sau x=12x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} și lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, ff este continuă pe R\mathbb{R}, ff este strict descrescătoare pe (−∞,−12)\left(-\infty, -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) și pe (0,12)\left(0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right), ff este strict crescătoare pe (−12,0)\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) și pe (12,+∞)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, +\infty\right) și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
6
2 puncte
Cum f ⁣(−12)=32<mf\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} < m, f(0)=1>mf(0) = 1 > m și f ⁣(12)=32<mf\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} < m, obținem că, pentru orice m∈(32,1]m \in \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1\right], ecuația f(x)=mf(x) = m are exact patru soluții reale
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+5f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 2x + 5}. a) Arătați că ∫12x⋅1f(x) dx=313\displaystyle\int_1^2 x \cdot \dfrac{1}{f(x)}\, dx = \dfrac{31}{3}. b) Arătați că ∫01g(x) dx=12ln⁡85\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{8}{5}, unde g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)+1x2+2x+5g(x) = f(x) + \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫−11x2n−1f(x) dxI_n = \displaystyle\int_{-1}^1 x^{2n-1} f(x)\, dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12x⋅1f(x) dx=∫12(x2+2x+5) dx=(x33+x2+5x)∣12=\displaystyle\int_1^2 x \cdot \dfrac{1}{f(x)}\, dx = \int_1^2 (x^2 + 2x + 5)\, dx = \left. \left(\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 5x\right) \right|_1^2 =
2
2 puncte
=83+4+10−13−1−5=73+8=313= \dfrac{8}{3} + 4 + 10 - \dfrac{1}{3} - 1 - 5 = \dfrac{7}{3} + 8 = \dfrac{31}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01g(x) dx=∫01x+1x2+2x+5 dx=12∫01(x2+2x+5)′x2+2x+5 dx=\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \int_0^1 \dfrac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}\, dx = \dfrac{1}{2} \int_0^1 \dfrac{(x^2 + 2x + 5)'}{x^2 + 2x + 5}\, dx =
4
2 puncte
=12ln⁡(x2+2x+5)∣01=12ln⁡85= \dfrac{1}{2} \left. \ln(x^2 + 2x + 5) \right|_0^1 = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{8}{5}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x2n≥0x^{2n} \geq 0 și x2+2x+5≥4⇒0≤x2nx2+2x+5≤x2n4x^2 + 2x + 5 \geq 4 \Rightarrow 0 \leq \dfrac{x^{2n}}{x^2 + 2x + 5} \leq \dfrac{x^{2n}}{4}, pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1] și orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*
6
3 puncte
0≤∫−11x2n−1f(x) dx≤∫−11x2n4 dx0 \leq \displaystyle\int_{-1}^1 x^{2n-1} f(x)\, dx \leq \int_{-1}^1 \dfrac{x^{2n}}{4}\, dx și, cum ∫−11x2n4 dx=12(2n+1)\displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{x^{2n}}{4}\, dx = \dfrac{1}{2(2n+1)} și lim⁡n→+∞12(2n+1)=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2(2n+1)} = 0, obținem lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2020 — Tehnologic

Următor →

Bac Specială 2020 — Științele Naturii (Varianta 1)

← Înapoi la arhiva completă Bac