BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2020 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 5(1+25)−5=10\sqrt{5}\left(1 + 2\sqrt{5}\right) - \sqrt{5} = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
5(1+25)−5=5+25⋅5−5\sqrt{5}\left(1 + 2\sqrt{5}\right) - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5}
2
2 puncte
=2⋅5=10= 2 \cdot 5 = 10
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1. Arătați că f(1)=f(2)f(1) = f(2).

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=12−3⋅1+1=−1f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1
2
3 puncte
f(2)=22−3⋅2+1=−1f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = -1, deci f(1)=f(2)f(1) = f(2)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2−21)=log⁡54\log_5\left(x^2 - 21\right) = \log_5 4.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−21=4⇒x2−25=0x^2 - 21 = 4 \Rightarrow x^2 - 25 = 0
2
2 puncte
x=−5x = -5 sau x=5x = 5, care convin
Exercițiul 4
După o scumpire cu 10%10\%, un obiect costă 220220 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Rezolvare

1
3 puncte
x+10100⋅x=220x + \dfrac{10}{100} \cdot x = 220, unde xx este prețul inițial al obiectului
2
2 puncte
x=200x = 200 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,8)A(4, 8) și B(0,4)B(0, 4). Știind că punctul MM este mijlocul segmentului ABAB, determinați coordonatele punctului MM.

Rezolvare

1
3 puncte
xM=xA+xB2=2x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} = 2
2
2 puncte
yM=yA+yB2=6y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} = 6
Exercițiul 6
În triunghiul ABCABC, m(∡B)=m(∡C)=60∘m(\measuredangle B) = m(\measuredangle C) = 60^\circ. Calculați cosinusul unghiului AA.

Rezolvare

1
3 puncte
m(∡A)=180∘−60∘−60∘=60∘m(\measuredangle A) = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ
2
2 puncte
cos⁡A=12\cos A = \dfrac{1}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(16−1−4)A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}, B=(1224)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} și O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Arătați că B⋅A+B=O2B \cdot A + B = O_2. c) Determinați numerele naturale nn pentru care det⁡(B+nA)=det⁡B+ndet⁡A\det(B + nA) = \det B + n \det A.

Rezolvare

1
3 puncte
a) det⁡A=∣16−1−4∣=1⋅(−4)−(−1)⋅6\det A = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 6
2
2 puncte
=−4+6=2= -4 + 6 = 2
3
3 puncte
b) B⋅A=(−1−2−2−4)=−(1224)=−BB \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = -B, deci B⋅A+B=O2B \cdot A + B = O_2
4
2 puncte
c) B+nA=(1+n2+6n2−n4−4n)⇒det⁡(B+nA)=2n2−10nB + nA = \begin{pmatrix} 1 + n & 2 + 6n \\ 2 - n & 4 - 4n \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B + nA) = 2n^2 - 10n, pentru orice număr natural nn
5
2 puncte
Cum det⁡B=0\det B = 0, obținem 2n2−10n=2n2n^2 - 10n = 2n
6
1 punct
n=0n = 0 sau n=6n = 6, care convin
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+2y+1x \circ y = x + 2y + 1. a) Arătați că 1∘(−1)=01 \circ (-1) = 0. b) Demonstrați că x∘(−12)=xx \circ \left(-\dfrac{1}{2}\right) = x, pentru orice număr real xx. c) Arătați că legea de compoziție „∘\circ” nu admite element neutru.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∘(−1)=1+2(−1)+11 \circ (-1) = 1 + 2(-1) + 1
2
2 puncte
=1−2+1=0= 1 - 2 + 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘(−12)=x+2⋅(−12)+1x \circ \left(-\dfrac{1}{2}\right) = x + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1
4
2 puncte
=x+(−1)+1=x= x + (-1) + 1 = x, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Presupunem că legea de compoziție „∘\circ” admite elementul neutru e⇒0∘e=e∘0=0e \Rightarrow 0 \circ e = e \circ 0 = 0
6
2 puncte
0∘e=0⇔2e+1=0⇔e=−120 \circ e = 0 \Leftrightarrow 2e + 1 = 0 \Leftrightarrow e = -\dfrac{1}{2}, e∘0=0⇔e+1=0⇔e=−1e \circ 0 = 0 \Leftrightarrow e + 1 = 0 \Leftrightarrow e = -1, contradicție, deci legea de compoziție „∘\circ” nu admite element neutru

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x2+1f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=−2x(x2+1)2f'(x) = \dfrac{-2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)+ln⁡(x2+1)<52f(x) + \ln\left(x^2 + 1\right) < \dfrac{5}{2}, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x(x2+1)−2x(x2+2)(x2+1)2f'(x) = \dfrac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 2)}{\left(x^2 + 1\right)^2}
2
2 puncte
=2x(x2+1−x2−2)(x2+1)2=−2x(x2+1)2= \dfrac{2x(x^2 + 1 - x^2 - 2)}{\left(x^2 + 1\right)^2} = \dfrac{-2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2(1+2x2)x2(1+1x2)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\left(1 + \dfrac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = 1
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=1y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Dacă g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)+ln⁡(x2+1)g(x) = f(x) + \ln(x^2 + 1), atunci g′(x)=−2x(x2+1)2+2xx2+1=2x3(x2+1)2≥0g'(x) = \dfrac{-2x}{\left(x^2 + 1\right)^2} + \dfrac{2x}{x^2 + 1} = \dfrac{2x^3}{\left(x^2 + 1\right)^2} \geq 0, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], deci gg este crescătoare pe [0,1][0, 1], astfel g(x)≤g(1)g(x) \leq g(1), pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
6
2 puncte
Cum g(1)=32+ln⁡2<32+32=52g(1) = \dfrac{3}{2} + \ln 2 < \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}, obținem g(x)<52g(x) < \dfrac{5}{2}, deci f(x)+ln⁡(x2+1)<52f(x) + \ln(x^2 + 1) < \dfrac{5}{2}, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=exx+1f(x) = \dfrac{e^x}{x + 1}. a) Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=e2−1\displaystyle\int_0^2 (x + 1)f(x)\, dx = e^2 - 1. b) Arătați că ∫01f′(x)f(x) dx=1−ln⁡2\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx = 1 - \ln 2. c) Arătați că ∫01f(x) dx+∫01exln⁡(x+1) dx=eln⁡2\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx + \int_0^1 e^x \ln(x + 1)\, dx = e \ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(x+1)f(x) dx=∫02(x+1)⋅exx+1 dx=∫02ex dx=ex∣02\displaystyle\int_0^2 (x + 1)f(x)\, dx = \int_0^2 (x + 1) \cdot \dfrac{e^x}{x + 1}\, dx = \int_0^2 e^x\, dx = \left. e^x \right|_0^2
2
2 puncte
=e2−e0=e2−1= e^2 - e^0 = e^2 - 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣∣01=ln⁡exx+1∣01\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \left. \ln|f(x)| \right|_0^1 = \left. \ln \dfrac{e^x}{x + 1} \right|_0^1
4
2 puncte
=ln⁡e2=1−ln⁡2= \ln \dfrac{e}{2} = 1 - \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01exx+1 dx+∫01exln⁡(x+1) dx=∫01ex(ln⁡(x+1))′ dx+∫01exln⁡(x+1) dx\displaystyle\int_0^1 \dfrac{e^x}{x + 1}\, dx + \int_0^1 e^x \ln(x + 1)\, dx = \int_0^1 e^x (\ln(x + 1))'\, dx + \int_0^1 e^x \ln(x + 1)\, dx
6
2 puncte
=exln⁡(x+1)∣01−∫01exln⁡(x+1) dx+∫01exln⁡(x+1) dx=eln⁡2= \left. e^x \ln(x + 1) \right|_0^1 - \displaystyle\int_0^1 e^x \ln(x + 1)\, dx + \int_0^1 e^x \ln(x + 1)\, dx = e \ln 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2020 — Științele Naturii (Varianta 1)

Următor →

Bac Toamnă 2020 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac