BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2023 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (6−2)(6+2)=2(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
(6−2)(6+2)=(6)2−22=6−4(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4.
2
2 puncte
=6−4=2= 6 - 4 = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Determinați numerele reale aa pentru care f(a)=1−af(a) = 1 - a.

Rezolvare

1
3 puncte
a2+1=1−aa^2 + 1 = 1 - a, deci a2+a=0a^2 + a = 0.
2
2 puncte
a(a+1)=0a(a + 1) = 0, de unde a=−1a = -1 sau a=0a = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x2+4)=log⁡4(6x−4)\log_4(x^2 + 4) = \log_4(6x - 4).

Rezolvare

1
3 puncte
x2+4=6x−4x^2 + 4 = 6x - 4, deci x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0.
2
2 puncte
x=2x = 2 sau x=4x = 4, care convin.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra zecilor se poate alege în 33 moduri (din cifrele impare 1,3,51, 3, 5).
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 55 moduri, deci se pot forma 3⋅5=153 \cdot 5 = 15 numere.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,−5)A(1, -5) și B(5,5)B(5, 5). Determinați distanța de la punctul OO la mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
xM=1+52=3x_M = \frac{1 + 5}{2} = 3 și yM=−5+52=0y_M = \frac{-5 + 5}{2} = 0, unde MM este mijlocul segmentului ABAB.
2
2 puncte
OM=32+02=3OM = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AC=6AC = 6 și tg C=3\text{tg}\,C = \sqrt{3}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 18318\sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
tg C=ABAC\text{tg}\,C = \frac{AB}{AC}, deci AB=AC⋅tg C=63AB = AC \cdot \text{tg}\,C = 6\sqrt{3}.
2
2 puncte
AABC=AC⋅AB2=6⋅632=183\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AC \cdot AB}{2} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(1−aa−3a3a+1)A(a) = \begin{pmatrix} 1 - a & a \\ -3a & 3a + 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=5\det(A(2)) = 5. b) Arătați că A(a)−I2=a(A(1)−I2)A(a) - I_2 = a(A(1) - I_2), pentru orice număr real aa. c) Determinați numărul întreg mm pentru care A(m)⋅A(2m)=A(1)A(m) \cdot A(2m) = A(1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(2)=(−12−67)A(2) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & 7 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(2))=(−1)⋅7−2⋅(−6)=−7+12\det(A(2)) = (-1) \cdot 7 - 2 \cdot (-6) = -7 + 12.
2
2 puncte
=−7+12=5= -7 + 12 = 5.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(a)−I2=(−aa−3a3a)=a(−11−33)A(a) - I_2 = \begin{pmatrix} -a & a \\ -3a & 3a \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}, pentru orice număr real aa.
4
3 puncte
A(1)=(01−34)A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}, deci a(A(1)−I2)=a(−11−33)a(A(1) - I_2) = a \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}, deci A(a)−I2=a(A(1)−I2)A(a) - I_2 = a(A(1) - I_2), pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(m)⋅A(2m)=A(4m2+3m)A(m) \cdot A(2m) = A(4m^2 + 3m), pentru orice număr întreg mm.
6
2 puncte
A(4m2+3m)=A(1)A(4m^2 + 3m) = A(1), deci 4m2+3m=14m^2 + 3m = 1, de unde 4m2+3m−1=04m^2 + 3m - 1 = 0, și cum mm este număr întreg, obținem m=−1m = -1.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+4x \circ y = xy - x - y + 4. a) Arătați că 0∘3=10 \circ 3 = 1. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∘x=3xx \circ x = 3x. c) Determinați numărul real aa, știind că x∘a=x+ax \circ a = x + a, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∘3=0⋅3−0−3+40 \circ 3 = 0 \cdot 3 - 0 - 3 + 4.
2
2 puncte
=0−0−3+4=1= 0 - 0 - 3 + 4 = 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘x=x2−2x+4x \circ x = x^2 - 2x + 4, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
x2−2x+4=3xx^2 - 2x + 4 = 3x, deci x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, de unde obținem x=1x = 1 sau x=4x = 4.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) xa−x−a+4=x+axa - x - a + 4 = x + a, deci xa−2x−2a+4=0xa - 2x - 2a + 4 = 0, pentru orice număr real xx.
6
3 puncte
x(a−2)−2a+4=0x(a - 2) - 2a + 4 = 0, deci x(a−2)−2(a−2)=0x(a - 2) - 2(a - 2) = 0, adică (x−2)(a−2)=0(x - 2)(a - 2) = 0. Cum egalitatea are loc pentru orice număr real xx, obținem a=2a = 2.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2+2x−2)f(x) = e^x(x^2 + 2x - 2). a) Arătați că f′(x)=ex(x2+4x)f'(x) = e^x(x^2 + 4x), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)f′(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{f'(x)} = 1. c) Demonstrați că ex+4(x2+2x−2)≤6e^{x+4}(x^2 + 2x - 2) \leq 6, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=ex(x2+2x−2)+ex(2x+2)f'(x) = e^x(x^2 + 2x - 2) + e^x(2x + 2).
2
2 puncte
=ex(x2+2x−2+2x+2)=ex(x2+4x)= e^x(x^2 + 2x - 2 + 2x + 2) = e^x(x^2 + 4x), x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)f′(x)=lim⁡x→+∞ex(x2+2x−2)ex(x2+4x)=lim⁡x→+∞x2+2x−2x2+4x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(x^2 + 2x - 2)}{e^x(x^2 + 4x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x - 2}{x^2 + 4x}.
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞1+2x−2x21+4x=1= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{4}{x}} = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−4f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -4 sau x=0x = 0. Pentru x∈(−∞,−4]x \in (-\infty, -4], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,−4](-\infty, -4]. Pentru x∈[−4,0]x \in [-4, 0], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−4,0][-4, 0].
6
3 puncte
f(x)≤f(−4)f(x) \leq f(-4) pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0], și cum f(−4)=e−4(16−8−2)=6e4f(-4) = e^{-4}(16 - 8 - 2) = \frac{6}{e^4}, obținem ex(x2+2x−2)≤6e4e^x(x^2 + 2x - 2) \leq \frac{6}{e^4}, deci ex+4(x2+2x−2)≤6e^{x+4}(x^2 + 2x - 2) \leq 6, pentru orice x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3+3xf(x) = x^3 + \frac{3}{x}. a) Arătați că ∫12(f(x)−3x)dx=154\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \frac{3}{x}\right) dx = \frac{15}{4}. b) Demonstrați că orice primitivă G:(0,+∞)→RG : (0, +\infty) \to \mathbb{R} a funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=1x⋅f(x)g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot f(x) este crescătoare. c) Arătați că ∫131f(x) dx=π123\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{f(x)} \, dx = \frac{\pi}{12\sqrt{3}}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−3x)dx=∫12x3 dx=x44∣12\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \frac{3}{x}\right) dx = \int_1^2 x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_1^2.
2
2 puncte
=164−14=154= \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) GG este o primitivă a funcției gg, deci G′(x)=g(x)=1x(x3+3x)G'(x) = g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \left(x^3 + \frac{3}{x}\right), x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
4
3 puncte
1x(x3+3x)>0\frac{1}{\sqrt{x}} \left(x^3 + \frac{3}{x}\right) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci funcția GG este crescătoare.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫131f(x) dx=∫13xx4+3 dx=12∫13(x2)′(x2)2+3 dx=123arctan⁡x23∣13\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{f(x)} \, dx = \int_1^{\sqrt{3}} \frac{x}{x^4 + 3} \, dx = \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{3}} \frac{(x^2)'}{(x^2)^2 + 3} \, dx = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left. \arctan\frac{x^2}{\sqrt{3}} \right|_1^{\sqrt{3}}.
6
2 puncte
=123(arctan⁡33−arctan⁡13)=123(π3−π6)=123⋅π6=π123= \frac{1}{2\sqrt{3}} \left(\arctan\frac{3}{\sqrt{3}} - \arctan\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12\sqrt{3}}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2023 — Matematică-Informatică (Varianta 6)

Următor →

Bac Specială 2023 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac