BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2023 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=10a_1 = 10 și a2=20a_2 = 20.

Rezolvare

1
2 puncte
r=a2−a1=10r = a_2 - a_1 = 10, unde rr este rația progresiei aritmetice
2
3 puncte
a3=a2+r=20+10=30a_3 = a_2 + r = 20 + 10 = 30
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+4f(x) = 2x + 4. Arătați că f(0)+f(1)=10f(0) + f(1) = 10.

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=4f(0) = 4
2
3 puncte
f(1)=6f(1) = 6, deci f(0)+f(1)=4+6=10f(0) + f(1) = 4 + 6 = 10
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−4)=log⁡24\log_2(x - 4) = \log_2 4.

Rezolvare

1
3 puncte
x−4=4x - 4 = 4
2
2 puncte
x=8x = 8, care convine
Exercițiul 4
Un produs costă 8080 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 20%20\%.

Rezolvare

1
2 puncte
20100⋅80=16\frac{20}{100} \cdot 80 = 16 lei
2
3 puncte
Prețul după ieftinire este 80−16=6480 - 16 = 64 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(0,2)M(0, 2) și N(3,6)N(3, 6). Arătați că distanța dintre punctele MM și NN este egală cu 55.

Rezolvare

1
3 puncte
MN=9+16MN = \sqrt{9 + 16}
2
2 puncte
=25=5= \sqrt{25} = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC dreptunghic în AA, cu AB=4AB = 4 și măsura unghiului CC egală cu 45°45°. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 88.

Rezolvare

1
3 puncte
AC=4AC = 4
2
2 puncte
AABC=4⋅42=8\mathcal{A}_{ABC} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(aa+3−12)A(a) = \begin{pmatrix} a & a + 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=9\det(A(2)) = 9. b) Arătați că A(a)+A(−a)=2A(0)A(a) + A(-a) = 2A(0), pentru orice număr real aa. c) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(A(a)⋅A(−1)−aI2)=0\det(A(a) \cdot A(-1) - aI_2) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(2)=(25−12)A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, det⁡(A(2))=2⋅2−5⋅(−1)\det(A(2)) = 2 \cdot 2 - 5 \cdot (-1)
2
2 puncte
=4+5=9= 4 + 5 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(a)+A(−a)=(aa+3−12)+(−a−a+3−12)=(06−24)A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} a & a + 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a & -a + 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=2(03−12)=2A(0)= 2 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 2A(0), pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(a)⋅A(−1)=(−2a−34a+6−12)A(a) \cdot A(-1) = \begin{pmatrix} -2a - 3 & 4a + 6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, deci A(a)⋅A(−1)−aI2=(−3a−34a+6−12−a)A(a) \cdot A(-1) - aI_2 = \begin{pmatrix} -3a - 3 & 4a + 6 \\ -1 & 2 - a \end{pmatrix}, de unde obținem det⁡(A(a)⋅A(−1)−aI2)=3a2+a\det(A(a) \cdot A(-1) - aI_2) = 3a^2 + a, pentru orice număr real aa
6
2 puncte
3a2+a=03a^2 + a = 0, de unde obținem a=−13a = -\frac{1}{3} sau a=0a = 0
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+3X2+mX−4f = X^3 + 3X^2 + mX - 4, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=−4f(0) = -4, pentru orice număr real mm. b) Determinați numărul real mm, știind că −1-1 este rădăcină a polinomului ff. c) Determinați numerele naturale mm pentru care x12+x22+x32>5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 5, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(0)=03+3⋅02+m⋅0−4f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 + m \cdot 0 - 4
2
2 puncte
=0+0+0−4=−4= 0 + 0 + 0 - 4 = -4, pentru orice număr real mm
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(−1)=−m−2f(-1) = -m - 2, pentru orice număr real mm
4
3 puncte
f(−1)=0f(-1) = 0, de unde obținem m=−2m = -2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1+x2+x3=−3x_1 + x_2 + x_3 = -3, x1x2+x2x3+x3x1=mx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = m, deci x12+x22+x32=9−2mx_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 9 - 2m, pentru orice număr natural mm
6
2 puncte
9−2m>59 - 2m > 5 și, cum mm este număr natural, obținem m=0m = 0 sau m=1m = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+4+ln⁡xf(x) = x^2 - 3x + 4 + \ln x. a) Arătați că f′(x)=(2x−1)(x−1)xf'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≤114−ln⁡2f(x) \leq \frac{11}{4} - \ln 2, pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2x−3+1xf'(x) = 2x - 3 + \frac{1}{x}
2
2 puncte
=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x= \frac{2x^2 - 3x + 1}{x} = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=2f(1) = 2, f′(1)=0f'(1) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=2y = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=12f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} sau x=1x = 1; f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(0,12]x \in \left(0, \frac{1}{2}\right], deci ff este crescătoare pe (0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[12,1]x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right], deci ff este descrescătoare pe [12,1]\left[\frac{1}{2}, 1\right]
6
2 puncte
f(x)≤f(12)f(x) \leq f\left(\frac{1}{2}\right), pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1] și, cum f(12)=114−ln⁡2f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{11}{4} - \ln 2, obținem f(x)≤114−ln⁡2f(x) \leq \frac{11}{4} - \ln 2, pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−32,+∞)→Rf : \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right) \to \mathbb{R}, f(x)=ex+62x+3f(x) = e^x + \frac{6}{2x + 3}. a) Arătați că ∫13(f(x)−62x+3)dx=e(e2−1)\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{6}{2x + 3}\right) dx = e(e^2 - 1). b) Arătați că ∫−10(f(x)−ex)dx=3ln⁡3\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(f(x) - e^x\right) dx = 3\ln 3. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:(−32,+∞)→Rg : \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right) \to \mathbb{R}, g(x)=(2x2+3x)⋅f(x)g(x) = (2x^2 + 3x) \cdot f(x), axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 are aria egală cu 2(e+1)2(e + 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫13(f(x)−62x+3)dx=∫13ex dx=ex∣13\displaystyle\int_1^3 \left(f(x) - \frac{6}{2x + 3}\right) dx = \int_1^3 e^x\, dx = \left.e^x\right|_1^3
2
2 puncte
=e3−e=e(e2−1)= e^3 - e = e(e^2 - 1)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫−10(f(x)−ex)dx=∫−1062x+3 dx=3∫−10(2x+3)′2x+3 dx=3ln⁡(2x+3)∣−10\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(f(x) - e^x\right) dx = \int_{-1}^{0} \frac{6}{2x + 3}\, dx = 3\int_{-1}^{0} \frac{(2x + 3)'}{2x + 3}\, dx = 3\ln(2x + 3) \Big|_{-1}^{0}
4
2 puncte
=3(ln⁡3−ln⁡1)=3ln⁡3= 3(\ln 3 - \ln 1) = 3\ln 3
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=(2x2+3x)⋅ex+6xg(x) = (2x^2 + 3x) \cdot e^x + 6x, x∈(−32,+∞)x \in \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right), deci A=∫01∣g(x)∣ dx=∫01((2x2+3x)⋅ex+6x)dx=(2x2+3x)⋅ex∣01−(4x+3)⋅ex∣01+4ex∣01+3x2∣01\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |g(x)|\, dx = \int_0^1 \left((2x^2 + 3x) \cdot e^x + 6x\right) dx = \left.(2x^2 + 3x) \cdot e^x\right|_0^1 - \left.(4x + 3) \cdot e^x\right|_0^1 + \left.4e^x\right|_0^1 + \left.3x^2\right|_0^1
6
2 puncte
=5e−7e+3+4e−4+3=2e+2=2(e+1)= 5e - 7e + 3 + 4e - 4 + 3 = 2e + 2 = 2(e + 1)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2023 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2023 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac