BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2023 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a6a_6 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, cu a1=3a_1 = 3 și a5=23a_5 = 23.

Rezolvare

1
3 puncte
4r=a5−a1=204r = a_5 - a_1 = 20, deci r=5r = 5, unde rr este rația progresiei aritmetice
2
2 puncte
a6=a5+ra_6 = a_5 + r, deci a6=28a_6 = 28
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8. Determinați numărul real mm, știind că punctul A(m,−1)A(m, -1) aparține graficului funcției ff.

Rezolvare

1
3 puncte
f(m)=−1f(m) = -1, de unde obținem m2−6m+9=0m^2 - 6m + 9 = 0
2
2 puncte
m=3m = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x−1=9⋅3x+13^{2x-1} = 9 \cdot 3^{x+1}.

Rezolvare

1
3 puncte
32x−1=3x+33^{2x-1} = 3^{x+3}, de unde obținem 2x−1=x+32x - 1 = x + 3
2
2 puncte
x=4x = 4
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii AA, care au cel mult două elemente.

Rezolvare

1
3 puncte
C51+C52=C_5^1 + C_5^2 =
2
2 puncte
=5+10=15= 5 + 10 = 15
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,1)A(3, 1) și B(4,4)B(4, 4). Determinați coordonatele punctului CC, știind că OA→=BC→\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC}.

Rezolvare

1
3 puncte
OA→=3i⃗+j⃗\overrightarrow{OA} = 3\vec{i} + \vec{j}, BC→=(xC−4)i⃗+(yC−4)j⃗\overrightarrow{BC} = (x_C - 4)\vec{i} + (y_C - 4)\vec{j}
2
2 puncte
xC=7x_C = 7 și yC=5y_C = 5
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=6AB = 6 și înălțimea AD=3AD = 3. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului ABCABC este egală cu 232\sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
Triunghiul ADBADB este dreptunghic în DD, deci BD=33BD = 3\sqrt{3}
2
3 puncte
BC=43BC = 4\sqrt{3}, deci R=23R = 2\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(xxx1x1−1−x−1)A(x) = \begin{pmatrix} x & x & x \\ 1 & x & 1 \\ -1 & -x & -1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=0\det(A(1)) = 0. b) Arătați că A(x)⋅A(y)−A(xy)=(x+y−2)⋅A(0)A(x) \cdot A(y) - A(xy) = (x + y - 2) \cdot A(0), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx și yy pentru care A(−1)⋅A(3)⋅A(x)=A(y)A(-1) \cdot A(3) \cdot A(x) = A(y).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1)=(111111−1−1−1)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣111111−1−1−1∣\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=−1−1−1+1+1+1=0= -1 - 1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)−A(xy)=(000y+x−20y+x−2−y−x+20−y−x+2)A(x) \cdot A(y) - A(xy) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ y + x - 2 & 0 & y + x - 2 \\ -y - x + 2 & 0 & -y - x + 2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(y+x−2)(000101−10−1)=(x+y−2)⋅A(0)= (y + x - 2) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = (x + y - 2) \cdot A(0), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(−1)⋅A(3)⋅A(x)=A(−3)+(x−5)⋅A(0)A(-1) \cdot A(3) \cdot A(x) = A(-3) + (x - 5) \cdot A(0), pentru orice număr real xx
6
3 puncte
A(−3x)+(x−5)⋅A(0)=A(y)A(-3x) + (x - 5) \cdot A(0) = A(y), de unde obținem x=5x = 5 și y=−15y = -15
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X4+2X3−8X2+3mX+mf = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 3mX + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=2m = 2, arătați că f(1)=3f(1) = 3. b) Pentru m=0m = 0, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul rațional mm pentru care polinomul ff are rădăcina x1=1+3x_1 = 1 + \sqrt{3}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f=X4+2X3−8X2+6X+2⇒f(1)=14+2⋅13−8⋅12+6⋅1+2f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 + 6X + 2 \Rightarrow f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 - 8 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 2
2
2 puncte
=1+2−8+6+2=3= 1 + 2 - 8 + 6 + 2 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f=X4+2X3−8X2=X2(X2+2X−8)f = X^4 + 2X^3 - 8X^2 = X^2(X^2 + 2X - 8)
4
3 puncte
Rădăcinile polinomului ff sunt x1=x2=0x_1 = x_2 = 0, x3=−4x_3 = -4, x4=2x_4 = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Polinomul ff are coeficienți raționali, deci x2=1−3x_2 = 1 - \sqrt{3} este rădăcină a polinomului ff
6
3 puncte
x1+x2+x3+x4=−2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -2 și x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=−8x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = -8, unde x3x_3 și x4x_4 sunt celelalte rădăcini ale polinomului ff, de unde obținem x3+x4=−4x_3 + x_4 = -4 și x3x4=2x_3 x_4 = 2 și, cum x1x2x3x4=mx_1 x_2 x_3 x_4 = m, rezultă m=−4m = -4, care convine

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3exx2+x+1f(x) = \dfrac{3e^x}{x^2 + x + 1}. a) Arătați că f′(x)=3ex(x2−x)(x2+x+1)2f'(x) = \dfrac{3e^x(x^2 - x)}{(x^2 + x + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞f(2x)f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(2x)}{f(x)} = +\infty. c) Demonstrați că ecuația f(x)=mf(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m∈(e,3)m \in (e, 3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3ex(x2+x+1)−3ex(2x+1)(x2+x+1)2f'(x) = \dfrac{3e^x(x^2 + x + 1) - 3e^x(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}
2
2 puncte
=3ex(x2+x+1−2x−1)(x2+x+1)2=3ex(x2−x)(x2+x+1)2= \dfrac{3e^x(x^2 + x + 1 - 2x - 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \dfrac{3e^x(x^2 - x)}{(x^2 + x + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) lim⁡x→+∞f(2x)f(x)=lim⁡x→+∞3e2x4x2+2x+1⋅x2+x+13ex\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(2x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3e^{2x}}{4x^2 + 2x + 1} \cdot \dfrac{x^2 + x + 1}{3e^x}
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞(ex⋅x2+x+14x2+2x+1)=lim⁡x→+∞(ex⋅1+1x+1x24+2x+1x2)=+∞= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(e^x \cdot \dfrac{x^2 + x + 1}{4x^2 + 2x + 1}\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(e^x \cdot \dfrac{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{4 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}}\right) = +\infty
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=0f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 sau x=1x = 1; pentru orice x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0); pentru orice x∈(0,1)x \in (0, 1), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare pe (0,1)(0, 1); pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, f(0)=3f(0) = 3, f(1)=ef(1) = e, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și, cum ff este continuă, obținem că ecuația f(x)=mf(x) = m are exact trei soluții, pentru orice m∈(e,3)m \in (e, 3)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=6x+ln⁡(x+1)f(x) = 6x + \ln(x + 1). a) Arătați că ∫12(f(x)−ln⁡(x+1))dx=9\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \ln(x + 1)\right) dx = 9. b) Arătați că ∫0e−1f(x)−6xx+1 dx=12\displaystyle\int_0^{e-1} \dfrac{f(x) - 6x}{x + 1}\, dx = \dfrac{1}{2}. c) Determinați numărul real aa, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2), axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 este egală cu aπ+ln⁡2a\pi + \ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(f(x)−ln⁡(x+1))dx=∫126x dx=3x2∣12\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - \ln(x + 1)\right) dx = \int_1^2 6x\, dx = \left.3x^2\right|_1^2
2
2 puncte
=12−3=9= 12 - 3 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫0e−1f(x)−6xx+1 dx=∫0e−1ln⁡(x+1)⋅(ln⁡(x+1))′ dx=ln⁡2(x+1)2∣0e−1\displaystyle\int_0^{e-1} \dfrac{f(x) - 6x}{x + 1}\, dx = \int_0^{e-1} \ln(x + 1) \cdot (\ln(x + 1))'\, dx = \left.\dfrac{\ln^2(x + 1)}{2}\right|_0^{e-1}
4
2 puncte
=ln⁡2e2−ln⁡212=12= \dfrac{\ln^2 e}{2} - \dfrac{\ln^2 1}{2} = \dfrac{1}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) g(x)=6x2+ln⁡(x2+1)⇒A=∫01∣g(x)∣ dx=∫01g(x) dx=2x3∣01+∫01x′ln⁡(x2+1) dx=2+ln⁡2−∫012x2x2+1 dxg(x) = 6x^2 + \ln(x^2 + 1) \Rightarrow \mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |g(x)|\, dx = \int_0^1 g(x)\, dx = \left.2x^3\right|_0^1 + \int_0^1 x' \ln(x^2 + 1)\, dx = 2 + \ln 2 - \int_0^1 \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\, dx
6
2 puncte
=2+ln⁡2−2x∣01+2arctan⁡x∣01=π2+ln⁡2= 2 + \ln 2 - 2x\big|_0^1 + 2\arctan x\big|_0^1 = \dfrac{\pi}{2} + \ln 2, deci π2+ln⁡2=aπ+ln⁡2\dfrac{\pi}{2} + \ln 2 = a\pi + \ln 2, de unde obținem a=12a = \dfrac{1}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2023 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2023 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac