BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Specială 2024 — Tehnologic (Varianta 9)

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2⋅(3+22)−32+3=7\sqrt{2} \cdot \left(3 + 2\sqrt{2}\right) - 3\sqrt{2} + 3 = 7.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 2⋅(3+22)−32+3=32+22⋅2−32+3\sqrt{2} \cdot \left(3 + 2\sqrt{2}\right) - 3\sqrt{2} + 3 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3.
2
3 puncte
Se obține 32+4−32+3=4+3=73\sqrt{2} + 4 - 3\sqrt{2} + 3 = 4 + 3 = 7.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=3f(m) = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează f(m)=3m−6f(m) = 3m - 6, pentru orice număr real mm.
2
2 puncte
Din condiția 3m−6=33m - 6 = 3 rezultă 3m=93m = 9, de unde obținem m=3m = 3.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 54x−2=525^{4x-2} = 5^2.

Rezolvare

1
3 puncte
Din 54x−2=525^{4x-2} = 5^2 rezultă 4x−2=24x - 2 = 2, de unde obținem 4x=44x = 4.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1.
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este 300300 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30%30\%.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 30100⋅300=90\frac{30}{100} \cdot 300 = 90 de lei.
2
2 puncte
Prețul după ieftinire este 300−90=210300 - 90 = 210 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(5,m)B(5, m) și M(3,4)M(3, 4). Determinați numărul real mm, știind că punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
Se scriu condițiile de mijloc: 3=1+523 = \frac{1 + 5}{2} și 4=1+m24 = \frac{1 + m}{2}.
2
2 puncte
Din 4=1+m24 = \frac{1 + m}{2} rezultă 1+m=81 + m = 8, de unde obținem m=7m = 7.
Exercițiul 6
Arătați că 2(sin⁡45∘+sin⁡30∘)(sin⁡45∘−sin⁡30∘)=cos⁡60∘2\left(\sin 45^\circ + \sin 30^\circ\right)\left(\sin 45^\circ - \sin 30^\circ\right) = \cos 60^\circ.

Rezolvare

1
3 puncte
Se folosesc valorile: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
2
2 puncte
Se calculează 2(22+12)(22−12)=2((22)2−(12)2)=2(24−14)=2⋅14=12=cos⁡60∘2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) = 2\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = 2\left(\frac{2}{4} - \frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(1xx+10)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x+1 & 0 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=0\det(A(0)) = 0. b) Arătați că A(3)+A(5)=2A(4)A(3) + A(5) = 2A(4). c) Determinați numerele naturale nn pentru care det⁡(A(n)+I2)≥0\det(A(n) + I_2) \geq 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(0)=(1010)A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=1⋅0−0⋅1\det(A(0)) = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(0))=0−0=0\det(A(0)) = 0 - 0 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(3)+A(5)=(1340)+(1560)=(28100)A(3) + A(5) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 10 & 0 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se calculează 2A(4)=2(1450)=(28100)2A(4) = 2 \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 10 & 0 \end{pmatrix}, deci A(3)+A(5)=2A(4)A(3) + A(5) = 2A(4).
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează A(n)+I2=(2nn+11)A(n) + I_2 = \begin{pmatrix} 2 & n \\ n+1 & 1 \end{pmatrix} și det⁡(A(n)+I2)=2−n(n+1)\det(A(n) + I_2) = 2 - n(n+1), pentru orice număr natural nn.
6
3 puncte
Din 2−n(n+1)≥02 - n(n+1) \geq 0 rezultă n(n+1)≤2n(n+1) \leq 2 și, cum nn este număr natural, obținem n=0n = 0 și n=1n = 1.
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2+mX−1f = X^3 - 3X^2 + mX - 1, unde mm este număr real. a) Arătați că f(0)=−1f(0) = -1, pentru orice număr real mm. b) Arătați că x1+x2+x3=3x1x2x3x_1 + x_2 + x_3 = 3x_1 x_2 x_3, pentru orice număr real mm, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real mm pentru care polinomul ff este divizibil cu polinomul X−1X - 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f(0)=03−3⋅02+m⋅0−1f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + m \cdot 0 - 1.
2
2 puncte
Se obține f(0)=0−0+0−1=−1f(0) = 0 - 0 + 0 - 1 = -1, pentru orice număr real mm.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Din relațiile lui Viète: x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3.
4
3 puncte
Tot din relațiile lui Viète: x1x2x3=1x_1 x_2 x_3 = 1, de unde obținem x1+x2+x3=3=3⋅1=3x1x2x3x_1 + x_2 + x_3 = 3 = 3 \cdot 1 = 3x_1 x_2 x_3, pentru orice număr real mm.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează f(1)=13−3⋅12+m⋅1−1=1−3+m−1=m−3f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + m \cdot 1 - 1 = 1 - 3 + m - 1 = m - 3, pentru orice număr real mm.
6
3 puncte
Din condiția f(1)=0f(1) = 0 rezultă m−3=0m - 3 = 0, de unde obținem m=3m = 3.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x) = \frac{1 - x^2}{\left(x^2 + 1\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→+∞x⋅f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \cdot f(x) = 1. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se derivează folosind regula câtului: f′(x)=x′⋅(x2+1)−x⋅(x2+1)′(x2+1)2=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2f'(x) = \frac{x' \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=x2+1−2x2(x2+1)2=1−x2(x2+1)2f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞x⋅f(x)=lim⁡x→+∞x2x2+1=lim⁡x→+∞11+1x2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \cdot f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}}.
4
2 puncte
Se obține 11+0=1\frac{1}{1 + 0} = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 rezultă x=−1x = -1 și x=1x = 1. Pentru x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1]. Pentru x∈[−1,1]x \in [-1, 1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [−1,1][-1, 1].
6
2 puncte
Pentru x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2+1)exf(x) = (x^2 + 1)e^x. a) Arătați că ∫01f(x)ex dx=43\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx = \frac{4}{3}. b) Demonstrați că funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=(x2−2x+3)exF(x) = (x^2 - 2x + 3)e^x este o primitivă a funcției ff. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=2x = 2 are aria egală cu 3(e2−1)3(e^2 - 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01f(x)ex dx=∫01(x2+1)exex dx=∫01(x2+1) dx=[x33+x]01\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x}\,dx = \int_0^1 \frac{(x^2 + 1)e^x}{e^x}\,dx = \int_0^1 (x^2 + 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1.
2
2 puncte
Se obține 13+1−0−0=43\frac{1}{3} + 1 - 0 - 0 = \frac{4}{3}.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Funcția FF este derivabilă și F′(x)=(2x−2)ex+(x2−2x+3)ex=(x2+1)exF'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 3)e^x = (x^2 + 1)e^x.
4
2 puncte
Se obține F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice număr real xx, deci funcția FF este o primitivă a funcției ff.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A=∫02∣f(x)∣ dx=∫02(x2+1)ex dx=F(x)∣02=F(2)−F(0)\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^2 |f(x)|\,dx = \int_0^2 (x^2 + 1)e^x\,dx = F(x)\Big|_0^2 = F(2) - F(0).
6
2 puncte
Se obține F(2)−F(0)=(4−4+3)e2−(0−0+3)e0=3e2−3=3(e2−1)F(2) - F(0) = (4 - 4 + 3)e^2 - (0 - 0 + 3)e^0 = 3e^2 - 3 = 3(e^2 - 1).

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2024 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară Rezervă 2024 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac