BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2024 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2⋅(1,2+0,1)+0,4=32 \cdot (1{,}2 + 0{,}1) + 0{,}4 = 3.

Rezolvare

1
2 puncte
2⋅(1,2+0,1)+0,4=2⋅1,3+0,42 \cdot (1{,}2 + 0{,}1) + 0{,}4 = 2 \cdot 1{,}3 + 0{,}4
2
3 puncte
=2,6+0,4=3= 2{,}6 + 0{,}4 = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Determinați numărul real aa pentru care f(a)−f(2)=af(a) - f(2) = a.

Rezolvare

1
2 puncte
f(a)=2a+1f(a) = 2a + 1, f(2)=5f(2) = 5
2
3 puncte
Din 2a+1−5=a2a + 1 - 5 = a se obține a=4a = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8(x2−5x+5)=log⁡8x\log_8(x^2 - 5x + 5) = \log_8 x.

Rezolvare

1
2 puncte
x2−5x+5=xx^2 - 5x + 5 = x, de unde se obține x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1 sau x=5x = 5, care convin
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,3,4,6,8}A = \{1, 3, 4, 6, 8\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în 22 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 2⋅4=82 \cdot 4 = 8 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,8)A(0, 8), B(4,2)B(4, 2) și CC, mijlocul segmentului OAOA. Determinați coordonatele mijlocului segmentului BCBC.

Rezolvare

1
2 puncte
C(0,4)C(0, 4)
2
3 puncte
Mijlocul segmentului BCBC are coordonatele (2,3)(2, 3)
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=8AB = 8 și C=π4C = \frac{\pi}{4}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 3232.

Rezolvare

1
3 puncte
AC=8AC = 8
2
2 puncte
A△ABC=8⋅82=32\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(1313)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} și B(x)=(x−2x−2x−4x)B(x) = \begin{pmatrix} x - 2 & x - 2 \\ x - 4 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(B(5))=12\det(B(5)) = 12. b) Determinați numărul real aa pentru care (B(4)−B(2))⋅A=aA(B(4) - B(2)) \cdot A = aA. c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A⋅B(x)−4xI2)=0\det(A \cdot B(x) - 4xI_2) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) B(5)=(3315)B(5) = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}, det⁡(B(5))=3⋅5−3⋅1\det(B(5)) = 3 \cdot 5 - 3 \cdot 1
2
2 puncte
=15−3=12= 15 - 3 = 12
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(4)−B(2)=(2204)−(00−22)=(2222)B(4) - B(2) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, (B(4)−B(2))⋅A=(412412)=4A(B(4) - B(2)) \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 12 \\ 4 & 12 \end{pmatrix} = 4A
4
2 puncte
Din 4A=aA4A = aA se obține a=4a = 4
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A⋅B(x)=(4x−144x−24x−144x−2)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 4x - 14 & 4x - 2 \\ 4x - 14 & 4x - 2 \end{pmatrix}, A⋅B(x)−4xI2=(−144x−24x−14−2)A \cdot B(x) - 4xI_2 = \begin{pmatrix} -14 & 4x - 2 \\ 4x - 14 & -2 \end{pmatrix}, de unde det⁡(A⋅B(x)−4xI2)=−16x(x−4)\det(A \cdot B(x) - 4xI_2) = -16x(x - 4), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
Din −16x(x−4)=0-16x(x - 4) = 0 se obține x=0x = 0 sau x=4x = 4
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x(x−2)+y(y−2)x \circ y = x(x - 2) + y(y - 2). a) Arătați că 3∘3=63 \circ 3 = 6. b) Determinați numărul real xx pentru care 2∘x=x2+22 \circ x = x^2 + 2. c) Arătați că x∘y≥−2x \circ y \geq -2, pentru orice numere reale xx și yy.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 3∘3=3(3−2)+3(3−2)3 \circ 3 = 3(3 - 2) + 3(3 - 2)
2
2 puncte
=3+3=6= 3 + 3 = 6
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 2∘x=x2−2x2 \circ x = x^2 - 2x și se obține −2x=2-2x = 2
4
2 puncte
x=−1x = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∘y=x2−2x+y2−2yx \circ y = x^2 - 2x + y^2 - 2y
6
3 puncte
=x2−2x+1+y2−2y+1−2=(x−1)2+(y−1)2−2≥−2= x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 - 2 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 \geq -2, pentru orice numere reale xx și yy

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1x−3f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{x} - 3. a) Arătați că f′(x)=xx+1x2f'(x) = \frac{x\sqrt{x} + 1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este bijectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1x+1x2f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}
2
2 puncte
=xx+1x2=xx+1x2= \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x\sqrt{x} + 1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=−2f(1) = -2, f′(1)=2f'(1) = 2
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=2x−4y = 2x - 4
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este strict crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty), deci ff este injectivă
6
3 puncte
lim⁡x→0+f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și ff este continuă, deci ff este surjectivă, de unde se obține că ff este bijectivă
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4xx2+1f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫12(x2+1)f(x) dx=6\displaystyle\int_1^2 (x^2 + 1) f(x) \, dx = 6. b) Arătați că ∫23f(x) dx=2ln⁡2\displaystyle\int_2^3 f(x) \, dx = 2\ln 2. c) Determinați m∈(1,+∞)m \in (1, +\infty) pentru care ∫1m(f(x)x)3dx=6\displaystyle\int_1^m \left(\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^3 dx = 6.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12(x2+1)f(x) dx=∫124x dx=2x2∣12\displaystyle\int_1^2 (x^2 + 1) f(x) \, dx = \int_1^2 4x \, dx = \left. 2x^2 \right|_1^2
2
2 puncte
=8−2=6= 8 - 2 = 6
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫23f(x) dx=∫234xx2+1 dx=2∫23(x2+1)′x2+1 dx=2ln⁡(x2+1)∣23\displaystyle\int_2^3 f(x) \, dx = \int_2^3 \frac{4x}{x^2 + 1} \, dx = 2\int_2^3 \frac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} \, dx = \left. 2\ln(x^2 + 1) \right|_2^3
4
2 puncte
=2ln⁡10−2ln⁡5=2ln⁡2= 2\ln 10 - 2\ln 5 = 2\ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1m(f(x)x)3dx=∫1m64(x+1)3 dx=−32(x+1)2∣1m=−32(m+1)2+8\displaystyle\int_1^m \left(\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\right)^3 dx = \int_1^m \frac{64}{(x + 1)^3} \, dx = \left. -\frac{32}{(x + 1)^2} \right|_1^m = -\frac{32}{(m + 1)^2} + 8
6
2 puncte
Din −32(m+1)2+8=6-\frac{32}{(m + 1)^2} + 8 = 6 și, cum m∈(1,+∞)m \in (1, +\infty), se obține m=3m = 3

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2024 — Tehnologic (Varianta 9)

Următor →

Bac Toamnă 2024 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac