BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2010 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Care dintre numerele 2632\sqrt[3]{6} si 3333\sqrt[3]{3} este mai mare?

Rezolvare

1
2 puncte
263=4832\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{48}
2
2 puncte
333=8133\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{81}
3
1 punct
263<3332\sqrt[3]{6} < 3\sqrt[3]{3}
Exercițiul 2
Determinati multimea valorilor functiei f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=∣x∣f(x) = |x|.

Rezolvare

1
2 puncte
∣x∣≥0|x| \geq 0, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, deci Im f⊂[0,+∞)\text{Im}\, f \subset [0, +\infty)
2
2 puncte
x≥0⇒x=f(x)x \geq 0 \Rightarrow x = f(x), deci [0,+∞)⊂Im f[0, +\infty) \subset \text{Im}\, f
3
1 punct
Im f=[0,+∞)\text{Im}\, f = [0, +\infty)
Exercițiul 3
Determinati m∈Rm \in \mathbb{R} pentru care ecuatia x2−x+m2=0x^2 - x + m^2 = 0 are doua solutii reale egale.

Rezolvare

1
2 puncte
Δ=1−4m2\Delta = 1 - 4m^2
2
1 punct
Ecuatia are doua solutii egale ⇔Δ=0\Leftrightarrow \Delta = 0
3
2 puncte
Δ=0⇔m=±12\Delta = 0 \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}
Exercițiul 4
Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (1+24)41\left(1 + \sqrt[4]{2}\right)^{41}.

Rezolvare

1
2 puncte
Tk+1=C41k⋅24 k=C41k⋅2k/4T_{k+1} = C_{41}^k \cdot \sqrt[4]{2}^{\,k} = C_{41}^k \cdot 2^{k/4}
2
1 punct
Tk+1∈Q⇔4T_{k+1} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow 4 divide kk
3
2 puncte
Sunt 1111 termeni rationali
Exercițiul 5
In sistemul de coordonate xOyxOy se considera punctele A(2,1)A(2,1), B(−2,3)B(-2,3), C(1,−3)C(1,-3) si D(4,a)D(4,a), unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinati a∈Ra \in \mathbb{R} astfel incat dreptele ABAB si CDCD sa fie paralele.

Rezolvare

1
1 punct
mAB=mCDm_{AB} = m_{CD}
2
2 puncte
mAB=−12m_{AB} = -\dfrac{1}{2} si mCD=a+33m_{CD} = \dfrac{a+3}{3}
3
2 puncte
a=−92a = -\dfrac{9}{2}
Exercițiul 6
Fie multimea A={0; π6; π2; π; 3π2}A = \left\{0;\, \dfrac{\pi}{6};\, \dfrac{\pi}{2};\, \pi;\, \dfrac{3\pi}{2}\right\}. Care este probabilitatea ca, alegand un element din multimea AA, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1?

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1, x∈Ax \in A, numai pentru x∈{0; π2}x \in \left\{0;\, \dfrac{\pi}{2}\right\}
2
2 puncte
P=25P = \dfrac{2}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Fie matricea A=(010001a00)∈M3(R)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). Pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, notam Bn=An+An+1+An+2B_n = A^n + A^{n+1} + A^{n+2}. a) Aratati ca A2010=a670⋅I3A^{2010} = a^{670} \cdot I_3. b) Determinati a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care det⁡(B1)=0\det(B_1) = 0. c) Determinati a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care toate matricele BnB_n, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, sunt inversabile.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) A2=(001a000a0)A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \end{pmatrix}
2
2 puncte
A3=aI3A^3 = aI_3
3
2 puncte
A2010=(A3)670=a670I3A^{2010} = (A^3)^{670} = a^{670} I_3
b)5 puncte
4
2 puncte
b) B1=A+A2+A3=(a11aa1aaa)B_1 = A + A^2 + A^3 = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ a & a & 1 \\ a & a & a \end{pmatrix}
5
2 puncte
det⁡(B1)=a(a−1)2\det(B_1) = a(a-1)^2
6
1 punct
det⁡(B1)=0⇔a=0\det(B_1) = 0 \Leftrightarrow a = 0 sau a=1a = 1
c)5 puncte
7
1 punct
c) Bn=An−1B1B_n = A^{n-1} B_1
8
1 punct
BnB_n inversabila ⇔det⁡(Bn)≠0\Leftrightarrow \det(B_n) \neq 0
9
2 puncte
det⁡(Bn)=an(a−1)2\det(B_n) = a^n(a-1)^2
10
1 punct
a∈R∖{0; 1}a \in \mathbb{R} \setminus \{0;\, 1\}
Exercițiul 2
Pe multimea R\mathbb{R} se defineste legea x∗y=2xy−3x−3y+mx * y = 2xy - 3x - 3y + m, m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie multimea M=R∖{32}M = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{3}{2}\right\}. a) Determinati m∈Rm \in \mathbb{R} astfel incat x∗y∈Mx * y \in M, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. b) Pentru m=6m = 6 aratati ca (M,∗)(M, *) este grup. c) Pentru m=6m = 6, demonstrati ca functia f:M→R∗f : M \to \mathbb{R}^*, f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3 este un izomorfism intre grupurile (M,∗)(M, *) si (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot).

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
a) x∗y=2(x−32)(y−32)+32+m−6x * y = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\left(y - \dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2} + m - 6
2
2 puncte
Daca m=6m = 6, atunci ∀x,y∈M\forall x, y \in M rezulta ca x∗y≠32x * y \neq \dfrac{3}{2}, adica x∗y∈Mx * y \in M
3
1 punct
Daca m≠6m \neq 6, atunci 0∗2m−36=320 * \dfrac{2m-3}{6} = \dfrac{3}{2}
4
1 punct
Cum 0,2m−36∈M0, \dfrac{2m-3}{6} \in M rezulta 0∗2m−36∉M0 * \dfrac{2m-3}{6} \notin M, deci m=6m = 6
b)5 puncte
5
1 punct
b) Asociativitatea
6
2 puncte
Elementul neutru este 22
7
2 puncte
Pentru x∈Mx \in M, exista x′=3x−42x−3∈Mx' = \dfrac{3x-4}{2x-3} \in M astfel incat x∗x′=x′∗x=2x * x' = x' * x = 2
c)5 puncte
8
3 puncte
c) Verificarea relatiei f(x∗y)=f(x)⋅f(y)f(x * y) = f(x) \cdot f(y), ∀x,y∈M\forall x, y \in M
9
2 puncte
ff este bijectiva

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−13−2x+13f(x) = \sqrt[3]{2x-1} - \sqrt[3]{2x+1}. a) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei ff in punctul de abscisa x=0x = 0, situat pe graficul functiei ff. b) Determinati ecuatia asimptotei orizontale la graficul functiei ff spre +∞+\infty. c) Calculati lim⁡n→+∞(f(1)+f(2)+…+f(n)−2n+13)2n3\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{f(1) + f(2) + \ldots + f(n)}{-\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{\sqrt[3]{2n}}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=23(2x−1)23−23(2x+1)23f'(x) = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{(2x-1)^2}} - \dfrac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1)^2}}, x≠±12x \neq \pm \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
f(0)=−2f(0) = -2 si f′(0)=0f'(0) = 0
3
1 punct
y+2=0y + 2 = 0
b)5 puncte
4
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
5
2 puncte
y=0y = 0 asimptota orizontala spre +∞+\infty
c)5 puncte
6
2 puncte
c) f(1)+f(2)+…+f(n)=1−2n+13f(1) + f(2) + \ldots + f(n) = 1 - \sqrt[3]{2n+1}
7
1 punct
lim⁡n→∞(1−12n+13)2n+13−2n+13⋅(−2n3)\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{\frac{\sqrt[3]{2n+1}}{-\sqrt[3]{2n+1}} \cdot (-\sqrt[3]{2n})}
8
1 punct
=elim⁡n→∞(−2n32n+13)= e^{\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{\sqrt[3]{2n}}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)}
9
1 punct
=e−1=1e= e^{-1} = \dfrac{1}{e}
Exercițiul 2
Se considera sirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1}, In=∫01xn dxx2+x+1I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n \, dx}{x^2 + x + 1}. a) Calculati I1+I2+I3I_1 + I_2 + I_3. b) Aratati ca sirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1} este descrescator. c) Calculati lim⁡n→+∞In\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) I1+I2+I3=∫01x3+x2+xx2+x+1 dxI_1 + I_2 + I_3 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 + x^2 + x}{x^2 + x + 1}\, dx
2
3 puncte
=∫01x dx=12= \displaystyle\int_0^1 x\, dx = \dfrac{1}{2}
b)5 puncte
3
1 punct
b) 0≤x≤1⇒xn≥xn+10 \leq x \leq 1 \Rightarrow x^n \geq x^{n+1}
4
2 puncte
x2+x+1>0x^2 + x + 1 > 0, ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, deci xnx2+x+1≥xn+1x2+x+1\dfrac{x^n}{x^2 + x + 1} \geq \dfrac{x^{n+1}}{x^2 + x + 1}, ∀x∈[0,1]\forall x \in [0,1]
5
2 puncte
In≥In+1I_n \geq I_{n+1}, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*, adica sirul este descrescator
c)5 puncte
6
2 puncte
c) x2+x+1≥1x^2 + x + 1 \geq 1, ∀x≥0\forall x \geq 0, deci 0≤xnx2+x+1≤xn0 \leq \dfrac{x^n}{x^2 + x + 1} \leq x^n, ∀x∈[0,1]\forall x \in [0,1]
7
2 puncte
0≤In≤∫01xn dx=1n+10 \leq I_n \leq \displaystyle\int_0^1 x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1}
8
1 punct
lim⁡n→∞In=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2010 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2010 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac