BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2010 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinati x∈Zx \in \mathbb{Z} pentru care −1≤x+13≤1-1 \leq \dfrac{x+1}{3} \leq 1.

Rezolvare

1
2 puncte
−1≤x+13≤1⇒−3≤x+1≤3-1 \leq \dfrac{x+1}{3} \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x + 1 \leq 3
2
2 puncte
−4≤x≤2-4 \leq x \leq 2, deci x∈[−4,2]x \in [-4, 2]
3
1 punct
x∈Z⇒x∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2}x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}
Exercițiul 2
Determinati functia de gradul al doilea al carei grafic contine punctele A(0,0)A(0,0), B(2,2)B(2,2), C(−1,2)C(-1,2).

Rezolvare

1
3 puncte
f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu f(0)=0f(0) = 0, f(2)=2f(2) = 2, f(−1)=2f(-1) = 2, deci c=0c = 0, 4a+2b+c=24a + 2b + c = 2, a−b+c=2a - b + c = 2
2
2 puncte
c=0c = 0, a=1a = 1, b=−1b = -1, deci f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x
Exercițiul 3
Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia log⁡2(x+3)−log⁡2x=2\log_2(x+3) - \log_2 x = 2.

Rezolvare

1
1 punct
Conditii: x+3>0x + 3 > 0 si x>0x > 0, deci x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
2
2 puncte
log⁡2x+3x=2⇒x+3x=4\log_2 \dfrac{x+3}{x} = 2 \Rightarrow \dfrac{x+3}{x} = 4
3
2 puncte
x=1∈(0,+∞)x = 1 \in (0, +\infty)
Exercițiul 4
Calculati probabilitatea ca alegand la intamplare un element nn din multimea {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} acesta sa verifice inegalitatea 2n≥n22^n \geq n^2.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
2
1 punct
Cazuri posibile sunt 44
3
2 puncte
Cazuri favorabile sunt 33 (pentru n=1,2,4n = 1, 2, 4)
4
1 punct
p=34p = \dfrac{3}{4}
Exercițiul 5
In sistemul de coordonate xOyxOy se considera punctele A(2,0)A(2,0), B(1,−1)B(1,-1), O(0,0)O(0,0). Determinati coordonatele punctului CC pentru care OC→=2OA→+OB→\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.

Rezolvare

1
3 puncte
2OA→+OB→=4i⃗+i⃗−j⃗=5i⃗−j⃗2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 4\vec{i} + \vec{i} - \vec{j} = 5\vec{i} - \vec{j}
2
2 puncte
C(5,−1)C(5, -1)
Exercițiul 6
Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC in care AB=6AB = 6 si m(∡ACB)=30∘m(\measuredangle ACB) = 30^\circ.

Rezolvare

1
3 puncte
Din teorema sinusului ABsin⁡C=2R\dfrac{AB}{\sin C} = 2R, deci R=AB2sin⁡CR = \dfrac{AB}{2\sin C}
2
2 puncte
R=62⋅12=6R = \dfrac{6}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera matricea A=(100010101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculati determinantul matricei AA. b) Verificati daca A−1=(100010−101)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde A−1A^{-1} este inversa matricei AA. c) Rezolvati ecuatia A⋅X=(111222333)A \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}, X∈M3(R)X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡(A)=∣100010101∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
2
2 puncte
det⁡(A)=1\det(A) = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A⋅A−1=I3A \cdot A^{-1} = I_3 (se verifica prin inmultire)
4
2 puncte
sau A−1⋅A=I3A^{-1} \cdot A = I_3
5
1 punct
Deci A−1=(100010−101)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
c)5 puncte
6
3 puncte
c) X=A−1⋅(111222333)=(100010−101)⋅(111222333)X = A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}
7
2 puncte
=(111222222)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Fie polinomul f∈Z3[X]f \in \mathbb{Z}_3[X], f=X3+2^X2f = X^3 + \hat{2}X^2 si multimea G={g=aX3+bX2+cX+d∣a,b,c,d∈Z3}G = \{g = aX^3 + bX^2 + cX + d \mid a, b, c, d \in \mathbb{Z}_3\}. a) Calculati f(1^)f(\hat{1}). b) Determinati radacinile polinomului ff. c) Determinati numarul elementelor multimii GG.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1^)=1^3+2^⋅1^2f(\hat{1}) = \hat{1}^3 + \hat{2} \cdot \hat{1}^2
2
3 puncte
=1^+2^=0^= \hat{1} + \hat{2} = \hat{0}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f=X2(X+2^)f = X^2(X + \hat{2})
4
3 puncte
Radacinile lui ff sunt 0^\hat{0}, 0^\hat{0} si 1^\hat{1}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Z3={0^,1^,2^}\mathbb{Z}_3 = \{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}\}, deci a,b,c,da, b, c, d pot lua cate trei valori fiecare
6
2 puncte
Deci GG are 34=813^4 = 81 elemente

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:[0,1]→Rf : [0,1] \to \mathbb{R}, f(x)=ex1+xf(x) = \dfrac{e^x}{1+x}. a) Demonstrati ca f′(x)f(x)=xx+1\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{x}{x+1}, oricare ar fi x∈[0,1]x \in [0,1]. b) Demonstrati ca functia ff este crescatoare pe [0,1][0,1]. c) Demonstrati ca 2e≤1f(x)≤1\dfrac{2}{e} \leq \dfrac{1}{f(x)} \leq 1, oricare ar fi x∈[0,1]x \in [0,1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x⋅ex(x+1)2f'(x) = \dfrac{x \cdot e^x}{(x+1)^2}
2
2 puncte
f′(x)f(x)=xx+1\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{x}{x+1}, ∀x∈[0,1]\forall x \in [0,1]
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=x⋅ex(x+1)2≥0f'(x) = \dfrac{x \cdot e^x}{(x+1)^2} \geq 0, ∀x∈[0,1]\forall x \in [0,1]
4
3 puncte
ff este crescatoare pe [0,1][0,1]
c)5 puncte
5
2 puncte
c) 0≤x≤1⇒f(0)≤f(x)≤f(1)0 \leq x \leq 1 \Rightarrow f(0) \leq f(x) \leq f(1)
6
3 puncte
1≤f(x)≤e21 \leq f(x) \leq \dfrac{e}{2}, deci 2e≤1f(x)≤1\dfrac{2}{e} \leq \dfrac{1}{f(x)} \leq 1, ∀x∈[0,1]\forall x \in [0,1]
Exercițiul 2
Se considera functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2+3,pentru x≥12x,pentru x<1f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + 3}, & \text{pentru } x \geq 1 \\ 2x, & \text{pentru } x < 1 \end{cases}. a) Demonstrati ca functia ff admite primitive pe R\mathbb{R}. b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei OxOx a graficului functiei g:[1,2]→Rg : [1,2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x). c) Calculati ∫16x⋅f(x) dx\displaystyle\int_1^{\sqrt{6}} x \cdot f(x)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ls(1)=ld(1)=f(1)=2l_s(1) = l_d(1) = f(1) = 2, deci ff este continua in 11
2
2 puncte
ff continua pe R\mathbb{R}, deci ff admite primitive pe R\mathbb{R}
b)5 puncte
3
1 punct
b) V=π∫12g2(x) dxV = \pi \displaystyle\int_1^2 g^2(x)\, dx
4
3 puncte
=π∫12(x2+3) dx=π(x33+3x)∣12= \pi \displaystyle\int_1^2 (x^2 + 3)\, dx = \pi \left(\dfrac{x^3}{3} + 3x\right)\bigg|_1^2
5
1 punct
=163π= \dfrac{16}{3}\pi
c)5 puncte
6
1 punct
c) ∫16xx2+3 dx\displaystyle\int_1^{\sqrt{6}} x\sqrt{x^2 + 3}\, dx
7
4 puncte
=12∫49t dt=13t3/2∣49=193= \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_4^9 \sqrt{t}\, dt = \dfrac{1}{3} t^{3/2}\bigg|_4^9 = \dfrac{19}{3}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2010 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2010 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac