BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2011 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculati ratia progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, cu termeni pozitivi, daca b1+b2=6b_1 + b_2 = 6 si b3+b4=24b_3 + b_4 = 24.

Rezolvare

1
2 puncte
b3=b1q2b_3 = b_1 q^2, b4=b1q3b_4 = b_1 q^3
2
2 puncte
24=6q224 = 6q^2
3
1 punct
q=2q = 2
Exercițiul 2
Determinati a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(1−a2)x+4f(x) = (1 - a^2)x + 4 este constanta.

Rezolvare

1
3 puncte
1−a2=01 - a^2 = 0
2
2 puncte
a=1a = 1 sau a=−1a = -1
Exercițiul 3
Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatia (32)x<(23)x\left(\dfrac{3}{2}\right)^x < \left(\dfrac{2}{3}\right)^x.

Rezolvare

1
1 punct
(23)x=(32)−x\left(\dfrac{2}{3}\right)^x = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-x}
2
2 puncte
Deoarece 32>1\dfrac{3}{2} > 1, inecuatia devine x<−xx < -x
3
2 puncte
S=(−∞,0)S = (-\infty, 0)
Exercițiul 4
Determinati numarul termenilor rationali ai dezvoltarii (1+2)10(1 + \sqrt{2})^{10}.

Rezolvare

1
2 puncte
Tk+1=C10k⋅2 kT_{k+1} = C_{10}^k \cdot \sqrt{2}^{\,k}, k∈{0,1,…,10}k \in \{0, 1, \ldots, 10\}
2
2 puncte
Tk+1∈Q⇔kT_{k+1} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow k par
3
1 punct
Sunt 66 termeni rationali
Exercițiul 5
Calculati distanta de la punctul A(2,2)A(2,2) la dreapta determinata de punctele B(1,0)B(1,0) si C(0,1)C(0,1).

Rezolvare

1
2 puncte
BC:x+y−1=0BC: x + y - 1 = 0
2
3 puncte
Distanta este ∣2+2−1∣2=32\dfrac{|2 + 2 - 1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}}
Exercițiul 6
Triunghiul ABCABC are masura unghiului AA de 60∘60^\circ, AB=4AB = 4 si AC=5AC = 5. Calculati AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
AB→⋅AC→=AB⋅AC⋅cos⁡A\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A
3
1 punct
=10= 10

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera multimea H={A∈M2(R)∣A2=A}H = \left\{A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid A^2 = A\right\}. a) Aratati ca (1200)∈H\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in H. b) Demonstrati ca, daca A∈HA \in H, atunci An∈HA^n \in H, pentru orice numar natural nenul nn. c) Aratati ca multimea HH este infinita.

Rezolvare

a)5 puncte
1
4 puncte
a) (1200)⋅(1200)=(1200)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
2
1 punct
Asadar (1200)∈H\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in H
b)5 puncte
3
2 puncte
b) (An)2=A2n=(A2)n(A^n)^2 = A^{2n} = (A^2)^n
4
3 puncte
=An= A^n, deci An∈HA^n \in H
c)5 puncte
5
4 puncte
c) Matricele (1x00)\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} apartin lui HH pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
6
1 punct
Deci HH este infinita
Exercițiul 2
Se considera polinomul f=(X+i)10+(X−i)10f = (X + i)^{10} + (X - i)^{10}, avand forma algebrica f=a10X10+a9X9+…+a1X+a0f = a_{10}X^{10} + a_9 X^9 + \ldots + a_1 X + a_0, unde a0,a1,…,a10∈Ca_0, a_1, \ldots, a_{10} \in \mathbb{C}. a) Determinati restul impartirii polinomului ff la X−iX - i. b) Aratati ca toti coeficientii polinomului ff sunt numere reale. c) Demonstrati ca toate radacinile polinomului ff sunt numere reale.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) Restul impartirii polinomului ff la X−iX - i este f(i)f(i)
2
3 puncte
f(i)=(2i)10=−210f(i) = (2i)^{10} = -2^{10}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f=∑k=010C10kX10−kik(1+(−1)k)f = \displaystyle\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k X^{10-k} i^k (1 + (-1)^k)
4
1 punct
a2p+1=0∈Ra_{2p+1} = 0 \in \mathbb{R}, pentru orice p∈{0,1,2,3,4}p \in \{0,1,2,3,4\}
5
2 puncte
a2p=2C102p⋅(−1)p∈Ra_{2p} = 2 C_{10}^{2p} \cdot (-1)^p \in \mathbb{R}, pentru orice p∈{0,1,2,3,4,5}p \in \{0,1,2,3,4,5\}
c)5 puncte
6
3 puncte
c) Daca zz este radacina, atunci (z+i)10=−(z−i)10(z+i)^{10} = -(z-i)^{10}, deci ∣z+i∣=∣z−i∣|z+i| = |z-i|
7
2 puncte
Punctul de afix zz este egal departat de punctele de afixe ±i\pm i, deci apartine axei reale

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se considera functia f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x5−5x+4f(x) = x^5 - 5x + 4. a) Calculati lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}. b) Aratati ca graficul functiei ff are un punct de inflexiune. c) Aratati ca, pentru orice m∈(0,8)m \in (0, 8), ecuatia f(x)=mf(x) = m are exact trei solutii reale distincte.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = f'(2)
2
2 puncte
f′(x)=5x4−5f'(x) = 5x^4 - 5
3
1 punct
f′(2)=75f'(2) = 75
b)5 puncte
4
3 puncte
b) f′′(x)=20x3f''(x) = 20x^3 se anuleaza in 00
5
2 puncte
Deoarece f′′f'' are semne opuse de o parte si de cealalta a lui 00, rezulta ca 00 este punct de inflexiune
c)5 puncte
6
1 punct
c) f′(x)=0⇒x4−1=0⇒x=±1f'(x) = 0 \Rightarrow x^4 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1
7
2 puncte
Tabelul de variatie a functiei ff: f(−1)=8f(-1) = 8, f(1)=0f(1) = 0
8
2 puncte
Deoarece ff este continua, f(−1)=8f(-1) = 8 si f(1)=0f(1) = 0, pentru orice m∈(0,8)m \in (0,8) ecuatia f(x)=mf(x) = m are exact trei solutii reale distincte
Exercițiul 2
Se considera functia g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=e−xg(x) = e^{-x}. a) Calculati ∫01g(x) dx\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx. b) Calculati ∫01x5g(x3) dx\displaystyle\int_0^1 x^5 g(x^3)\, dx. c) Demonstrati ca sirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1} definit prin In=∫1ng(x3) dxI_n = \displaystyle\int_1^n g(x^3)\, dx este convergent.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01g(x) dx=∫01e−x dx=−e−x∣01\displaystyle\int_0^1 g(x)\, dx = \int_0^1 e^{-x}\, dx = -e^{-x}\bigg|_0^1
2
2 puncte
=e−1e= \dfrac{e-1}{e}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Cu schimbarea de variabila x3=tx^3 = t se obtine 13∫01t⋅e−t dt\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 t \cdot e^{-t}\, dt
4
3 puncte
=−13te−t∣01+13∫01e−t dt=e−23e= -\dfrac{1}{3} t e^{-t}\bigg|_0^1 + \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 e^{-t}\, dt = \dfrac{e-2}{3e}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In+1−In=∫nn+1e−x3 dx≥0I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_n^{n+1} e^{-x^3}\, dx \geq 0, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*, deci sirul este crescator
6
2 puncte
0≤In≤∫1ne−x dx=1e−1en<1e0 \leq I_n \leq \displaystyle\int_1^n e^{-x}\, dx = \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e^n} < \dfrac{1}{e}, ∀n∈N∗\forall n \in \mathbb{N}^*, deci sirul este marginit
7
1 punct
Deoarece sirul este monoton si marginit, el este convergent

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2011 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2011 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac