BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2017 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați primul termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a3=10a_3 = 10 și rația r=3r = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
a1=a3−2r=10−6=a_1 = a_3 - 2r = 10 - 6 =
2
2 puncte
=4= 4
Exercițiul 2
Determinați numărul real mm, știind că punctul A(1,3)A(1, 3) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−mx+2mf(x) = x^2 - mx + 2m.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=3⇔1−m+2m=3f(1) = 3 \Leftrightarrow 1 - m + 2m = 3
2
2 puncte
m=2m = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+14=124^x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
4x=14⇔4x=4−14^x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 4^x = 4^{-1}
2
2 puncte
x=−1x = -1
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în 22 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 33 moduri, deci se pot forma 3⋅2=63 \cdot 2 = 6 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,2)A(4, 2) și B(2,4)B(2, 4). Determinați ecuația mediatoarei segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
xM=3x_M = 3 și yM=3y_M = 3, unde MM este mijlocul segmentului ABAB
2
3 puncte
mAB=−1⇒mmediatoare=1m_{AB} = -1 \Rightarrow m_{\text{mediatoare}} = 1, deci ecuația mediatoarei segmentului ABAB este y=xy = x
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic ABCABC care are catetele AB=8AB = 8 și AC=6AC = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
BC=10BC = 10
2
3 puncte
R=5R = 5

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(12x+551)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x + 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(−2))=−4\det(A(-2)) = -4. b) Demonstrați că A(x)+A(−x)=A(2017)+A(−2017)A(x) + A(-x) = A(2017) + A(-2017), pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele reale pp și qq, pentru care A(0)(pq)=(66)A(0) \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(−2)=(1151)⇒det⁡(A(−2))=∣1151∣=A(-2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(-2)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1−5=−4= 1 - 5 = -4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)+A(−x)=(12x+551)+(1−2x+551)=(210102)A(x) + A(-x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x + 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2x + 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 10 \\ 10 & 2 \end{pmatrix}
4
2 puncte
A(2017)+A(−2017)=(210102)=A(x)+A(−x)A(2017) + A(-2017) = \begin{pmatrix} 2 & 10 \\ 10 & 2 \end{pmatrix} = A(x) + A(-x), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(0)(pq)=(1551)(pq)=(p+5q5p+q)A(0) \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p + 5q \\ 5p + q \end{pmatrix}
6
2 puncte
{p+5q=65p+q=6⇔p=q=1\begin{cases} p + 5q = 6 \\ 5p + q = 6 \end{cases} \Leftrightarrow p = q = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+6x+6y+30x \circ y = xy + 6x + 6y + 30. a) Arătați că x∘y=(x+6)(y+6)−6x \circ y = (x + 6)(y + 6) - 6, pentru orice numere reale xx și yy. b) Arătați că e=−5e = -5 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∘\circ\u201d. c) Determinați numărul real xx pentru care x∘(−2017)=2017∘(−6)x \circ (-2017) = 2017 \circ (-6).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘y=xy+6x+6y+36−6=x \circ y = xy + 6x + 6y + 36 - 6 =
2
3 puncte
=x(y+6)+6(y+6)−6=(x+6)(y+6)−6= x(y + 6) + 6(y + 6) - 6 = (x + 6)(y + 6) - 6, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘(−5)=(x+6)(−5+6)−6=xx \circ (-5) = (x + 6)(-5 + 6) - 6 = x
4
3 puncte
(−5)∘x=(−5+6)(x+6)−6=x=x∘(−5)(-5) \circ x = (-5 + 6)(x + 6) - 6 = x = x \circ (-5), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
2 puncte
c) (x+6)(−2017+6)−6=(2017+6)(−6+6)−6(x + 6)(-2017 + 6) - 6 = (2017 + 6)(-6 + 6) - 6
6
3 puncte
x+6=0⇔x=−6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = -6

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡xf(x) = \dfrac{2}{x} + \ln x. a) Arătați că f′(x)=x−2x2f'(x) = \dfrac{x - 2}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că 2x+ln⁡x≥1+ln⁡2\dfrac{2}{x} + \ln x \geq 1 + \ln 2, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(2x)′+(ln⁡x)′=f'(x) = \left(\dfrac{2}{x}\right)' + (\ln x)' =
2
3 puncte
=−2x2+1x=x−2x2= -\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 2}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=2f(1) = 2, f′(1)=−1f'(1) = -1
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=−x+3y = -x + 3
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2
6
2 puncte
x∈(0,2]⇒f′(x)≤0x \in (0, 2] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,2](0, 2]; x∈[2,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [2, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
7
2 puncte
f(x)≥f(2)f(x) \geq f(2) pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) și, cum f(2)=1+ln⁡2f(2) = 1 + \ln 2, obținem 2x+ln⁡x≥1+ln⁡2\dfrac{2}{x} + \ln x \geq 1 + \ln 2, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+22xf(x) = \dfrac{x^2 + 2}{2x}. a) Arătați că ∫122x⋅f(x) dx=133\displaystyle\int_1^2 2x \cdot f(x) \, dx = \dfrac{13}{3}. b) Determinați primitiva FF a funcției ff, pentru care F(1)=1F(1) = 1. c) Demonstrați că 2∫1n(f(x)+x⋅f′(x))dx=n2−1\displaystyle 2\int_1^n \left(f(x) + x \cdot f'(x)\right) dx = n^2 - 1, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫122x⋅f(x) dx=∫122x⋅x2+22x dx=∫12(x2+2) dx=x33+2x∣12=\displaystyle\int_1^2 2x \cdot f(x) \, dx = \int_1^2 2x \cdot \dfrac{x^2 + 2}{2x} \, dx = \int_1^2 (x^2 + 2) \, dx = \left.\dfrac{x^3}{3} + 2x\right|_1^2 =
2
2 puncte
=(83+4)−(13+2)=133= \left(\dfrac{8}{3} + 4\right) - \left(\dfrac{1}{3} + 2\right) = \dfrac{13}{3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=x24+ln⁡x+cF(x) = \dfrac{x^2}{4} + \ln x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
2 puncte
F(1)=1⇒c=34F(1) = 1 \Rightarrow c = \dfrac{3}{4}, deci F(x)=x24+ln⁡x+34F(x) = \dfrac{x^2}{4} + \ln x + \dfrac{3}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 2∫1n(f(x)+x⋅f′(x))dx=2∫1n(x⋅f(x))′ dx=2(x⋅f(x))∣1n=(x2+2)∣1n=\displaystyle 2\int_1^n \left(f(x) + x \cdot f'(x)\right) dx = 2\int_1^n (x \cdot f(x))' \, dx = 2\left.\left(x \cdot f(x)\right)\right|_1^n = \left.(x^2 + 2)\right|_1^n =
6
2 puncte
=(n2+2)−(1+2)=n2−1= (n^2 + 2) - (1 + 2) = n^2 - 1, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2017 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2017 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac