BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2018 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul n=∣1−2∣+∣2−2∣n = |1 - \sqrt{2}| + |2 - \sqrt{2}| este natural.

Rezolvare

1
2 puncte
∣1−2∣=2−1|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1, ∣2−2∣=2−2|2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}
2
3 puncte
n=2−1+2−2=1∈Nn = \sqrt{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} = 1 \in \mathbb{N}
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=11−xf(x) = 11 - x și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=1−11xg(x) = 1 - 11x. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x).

Rezolvare

1
3 puncte
11−x≥1−11x⇔10x≥−1011 - x \geq 1 - 11x \Leftrightarrow 10x \geq -10
2
2 puncte
x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x⋅2x+1=723^x \cdot 2^{x+1} = 72.

Rezolvare

1
3 puncte
(3⋅2)x⋅2=72⇔6x=36(3 \cdot 2)^x \cdot 2 = 72 \Leftrightarrow 6^x = 36
2
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra sutelor se poate alege în 55 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în 44 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, cifra unităților se poate alege în 33 moduri, deci se pot forma 5⋅4⋅3=605 \cdot 4 \cdot 3 = 60 de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−3,3)A(-3, 3), B(1,3)B(1, 3) și C(1,5)C(1, 5). Calculați aria triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=4AB = 4, BC=2BC = 2
2
3 puncte
△ABC\triangle ABC este dreptunghic în BB, deci A△ABC=2⋅42=4\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 4
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris △ABC\triangle ABC, știind că BC=4BC = 4, B=π3B = \dfrac{\pi}{3} și C=π6C = \dfrac{\pi}{6}.

Rezolvare

1
2 puncte
A=π−(π3+π6)=π2A = \pi - \left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{2}
2
3 puncte
R=BC2=2R = \dfrac{BC}{2} = 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1x−2001000ex−2)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{x-2} \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(2))=1\det(A(2)) = 1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(x+y−2)A(x) \cdot A(y) = A(x + y - 2), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale mm pentru care A(1)⋅A(2)⋅A(3)⋯A(10)=A(m2+m+17)A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) \cdots A(10) = A(m^2 + m + 17).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(2)=(10001000e0)⇒det⁡(A(2))=∣100010001∣=A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
2 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(1y−2+x−2001000ex−2⋅ey−2)=A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & y - 2 + x - 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{x-2} \cdot e^{y-2} \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(1x+y−4001000ex+y−4)=A(x+y−2)= \begin{pmatrix} 1 & x + y - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e^{x+y-4} \end{pmatrix} = A(x + y - 2), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1)⋅A(2)⋯A(10)=A(1+2+…+10−2⋅9)=A(37)⇒m2+m+17=37⇔m2+m−20=0A(1) \cdot A(2) \cdots A(10) = A(1 + 2 + \ldots + 10 - 2 \cdot 9) = A(37) \Rightarrow m^2 + m + 17 = 37 \Leftrightarrow m^2 + m - 20 = 0
6
2 puncte
m=−5m = -5 sau m=4m = 4
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−4X2+5X+af = X^3 - 4X^2 + 5X + a, unde aa este număr real. a) Arătați că f(1)−f(−1)=12f(1) - f(-1) = 12. b) Determinați numărul real aa, știind că polinomul ff este divizibil cu polinomul X−2X - 2. c) Determinați numărul real aa, știind că toate rădăcinile polinomului ff sunt numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(1)=a+2f(1) = a + 2
2
3 puncte
f(−1)=a−10⇒f(1)−f(−1)=a+2−a+10=12f(-1) = a - 10 \Rightarrow f(1) - f(-1) = a + 2 - a + 10 = 12
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Polinomul ff este divizibil cu polinomul X−2⇔f(2)=0X - 2 \Leftrightarrow f(2) = 0
4
3 puncte
f(2)=a+2f(2) = a + 2, deci a=−2a = -2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, x1x2+x1x3+x2x3=5x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 5
6
3 puncte
x1,x2,x3∈Zx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{Z} și x12+x22+x32=6x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 6, deci pătratele rădăcinilor sunt 11, 11 și 44; cum x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4, obținem rădăcinile 11, 11 și 22, deci a=−2a = -2, care convine

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x⋅ln⁡xf(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot \ln x. a) Arătați că f′(x)=2−ln⁡x2xxf'(x) = \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției ff, în care tangenta la graficul funcției ff este perpendiculară pe axa OyOy. c) Demonstrați că 23<322^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=−12⋅1xx⋅ln⁡x+1x⋅1x=f'(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x\sqrt{x}} \cdot \ln x + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{x} =
2
2 puncte
=−ln⁡x2xx+1xx=2−ln⁡x2xx= -\dfrac{\ln x}{2x\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x\sqrt{x}} = \dfrac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Tangenta la graficul funcției ff în punctul (a,f(a))(a, f(a)) este perpendiculară pe axa Oy⇔f′(a)=0Oy \Leftrightarrow f'(a) = 0
4
2 puncte
2−ln⁡a=0⇔a=e22 - \ln a = 0 \Leftrightarrow a = e^2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(0,e2)x \in (0, e^2), deci ff este strict crescătoare pe (0,e2)(0, e^2)
6
3 puncte
0<2<3<e2⇒f(2)<f(3)⇒12ln⁡2<13ln⁡3⇒3ln⁡2<2ln⁡30 < 2 < 3 < e^2 \Rightarrow f(2) < f(3) \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ln 2 < \dfrac{1}{\sqrt{3}} \ln 3 \Rightarrow \sqrt{3} \ln 2 < \sqrt{2} \ln 3, deci 23<322^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x−x2f(x) = 4x - x^2. a) Arătați că ∫03f(x) dx=9\displaystyle\int_0^3 f(x) \, dx = 9. b) Arătați că ∫122−xf(x) dx=12ln⁡43\displaystyle\int_1^2 \dfrac{2 - x}{f(x)} \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{4}{3}. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn, se consideră numărul In=∫04fn(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^4 f^n(x) \, dx. Demonstrați că In+1≤4InI_{n+1} \leq 4I_n, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫03(4x−x2) dx=(2x2−x33)∣03=\displaystyle\int_0^3 (4x - x^2) \, dx = \left.\left(2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right)\right|_0^3 =
2
2 puncte
=18−9=9= 18 - 9 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫122−x4x−x2 dx=12∫122(2−x)x(4−x) dx=12ln⁡(4x−x2)∣12=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{2 - x}{4x - x^2} \, dx = \dfrac{1}{2} \int_1^2 \dfrac{2(2 - x)}{x(4 - x)} \, dx = \left.\dfrac{1}{2} \ln(4x - x^2)\right|_1^2 =
4
2 puncte
=12ln⁡4−12ln⁡3=12ln⁡43= \dfrac{1}{2} \ln 4 - \dfrac{1}{2} \ln 3 = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{4}{3}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) In+1−4In=∫04fn+1(x) dx−4∫04fn(x) dx=∫04fn(x)(4x−x2−4) dx=−∫04fn(x)(x−2)2 dxI_{n+1} - 4I_n = \displaystyle\int_0^4 f^{n+1}(x) \, dx - 4\int_0^4 f^n(x) \, dx = \int_0^4 f^n(x)(4x - x^2 - 4) \, dx = -\int_0^4 f^n(x)(x - 2)^2 \, dx
6
2 puncte
f(x)≥0f(x) \geq 0, pentru orice x∈[0,4]⇒fn(x)(x−2)2≥0x \in [0, 4] \Rightarrow f^n(x)(x - 2)^2 \geq 0, deci In+1−4In≤0⇒In+1≤4InI_{n+1} - 4I_n \leq 0 \Rightarrow I_{n+1} \leq 4I_n, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2018 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2018 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac