BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2018 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(3−1)(3+1)−12=0\sqrt{3}\left(\sqrt{3} - 1\right)\left(\sqrt{3} + 1\right) - \sqrt{12} = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
3(3−1)(3+1)−12=3(3−1)−23=\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{12} = \sqrt{3}(3 - 1) - 2\sqrt{3} =
2
2 puncte
=23−23=0= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, pentru care graficele funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+ag(x) = x + a se intersectează într-un punct de abscisă x=1x = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=g(1)⇔12+2⋅1+3=1+a⇔6=1+af(1) = g(1) \Leftrightarrow 1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 1 + a \Leftrightarrow 6 = 1 + a
2
2 puncte
a=5a = 5
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+1=1−x\sqrt{x + 1} = 1 - \sqrt{x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x+1=1−2x+x⇒2x=0x + 1 = 1 - 2\sqrt{x} + x \Rightarrow 2\sqrt{x} = 0
2
2 puncte
x=0x = 0, care convine
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
1 punct
Cifra sutelor se poate alege în 44 moduri
2
1 punct
Pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în 44 moduri
3
3 puncte
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, cifra unităților se poate alege în 33 moduri, deci se pot forma 4⋅4⋅3=484 \cdot 4 \cdot 3 = 48 de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreptele d1d_1, de ecuație y=ax+2y = ax + 2 și d2d_2, de ecuație y=x4+1y = \dfrac{x}{4} + 1. Determinați numărul real aa, știind că dreptele d1d_1 și d2d_2 sunt paralele.

Rezolvare

1
2 puncte
md1=am_{d_1} = a, md2=14m_{d_2} = \dfrac{1}{4}
2
3 puncte
Dreptele d1d_1 și d2d_2 sunt paralele ⇔md1=md2⇔a=14\Leftrightarrow m_{d_1} = m_{d_2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(π−x)cos⁡(2π+x)−sin⁡(2π+x)cos⁡(π−x)=sin⁡2x\sin(\pi - x)\cos(2\pi + x) - \sin(2\pi + x)\cos(\pi - x) = \sin 2x, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡(π−x)cos⁡(2π+x)−sin⁡(2π+x)cos⁡(π−x)=sin⁡xcos⁡x−sin⁡x(−cos⁡x)=\sin(\pi - x)\cos(2\pi + x) - \sin(2\pi + x)\cos(\pi - x) = \sin x \cos x - \sin x(-\cos x) =
2
2 puncte
=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x= 2\sin x \cos x = \sin 2x, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(−3−232)A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} și M(x)=I2+xAM(x) = I_2 + xA, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(M(1))=0\det(M(1)) = 0. b) Demonstrați că M(x)−M(2018)=M(−2018)−M(−x)M(x) - M(2018) = M(-2018) - M(-x), pentru orice număr real xx. c) Determinați perechea de numere naturale nenule (m,n)(m, n) pentru care M(m)⋅M(n)=M(mn)M(m) \cdot M(n) = M(mn).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) M(1)=(−2−233)⇒det⁡(M(1))=∣−2−233∣=(−2)⋅3−3⋅(−2)=M(1) = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(1)) = \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 3 \cdot (-2) =
2
2 puncte
=−6+6=0= -6 + 6 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) M(x)−M(2018)=(I2+xA)−(I2+2018A)=I2+xA−I2−2018A=M(x) - M(2018) = (I_2 + xA) - (I_2 + 2018A) = I_2 + xA - I_2 - 2018A =
4
3 puncte
=(I2+(−2018)A)−(I2+(−x)A)=M(−2018)−M(−x)= (I_2 + (-2018)A) - (I_2 + (-x)A) = M(-2018) - M(-x), pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (I2+mA)(I2+nA)=I2+mnA⇔I2+mA+nA+mnA⋅A=I2+mnA(I_2 + mA)(I_2 + nA) = I_2 + mnA \Leftrightarrow I_2 + mA + nA + mnA \cdot A = I_2 + mnA și, cum A⋅A=−AA \cdot A = -A, obținem m+n−mn=mnm + n - mn = mn
6
2 puncte
Cum mm și nn sunt numere naturale nenule, m+n=2mn⇒(m,n)=(1,1)m + n = 2mn \Rightarrow (m, n) = (1, 1)
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=8xy+x+yx \circ y = 8xy + x + y. a) Arătați că x∘y=8(x+18)(y+18)−18x \circ y = 8\left(x + \dfrac{1}{8}\right)\left(y + \dfrac{1}{8}\right) - \dfrac{1}{8}, pentru orice numere reale xx și yy. b) Determinați numerele reale xx, pentru care x∘x=1x \circ x = 1. c) Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=8x+1f(x) = 8x + 1. Demonstrați că f(x∘y∘z)=f(x)⋅f(y)⋅f(z)f(x \circ y \circ z) = f(x) \cdot f(y) \cdot f(z), pentru orice numere reale xx, yy și zz.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) x∘y=8xy+x+y+18−18=x \circ y = 8xy + x + y + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{8} =
2
2 puncte
=8x(y+18)+(y+18)−18=8(x+18)(y+18)−18= 8x\left(y + \dfrac{1}{8}\right) + \left(y + \dfrac{1}{8}\right) - \dfrac{1}{8} = 8\left(x + \dfrac{1}{8}\right)\left(y + \dfrac{1}{8}\right) - \dfrac{1}{8}, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 8(x+18)2−18=1⇔(x+18)2=9648\left(x + \dfrac{1}{8}\right)^2 - \dfrac{1}{8} = 1 \Leftrightarrow \left(x + \dfrac{1}{8}\right)^2 = \dfrac{9}{64}
4
2 puncte
x=−12x = -\dfrac{1}{2} sau x=14x = \dfrac{1}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f(x∘y)=8(8xy+x+y)+1=64xy+8x+8y+1=(8x+1)(8y+1)=f(x)⋅f(y)f(x \circ y) = 8(8xy + x + y) + 1 = 64xy + 8x + 8y + 1 = (8x + 1)(8y + 1) = f(x) \cdot f(y), pentru orice numere reale xx și yy
6
2 puncte
f(x∘y∘z)=f(x∘y)⋅f(z)=f(x)⋅f(y)⋅f(z)f(x \circ y \circ z) = f(x \circ y) \cdot f(z) = f(x) \cdot f(y) \cdot f(z), pentru orice numere reale xx, yy și zz

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1x2+3f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + 3}. a) Arătați că f′(x)=(1−x)(x+3)(x2+3)2f'(x) = \dfrac{(1 - x)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(2)>f(33)f\left(\sqrt{2}\right) > f\left(\sqrt[3]{3}\right).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=1⋅(x2+3)−(x+1)⋅2x(x2+3)2=f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 3) - (x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} =
2
2 puncte
=−x2−2x+3(x2+3)2=(1−x)(x+3)(x2+3)2= \dfrac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} = \dfrac{(1 - x)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(0)=13f(0) = \dfrac{1}{3}, f′(0)=13f'(0) = \dfrac{1}{3}
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=13x+13y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)<0f'(x) < 0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒fx \in (1, +\infty) \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty)
6
2 puncte
1<2<33⇒f(2)>f(33)1 < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} \Rightarrow f(\sqrt{2}) > f(\sqrt[3]{3})
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = xe^x. a) Arătați că ∫03x⋅f(x)ex dx=9\displaystyle\int_0^3 \dfrac{x \cdot f(x)}{e^x} \, dx = 9. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff are un singur punct de inflexiune. c) Determinați numărul natural nenul nn, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=nx = n are aria egală cu 11.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫03x⋅f(x)ex dx=∫03x2exex dx=∫03x2 dx=x33∣03=\displaystyle\int_0^3 \dfrac{x \cdot f(x)}{e^x} \, dx = \int_0^3 \dfrac{x^2 e^x}{e^x} \, dx = \int_0^3 x^2 \, dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^3 =
2
2 puncte
=273−0=9= \dfrac{27}{3} - 0 = 9
b)5 puncte
3
2 puncte
b) F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R} este o primitivă a lui f⇒F′(x)=f(x)=xexf \Rightarrow F'(x) = f(x) = xe^x, F′′(x)=(x+1)exF''(x) = (x + 1)e^x, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F′′(x)<0F''(x) < 0, pentru orice x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1), F′′(−1)=0F''(-1) = 0 și F′′(x)>0F''(x) > 0, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), deci FF are un singur punct de inflexiune
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A=∫0n∣f(x)∣ dx=∫0nxex dx=(x−1)ex∣0n=(n−1)en+1\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^n |f(x)| \, dx = \int_0^n xe^x \, dx = \left.(x - 1)e^x\right|_0^n = (n - 1)e^n + 1
6
2 puncte
(n−1)en+1=1⇔n=1(n - 1)e^n + 1 = 1 \Leftrightarrow n = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2018 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2018 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac