BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2020 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați primul termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a2=3a_2 = 3 și a3=5a_3 = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
r=a3−a2=2r = a_3 - a_2 = 2
2
2 puncte
a1=a2−r=1a_1 = a_2 - r = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1. Determinați numărul natural nn pentru care f(n)=3f(n) = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(n)=n2−1f(n) = n^2 - 1, deci n2−1=3⇒n2−4=0n^2 - 1 = 3 \Rightarrow n^2 - 4 = 0
2
2 puncte
Cum nn este număr natural, obținem n=2n = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−9=x−1\sqrt{x^2 - 9} = x - 1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−9=(x−1)2⇒2x=10x^2 - 9 = (x - 1)^2 \Rightarrow 2x = 10
2
2 puncte
x=5x = 5, care convine
Exercițiul 4
Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}.

Rezolvare

1
3 puncte
Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} este egal cu C43=4!3!⋅1!=C_4^3 = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} =
2
2 puncte
=4= 4
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(1,1)M(1, 1), N(3,3)N(3, 3), P(4,3)P(4, 3) și Q(1,a)Q(1, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, pentru care patrulaterul MNPQMNPQ este trapez cu bazele MNMN și PQPQ.

Rezolvare

1
2 puncte
mMN=1m_{MN} = 1, mPQ=3−a3m_{PQ} = \dfrac{3 - a}{3}
2
3 puncte
MN∥PQMN \parallel PQ, de unde obținem mMN=mPQ⇔3−a=3⇔a=0m_{MN} = m_{PQ} \Leftrightarrow 3 - a = 3 \Leftrightarrow a = 0
Exercițiul 6
Calculați lungimea ipotenuzei BCBC a triunghiului dreptunghic ABCABC, în care AB=5AB = 5 și cos⁡B=12\cos B = \dfrac{1}{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡B=ABBC⇔12=5BC\cos B = \dfrac{AB}{BC} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{BC}
2
2 puncte
BC=10BC = 10

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(a00b)A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(A⋅A)=a2b2\det(A \cdot A) = a^2 b^2, pentru orice numere reale aa și bb. b) Se consideră matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât A⋅X=X⋅AA \cdot X = X \cdot A. Demonstrați că, dacă aa și bb sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale xx și tt astfel încât X=(x00t)X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}. c) Pentru a=4a = 4 și b=0b = 0, determinați matricele Y∈M2(R)Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care Y⋅Y=AY \cdot Y = A.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A⋅A=(a200b2)A \cdot A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}, pentru orice numere reale aa și bb
2
2 puncte
det⁡(A⋅A)=∣a200b2∣=a2b2\det(A \cdot A) = \begin{vmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{vmatrix} = a^2 b^2, pentru orice numere reale aa și bb
b)5 puncte
3
3 puncte
b) X=(xyzt)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} cu x,y,z,t∈R⇒A⋅X=(axaybzbt)x, y, z, t \in \mathbb{R} \Rightarrow A \cdot X = \begin{pmatrix} ax & ay \\ bz & bt \end{pmatrix} și X⋅A=(axbyazbt)X \cdot A = \begin{pmatrix} ax & by \\ az & bt \end{pmatrix}
4
2 puncte
ay=byay = by și az=bzaz = bz, deci y(a−b)=0y(a - b) = 0 și z(a−b)=0z(a - b) = 0 și, cum a≠ba \neq b, obținem y=z=0y = z = 0, deci există numerele reale xx și tt astfel încât X=(x00t)X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Y⋅Y=AY \cdot Y = A, deci A⋅Y=(Y⋅Y)⋅Y=Y⋅(Y⋅Y)=Y⋅AA \cdot Y = (Y \cdot Y) \cdot Y = Y \cdot (Y \cdot Y) = Y \cdot A, deci Y=(α00β)Y = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}, unde α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}
6
3 puncte
Y⋅Y=(α200β2)Y \cdot Y = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{pmatrix}, deci (α200β2)=(4000)\begin{pmatrix} \alpha^2 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, de unde obținem α2=4\alpha^2 = 4 și β2=0\beta^2 = 0, deci Y=(2000)Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} sau Y=(−2000)Y = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, care convin
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[0,+∞)M = [0, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy+1+yx+1x * y = x\sqrt{y + 1} + y\sqrt{x + 1}. a) Arătați că 3∗3=123 * 3 = 12. b) Demonstrați că x∗0=0∗x=xx * 0 = 0 * x = x, pentru orice x∈Mx \in M. c) Determinați x∈Mx \in M pentru care (x2+2x)∗3=7(x^2 + 2x) * 3 = 7.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 3∗3=33+1+33+1=3 * 3 = 3\sqrt{3 + 1} + 3\sqrt{3 + 1} =
2
2 puncte
=3⋅2+3⋅2=6+6=12= 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗0=x⋅0+1+0⋅x+1=xx * 0 = x \cdot \sqrt{0 + 1} + 0 \cdot \sqrt{x + 1} = x, pentru orice x∈Mx \in M
4
3 puncte
0∗x=0⋅x+1+x⋅0+1=x0 * x = 0 \cdot \sqrt{x + 1} + x \cdot \sqrt{0 + 1} = x, pentru orice x∈M⇒x∗0=0∗x=xx \in M \Rightarrow x * 0 = 0 * x = x, pentru orice x∈Mx \in M
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (x2+2x)3+1+3x2+2x+1=7⇔2(x2+2x)+3(x+1)2=7⇔2x2+7x−4=0(x^2 + 2x)\sqrt{3 + 1} + 3\sqrt{x^2 + 2x + 1} = 7 \Leftrightarrow 2(x^2 + 2x) + 3\sqrt{(x + 1)^2} = 7 \Leftrightarrow 2x^2 + 7x - 4 = 0
6
2 puncte
x=−4x = -4, care nu convine, x=12x = \dfrac{1}{2}, care convine

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x+1)f(x) = x \ln(x + 1). a) Arătați că f′(x)=ln⁡(x+1)+xx+1f'(x) = \ln(x + 1) + \dfrac{x}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty). b) Arătați că funcția ff este convexă. c) Se consideră funcția g:(−1,0]→Rg : (-1, 0] \to \mathbb{R}, g(x)=(x+1)xg(x) = (x + 1)^x. Demonstrați că, dacă x1,x2∈(−1,0]x_1, x_2 \in (-1, 0] astfel încât x1≤x2x_1 \leq x_2, atunci g(x1)≥g(x2)g(x_1) \geq g(x_2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x′⋅ln⁡(x+1)+x⋅(ln⁡(x+1))′=f'(x) = x' \cdot \ln(x + 1) + x \cdot (\ln(x + 1))' =
2
2 puncte
=1⋅ln⁡(x+1)+x⋅1x+1=ln⁡(x+1)+xx+1= 1 \cdot \ln(x + 1) + x \cdot \dfrac{1}{x + 1} = \ln(x + 1) + \dfrac{x}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f′′(x)=x+2(x+1)2f''(x) = \dfrac{x + 2}{(x + 1)^2}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
4
2 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty), deci funcția ff este convexă
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ln⁡(x+1)≤0\ln(x + 1) \leq 0 și xx+1≤0\dfrac{x}{x + 1} \leq 0, pentru orice x∈(−1,0]x \in (-1, 0], deci f′(x)≤0f'(x) \leq 0, de unde obținem că ff este descrescătoare pe (−1,0](-1, 0]
6
3 puncte
Pentru orice x1,x2∈(−1,0]x_1, x_2 \in (-1, 0] cu x1≤x2⇒f(x1)≥f(x2)x_1 \leq x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2), deci x1ln⁡(x1+1)≥x2ln⁡(x2+1)x_1 \ln(x_1 + 1) \geq x_2 \ln(x_2 + 1) de unde obținem ln⁡(x1+1)x1≥ln⁡(x2+1)x2\ln(x_1 + 1)^{x_1} \geq \ln(x_2 + 1)^{x_2}, deci (x1+1)x1≥(x2+1)x2(x_1 + 1)^{x_1} \geq (x_2 + 1)^{x_2}, adică g(x1)≥g(x2)g(x_1) \geq g(x_2)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:[0,1]→Rf : [0, 1] \to \mathbb{R}, f(x)=1−x3f(x) = 1 - x^3. a) Arătați că ∫01f(x) dx=34\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \dfrac{3}{4}. b) Arătați că ∫01x2(f(x))3 dx=112\displaystyle\int_0^1 x^2 (f(x))^3 \, dx = \dfrac{1}{12}. c) Demonstrați că ∫01(f(x))n+1 dx≤∫01(f(x))n dx\displaystyle\int_0^1 (f(x))^{n+1} \, dx \leq \int_0^1 (f(x))^n \, dx, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01f(x) dx=∫01(1−x3) dx=(x−x44)∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 (1 - x^3) \, dx = \left.\left(x - \dfrac{x^4}{4}\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=1−14=34= 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫01x2(f(x))3 dx=∫01x2(1−x3)3 dx=−13∫01(1−x3)3(1−x3)′ dx=−112(1−x3)4∣01=\displaystyle\int_0^1 x^2 (f(x))^3 \, dx = \int_0^1 x^2 (1 - x^3)^3 \, dx = -\dfrac{1}{3} \int_0^1 (1 - x^3)^3 (1 - x^3)' \, dx = -\dfrac{1}{12} \left.(1 - x^3)^4\right|_0^1 =
4
2 puncte
=0−(−112)=112= 0 - \left(-\dfrac{1}{12}\right) = \dfrac{1}{12}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) ∫01(f(x))n+1 dx−∫01(f(x))n dx=∫01(1−x3)n+1 dx−∫01(1−x3)n dx=−∫01x3(1−x3)n dx\displaystyle\int_0^1 (f(x))^{n+1} \, dx - \int_0^1 (f(x))^n \, dx = \int_0^1 (1 - x^3)^{n+1} \, dx - \int_0^1 (1 - x^3)^n \, dx = -\int_0^1 x^3 (1 - x^3)^n \, dx, pentru orice număr natural nenul nn
6
3 puncte
x3≥0x^3 \geq 0 și 1−x3≥01 - x^3 \geq 0, pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1], deci ∫01(f(x))n+1 dx−∫01(f(x))n dx≤0\displaystyle\int_0^1 (f(x))^{n+1} \, dx - \int_0^1 (f(x))^n \, dx \leq 0, de unde obținem ∫01(f(x))n+1 dx≤∫01(f(x))n dx\displaystyle\int_0^1 (f(x))^{n+1} \, dx \leq \int_0^1 (f(x))^n \, dx, pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2020 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2020 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac