BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2021 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(4−i)+3i(1+i)=93(4 - i) + 3i(1 + i) = 9, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
3(4−i)+3i(1+i)=12−3i+3i+3i2=3(4 - i) + 3i(1 + i) = 12 - 3i + 3i + 3i^2 =
2
2 puncte
=12−3=9= 12 - 3 = 9
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4. Calculați (f∘f)(2)(f \circ f)(2).

Rezolvare

1
2 puncte
f(2)=0f(2) = 0
2
3 puncte
(f∘f)(2)=f(f(2))=f(0)=−4(f \circ f)(2) = f(f(2)) = f(0) = -4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−2x+4)=1\log_3(x^2 - 2x + 4) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2−2x+4=3x^2 - 2x + 4 = 3, de unde obținem x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 99 numere divizibile cu 1010, deci sunt 99 cazuri favorabile
3
1 punct
p=990=110p = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,4)A(2, 4) și B(3,a)B(3, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctele OO, AA și BB sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
mOA=2m_{OA} = 2, mOB=a3m_{OB} = \dfrac{a}{3}, unde aa este număr real
2
3 puncte
mOA=mOB⇔a=6m_{OA} = m_{OB} \Leftrightarrow a = 6
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3xE(x) = \cos x + \cos 2x + \cos 3x, unde xx este număr real. Arătați că E(π4)=0E\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
E(π4)=cos⁡π4+cos⁡π2+cos⁡3π4=E\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} + \cos\dfrac{\pi}{2} + \cos\dfrac{3\pi}{4} =
2
3 puncte
=22+0+(−22)=0= \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 0 + \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x,y)=(x+3y4y−2yx−3y)A(x, y) = \begin{pmatrix} x + 3y & 4y \\ -2y & x - 3y \end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. a) Arătați că det⁡(A(1,1))=0\det(A(1, 1)) = 0. b) Demonstrați că, dacă matricea A(x,y)A(x, y) este inversabilă, atunci ∣x∣≠∣y∣|x| \neq |y|. c) Determinați perechile (m,n)(m, n), de numere întregi, pentru care A(m,n)⋅A(−m,n)=I2A(m, n) \cdot A(-m, n) = I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(1,1)=(44−2−2)A(1, 1) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1,1))=∣44−2−2∣=\det(A(1, 1)) = \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=−8−(−8)=0= -8 - (-8) = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) det⁡(A(x,y))=∣x+3y4y−2yx−3y∣=x2−y2\det(A(x, y)) = \begin{vmatrix} x + 3y & 4y \\ -2y & x - 3y \end{vmatrix} = x^2 - y^2, pentru orice numere reale xx și yy
4
3 puncte
A(x,y)A(x, y) este inversabilă ⇔det⁡(A(x,y))≠0⇔x2−y2≠0\Leftrightarrow \det(A(x, y)) \neq 0 \Leftrightarrow x^2 - y^2 \neq 0, deci ∣x∣≠∣y∣|x| \neq |y|
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(m,n)⋅A(−m,n)=(m+3n4n−2nm−3n)⋅(−m+3n4n−2n−m−3n)=(n2−m200n2−m2)A(m, n) \cdot A(-m, n) = \begin{pmatrix} m + 3n & 4n \\ -2n & m - 3n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -m + 3n & 4n \\ -2n & -m - 3n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n^2 - m^2 & 0 \\ 0 & n^2 - m^2 \end{pmatrix}, pentru orice numere întregi mm și nn
6
2 puncte
(n2−m200n2−m2)=(1001)⇔n2−m2=1⇔(n−m)(n+m)=1\begin{pmatrix} n^2 - m^2 & 0 \\ 0 & n^2 - m^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow n^2 - m^2 = 1 \Leftrightarrow (n - m)(n + m) = 1 și, cum mm și nn sunt numere întregi, obținem perechile (0,1)(0, 1) sau (0,−1)(0, -1)
Exercițiul 2
Pe mulțimea A=[0,+∞)A = [0, +\infty) se definește legea de compoziție x∘y=4xy−(1−x−y)x \circ y = 4^{xy} - (1 - x - y). a) Arătați că 2∘0=22 \circ 0 = 2. b) Arătați că x∘1x≥5x \circ \dfrac{1}{x} \geq 5, pentru orice x∈Ax \in A, x≠0x \neq 0. c) Demonstrați că, dacă mm și nn sunt numere naturale impare, atunci m∘nm \circ n este număr natural impar.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∘0=42⋅0−(1−2−0)=2 \circ 0 = 4^{2 \cdot 0} - (1 - 2 - 0) =
2
2 puncte
=1−1+2=2= 1 - 1 + 2 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘1x=4x⋅1x−1+x+1x=x+1x+3=x+1x−2+5=x \circ \dfrac{1}{x} = 4^{x \cdot \frac{1}{x}} - 1 + x + \dfrac{1}{x} = x + \dfrac{1}{x} + 3 = x + \dfrac{1}{x} - 2 + 5 =
4
3 puncte
=x2+1−2xx+5=(x−1)2x+5≥5= \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x} + 5 = \dfrac{(x - 1)^2}{x} + 5 \geq 5, pentru orice x∈Ax \in A, x≠0x \neq 0
c)5 puncte
5
2 puncte
c) mm și nn sunt numere naturale impare, deci m≥1m \geq 1 și n≥1⇒mn≥1n \geq 1 \Rightarrow mn \geq 1, de unde obținem că 4mn4^{mn} este număr natural par
6
3 puncte
mm și nn sunt numere naturale impare, deci m+n−1m + n - 1 este număr natural impar, de unde obținem că m∘n=4mn+m+n−1m \circ n = 4^{mn} + m + n - 1 este număr natural impar

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡xf(x) = x^3 - 3\ln x. a) Arătați că f′(x)=3(x−1)(x2+x+1)xf'(x) = \dfrac{3(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că x3≥3ln⁡x+1x^3 \geq 3\ln x + 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=3x2−3⋅1x=f'(x) = 3x^2 - 3 \cdot \dfrac{1}{x} =
2
2 puncte
=3(x3−1)x=3(x−1)(x2+x+1)x= \dfrac{3(x^3 - 1)}{x} = \dfrac{3(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=0f'(1) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=1y = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; pentru x∈(0,1]x \in (0, 1], obținem f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1] și pentru x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), obținem f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
2 puncte
f(x)≥f(1)f(x) \geq f(1), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) și, cum f(1)=1f(1) = 1, obținem că x3≥3ln⁡x+1x^3 \geq 3\ln x + 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = xe^x. a) Arătați că ∫02f(x)ex dx=2\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f(x)}{e^x}\, dx = 2. b) Arătați că ∫−11(f(x)+ex)dx=e2+1e\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x) + e^x\right) dx = \dfrac{e^2 + 1}{e}. c) Demonstrați că ∫−1−a−1+af(x) dx≥−2ae\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a} f(x)\, dx \geq -\dfrac{2a}{e}, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02f(x)ex dx=∫02x dx=x22∣02=\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f(x)}{e^x}\, dx = \int_0^2 x\, dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^2 =
2
2 puncte
=2−0=2= 2 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫−11(f(x)+ex)dx=∫−11(xex+ex)dx=∫−11(xex)′dx=xex∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x) + e^x\right) dx = \int_{-1}^{1} \left(xe^x + e^x\right) dx = \int_{-1}^{1} \left(xe^x\right)' dx = \left.xe^x\right|_{-1}^{1} =
4
2 puncte
=e+e−1=e2+1e= e + e^{-1} = \dfrac{e^2 + 1}{e}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=(x+1)exf'(x) = (x + 1)e^x, deci f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 și, cum f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty), obținem că f(x)≥f(−1)f(x) \geq f(-1), pentru orice număr real xx
6
3 puncte
f(−1)=−1ef(-1) = -\dfrac{1}{e}, deci ∫−1−a−1+af(x) dx≥−1e∫−1−a−1+adx=−1e⋅x∣−1−a−1+a=−2ae\displaystyle\int_{-1-a}^{-1+a} f(x)\, dx \geq -\dfrac{1}{e} \int_{-1-a}^{-1+a} dx = -\dfrac{1}{e} \cdot \left.x\right|_{-1-a}^{-1+a} = -\dfrac{2a}{e}, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2021 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2021 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac