BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2021 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=4a_1 = 4 și rația este r=5r = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
a3=4+2⋅5=a_3 = 4 + 2 \cdot 5 =
2
2 puncte
=4+10=14= 4 + 10 = 14
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x−1f(x) = x^2 - x - 1. Arătați că f(0)=f(1)f(0) = f(1).

Rezolvare

1
2 puncte
f(0)=−1f(0) = -1
2
3 puncte
f(1)=−1f(1) = -1, deci f(0)=f(1)f(0) = f(1)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(3x+4)=log⁡416\log_4(3x + 4) = \log_4 16.

Rezolvare

1
3 puncte
3x+4=163x + 4 = 16
2
2 puncte
x=4x = 4, care convine
Exercițiul 4
După o scumpire cu 25%25\%, un produs costă 350350 de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

Rezolvare

1
3 puncte
x+25100⋅x=350x + \dfrac{25}{100} \cdot x = 350, unde xx este prețul produsului înainte de scumpire
2
2 puncte
Prețul produsului înainte de scumpire este 280280 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−4,1)A(-4, 1) și B(a,b)B(a, b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că punctul OO este mijlocul segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
O(0,0)O(0, 0) este mijlocul segmentului ABAB, deci −4+a2=0\dfrac{-4 + a}{2} = 0 și 1+b2=0\dfrac{1 + b}{2} = 0
2
2 puncte
a=4a = 4, b=−1b = -1
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul isoscel ABCABC, dreptunghic în AA. Știind că aria triunghiului ABCABC este egală cu 88, determinați lungimea laturii ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
A△ABC=AB⋅AC2\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{AB \cdot AC}{2}
2
3 puncte
AB22=8⇔AB2=16\dfrac{AB^2}{2} = 8 \Leftrightarrow AB^2 = 16, de unde obținem AB=4AB = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(5−2−11)A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(x−2x1−1)B(x) = \begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=3\det A = 3. b) Arătați că 3B(2)+B(6)=4B(3)3B(2) + B(6) = 4B(3). c) Determinați numărul real xx pentru care (B(−x)−B(x))⋅(B(−x)+B(x))=A+B(3)(B(-x) - B(x)) \cdot (B(-x) + B(x)) = A + B(3).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣5−2−11∣=5⋅1−(−2)⋅(−1)=\det A = \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1) =
2
2 puncte
=5−2=3= 5 - 2 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(2)=(2−41−1)B(2) = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} și B(6)=(6−121−1)⇒3B(2)+B(6)=(12−244−4)=B(6) = \begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow 3B(2) + B(6) = \begin{pmatrix} 12 & -24 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=4(3−61−1)=4B(3)= 4\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 4B(3)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (B(−x)−B(x))⋅(B(−x)+B(x))=(−2x4x00)⋅(002−2)=(8x−8x00)(B(-x) - B(x)) \cdot (B(-x) + B(x)) = \begin{pmatrix} -2x & 4x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8x & -8x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
Cum A+B(3)=(8−800)A + B(3) = \begin{pmatrix} 8 & -8 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, obținem x=1x = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3x+4y−25x \circ y = 3x + 4y - 25. a) Arătați că 3∘4=03 \circ 4 = 0. b) Determinați numărul real xx pentru care (2x)∘x=5(2x) \circ x = 5. c) Determinați numerele întregi mm pentru care m2∘1≥1∘m2m^2 \circ 1 \geq 1 \circ m^2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 3∘4=3⋅3+4⋅4−25=3 \circ 4 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 25 =
2
2 puncte
=25−25=0= 25 - 25 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) (2x)∘x=10x−25(2x) \circ x = 10x - 25, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
10x−25=510x - 25 = 5, de unde obținem x=3x = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) m2∘1=3m2−21m^2 \circ 1 = 3m^2 - 21 și 1∘m2=4m2−221 \circ m^2 = 4m^2 - 22, pentru orice număr întreg mm
6
3 puncte
3m2−21≥4m2−22⇔−m2+1≥03m^2 - 21 \geq 4m^2 - 22 \Leftrightarrow -m^2 + 1 \geq 0, deci m∈[−1,1]m \in [-1, 1] și, cum mm este număr întreg, obținem m=−1m = -1 sau m=0m = 0 sau m=1m = 1

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−13,+∞)→Rf : \left(-\dfrac{1}{3}, +\infty\right) \to \mathbb{R}, f(x)=2x3x+1f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}. a) Arătați că f′(x)=2(3x+1)2f'(x) = \dfrac{2}{(3x + 1)^2}, x∈(−13,+∞)x \in \left(-\dfrac{1}{3}, +\infty\right). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că funcția ff este concavă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=2(3x+1)−2x⋅3(3x+1)2=f'(x) = \dfrac{2(3x + 1) - 2x \cdot 3}{(3x + 1)^2} =
2
2 puncte
=6x+2−6x(3x+1)2=2(3x+1)2= \dfrac{6x + 2 - 6x}{(3x + 1)^2} = \dfrac{2}{(3x + 1)^2}, x∈(−13,+∞)x \in \left(-\dfrac{1}{3}, +\infty\right)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞2x3x+1=lim⁡x→+∞2xx(3+1x)=lim⁡x→+∞23+1x=23\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{3x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{x\left(3 + \frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{3 + \frac{1}{x}} = \dfrac{2}{3}
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=23y = \dfrac{2}{3} este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′′(x)=−12(3x+1)3f''(x) = -\dfrac{12}{(3x + 1)^3}, x∈(−13,+∞)x \in \left(-\dfrac{1}{3}, +\infty\right)
6
2 puncte
f′′(x)≤0f''(x) \leq 0, pentru orice x∈(−13,+∞)x \in \left(-\dfrac{1}{3}, +\infty\right), deci funcția ff este concavă
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+ln⁡x−1f(x) = x^2 + \ln x - 1. a) Arătați că ∫14(f(x)−ln⁡x+1) dx=21\displaystyle\int_1^4 (f(x) - \ln x + 1) \, dx = 21. b) Arătați că ∫24xf(x)−ln⁡x dx=12ln⁡5\displaystyle\int_2^4 \dfrac{x}{f(x) - \ln x} \, dx = \dfrac{1}{2}\ln 5. c) Determinați a∈(1,+∞)a \in (1, +\infty) pentru care ∫1af(x)x2 dx=a−ln⁡aa\displaystyle\int_1^a \dfrac{f(x)}{x^2} \, dx = \dfrac{a - \ln a}{a}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫14(f(x)−ln⁡x+1) dx=∫14x2 dx=x33∣14=\displaystyle\int_1^4 (f(x) - \ln x + 1) \, dx = \int_1^4 x^2 \, dx = \left.\dfrac{x^3}{3}\right|_1^4 =
2
2 puncte
=643−13=21= \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫24xf(x)−ln⁡x dx=∫24xx2−1 dx=12∫24(x2−1)′x2−1 dx=12ln⁡(x2−1)∣24=\displaystyle\int_2^4 \dfrac{x}{f(x) - \ln x} \, dx = \int_2^4 \dfrac{x}{x^2 - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\int_2^4 \dfrac{(x^2 - 1)'}{x^2 - 1} \, dx = \dfrac{1}{2}\left.\ln(x^2 - 1)\right|_2^4 =
4
2 puncte
=12ln⁡15−12ln⁡3=12ln⁡5= \dfrac{1}{2}\ln 15 - \dfrac{1}{2}\ln 3 = \dfrac{1}{2}\ln 5
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫1af(x)x2 dx=∫1a(1+ln⁡xx2−1x2)dx=x∣1a+(−1x)ln⁡x∣1a+∫1a1x2 dx−∫1a1x2 dx=a−1−ln⁡aa\displaystyle\int_1^a \dfrac{f(x)}{x^2} \, dx = \int_1^a \left(1 + \dfrac{\ln x}{x^2} - \dfrac{1}{x^2}\right) dx = \left.x\right|_1^a + \left.\left(-\dfrac{1}{x}\right)\ln x\right|_1^a + \int_1^a \dfrac{1}{x^2} \, dx - \int_1^a \dfrac{1}{x^2} \, dx = a - 1 - \dfrac{\ln a}{a}, pentru orice a∈(1,+∞)a \in (1, +\infty)
6
2 puncte
a−1−ln⁡aa=a−ln⁡aaa - 1 - \dfrac{\ln a}{a} = \dfrac{a - \ln a}{a}, de unde obținem a=2a = 2, care convine

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2021 — Științele Naturii

Următor →

Model 2021 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac