BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2022 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2i(3−i)−6i=22i(3 - i) - 6i = 2, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
2i(3−i)−6i=6i−2i2−6i=2i(3 - i) - 6i = 6i - 2i^2 - 6i =
2
2 puncte
=−2⋅(−1)=2= -2 \cdot (-1) = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−mxf(x) = x^2 - mx, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care f(−1)=f(1)f(-1) = f(1).

Rezolvare

1
2 puncte
f(−1)=1+mf(-1) = 1 + m, f(1)=1−mf(1) = 1 - m, unde mm este număr real
2
3 puncte
1+m=1−m1 + m = 1 - m, de unde obținem m=0m = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27x−1=9x27^{x-1} = 9^x.

Rezolvare

1
3 puncte
33x−3=32x3^{3x - 3} = 3^{2x}, de unde obținem 3x−3=2x3x - 3 = 2x
2
2 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 33.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 numere cu cifrele mai mici sau egale cu 33, deci sunt 1212 cazuri favorabile, de unde obținem p=1290=215p = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}
Exercițiul 5
În sistemul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,2)A(3, 2) și B(1,−1)B(1, -1). Determinați coordonatele punctului CC pentru care AC→=2BC→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{BC}.

Rezolvare

1
3 puncte
BB este mijlocul segmentului ACAC
2
2 puncte
xC+32=1\dfrac{x_C + 3}{2} = 1 și yC+22=−1\dfrac{y_C + 2}{2} = -1, de unde obținem xC=−1x_C = -1 și yC=−4y_C = -4
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡2x−2tg⁡x⋅sin⁡2x3E(x) = \sin 2x - 2\operatorname{tg} x \cdot \sin\dfrac{2x}{3}, unde x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). Arătați că E(π4)=0E\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1, tg⁡π4=1\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}
2
2 puncte
E(π4)=1−2⋅1⋅12=1−1=0E\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1 - 2 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} = 1 - 1 = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I3=(100010001)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(x1−x11−xx1110)A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 - x & 1 \\ 1 - x & x & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=2\det(A(0)) = 2. b) Arătați că A(1)⋅A(x)−A(x−1)=2I3A(1) \cdot A(x) - A(x - 1) = 2I_3, pentru orice număr real xx. c) Determinați numărul real xx pentru care A(1)⋅A(1)⋅A(x)=3A(1)+2I3A(1) \cdot A(1) \cdot A(x) = 3A(1) + 2I_3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(011101110)⇒det⁡(A(0))=∣011101110∣=A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+1+1−0−0−0=2= 0 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(1)=(101011110)⇒A(1)⋅A(x)=(x+12−x12−xx+11112)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A(1) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & 2 - x & 1 \\ 2 - x & x + 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
A(x−1)=(x−12−x12−xx−11110)⇒A(1)⋅A(x)−A(x−1)=(200020002)=2I3A(x - 1) = \begin{pmatrix} x - 1 & 2 - x & 1 \\ 2 - x & x - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A(1) \cdot A(x) - A(x - 1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_3, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(1)⋅A(1)⋅A(x)=A(1)⋅(A(1)⋅A(x))=A(1)⋅(A(x−1)+2I3)=A(x−2)+2I3+2A(1)A(1) \cdot A(1) \cdot A(x) = A(1) \cdot (A(1) \cdot A(x)) = A(1) \cdot (A(x - 1) + 2I_3) = A(x - 2) + 2I_3 + 2A(1), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
A(x−2)+2I3+2A(1)=3A(1)+2I3⇒A(x−2)=A(1)A(x - 2) + 2I_3 + 2A(1) = 3A(1) + 2I_3 \Rightarrow A(x - 2) = A(1), de unde obținem x−2=1x - 2 = 1, deci x=3x = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[0,+∞)M = [0, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy(x+y)xy+1x * y = \dfrac{xy(x + y)}{xy + 1}. a) Arătați că 1∗3=31 * 3 = 3. b) Arătați că e=1e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∗*\u201d. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere naturale nenule, cu m≤nm \leq n, pentru care 1m∗1n=116⋅(m∗n)\dfrac{1}{m} * \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{16} \cdot (m * n).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗3=1⋅3⋅(1+3)1⋅3+1=1 * 3 = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot (1 + 3)}{1 \cdot 3 + 1} =
2
2 puncte
=3⋅44=3= \dfrac{3 \cdot 4}{4} = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗1=x⋅1⋅(x+1)x⋅1+1=x(x+1)x+1=xx * 1 = \dfrac{x \cdot 1 \cdot (x + 1)}{x \cdot 1 + 1} = \dfrac{x(x + 1)}{x + 1} = x, pentru orice x∈Mx \in M
4
3 puncte
1∗x=1⋅x⋅(1+x)1⋅x+1=x(x+1)x+1=x1 * x = \dfrac{1 \cdot x \cdot (1 + x)}{1 \cdot x + 1} = \dfrac{x(x + 1)}{x + 1} = x, pentru orice x∈Mx \in M, deci e=1e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție \u201e∗*\u201d
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 1m∗1n=m+nmn(mn+1)\dfrac{1}{m} * \dfrac{1}{n} = \dfrac{m + n}{mn(mn + 1)}; 116⋅(m∗n)=116⋅mn(m+n)mn+1\dfrac{1}{16} \cdot (m * n) = \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{mn(m + n)}{mn + 1}, pentru orice numere naturale nenule mm și nn
6
2 puncte
m2n2=16m^2 n^2 = 16 și, cum mm și nn sunt numere naturale nenule, cu m≤nm \leq n, obținem perechile (1,4)(1, 4) și (2,2)(2, 2)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1exf(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=(x−1)(4−x)exf'(x) = \dfrac{(x - 1)(4 - x)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că axa OxOx este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că ecuația f(x)=nf(x) = n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−3)ex−(x2−3x+1)ex(ex)2=f'(x) = \dfrac{(2x - 3)e^x - (x^2 - 3x + 1)e^x}{(e^x)^2} =
2
2 puncte
=−x2+5x−4ex=(x−1)(4−x)ex= \dfrac{-x^2 + 5x - 4}{e^x} = \dfrac{(x - 1)(4 - x)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x2−3x+1ex=lim⁡x→+∞2x−3ex=lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 3x + 1}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x - 3}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{e^x} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0, adică axa OxOx, este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 sau x=4x = 4; pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1), f′(x)<0⇒ff'(x) < 0 \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (−∞,1)(-\infty, 1), pentru orice x∈(1,4)x \in (1, 4), f′(x)>0⇒ff'(x) > 0 \Rightarrow f este strict crescătoare pe (1,4)(1, 4) și pentru orice x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty), f′(x)<0⇒ff'(x) < 0 \Rightarrow f este strict descrescătoare pe (4,+∞)(4, +\infty)
6
2 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, f(4)=5e4<1f(4) = \dfrac{5}{e^4} < 1 și funcția ff este continuă, obținem că ecuația f(x)=nf(x) = n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul nn
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+4f(x) = x\sqrt{x^2 + 4}. a) Arătați că ∫02f(x)x2+4 dx=2\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = 2. b) Arătați că ∫05f(x) dx=193\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}} f(x) \, dx = \dfrac{19}{3}. c) Pentru fiecare număr natural nn, n≥2n \geq 2, se consideră numărul In=∫12xnf2(x) dxI_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^n}{f^2(x)} \, dx. Determinați numărul natural nn, n≥2n \geq 2, pentru care In+2+4In=3n−1I_{n+2} + 4I_n = \dfrac{3}{n - 1}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02f(x)x2+4 dx=∫02x dx=x22∣02=\displaystyle\int_0^2 \dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \int_0^2 x \, dx = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^2 =
2
2 puncte
=42−0=2= \dfrac{4}{2} - 0 = 2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫05f(x) dx=12∫05(x2+4)′x2+4 dx=13(x2+4)x2+4∣05=\displaystyle\int_0^{\sqrt{5}} f(x) \, dx = \dfrac{1}{2}\int_0^{\sqrt{5}} (x^2 + 4)' \sqrt{x^2 + 4} \, dx = \dfrac{1}{3}\left.(x^2 + 4)\sqrt{x^2 + 4}\right|_0^{\sqrt{5}} =
4
2 puncte
=13(27−8)=193= \dfrac{1}{3}(27 - 8) = \dfrac{19}{3}
c)5 puncte
5
2 puncte
c) In=∫12xnx2(x2+4) dx=∫12xn−2x2+4 dxI_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^n}{x^2(x^2 + 4)} \, dx = \int_1^2 \dfrac{x^{n-2}}{x^2 + 4} \, dx, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2
6
3 puncte
In+2+4In=∫12xn−2(x2+4)x2+4 dx=xn−1n−1∣12=2n−1−1n−1I_{n+2} + 4I_n = \displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^{n-2}(x^2 + 4)}{x^2 + 4} \, dx = \left.\dfrac{x^{n-1}}{n - 1}\right|_1^2 = \dfrac{2^{n-1} - 1}{n - 1}, deci 2n−1−1n−1=3n−1\dfrac{2^{n-1} - 1}{n - 1} = \dfrac{3}{n - 1}, de unde obținem 2n−1=42^{n-1} = 4, deci n=3n = 3, care convine

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Specială 2022 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă 2022 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac