BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2023 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3−4i+i(4−i)=43 - 4i + i(4 - i) = 4, unde i2=−1i^2 = -1.

Rezolvare

1
3 puncte
3−4i+i(4−i)=3−4i+4i−i2=3 - 4i + i(4 - i) = 3 - 4i + 4i - i^2 =
2
2 puncte
=3+1=4= 3 + 1 = 4
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4−2xf(x) = 4 - 2x. Arătați că (f∘f)(1)=0(f \circ f)(1) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
f(1)=2f(1) = 2
2
3 puncte
(f∘f)(1)=f(f(1))=f(2)=0(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(2) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x2−2x+6)=log⁡56\log_5(x^2 - 2x + 6) = \log_5 6.

Rezolvare

1
2 puncte
x2−2x+6=6x^2 - 2x + 6 = 6, deci x2−2x=0x^2 - 2x = 0
2
3 puncte
x=0x = 0 sau x=2x = 2, care convin
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 33 și cu 77.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 44 numere divizibile cu 33 și cu 77, deci sunt 44 cazuri favorabile, de unde obținem p=490=245p = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1, 2), B(a,0)B(a, 0) și C(0,b)C(0, b). Determinați numerele reale aa și bb, știind că punctul AA este mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
3 puncte
A(a+02,0+b2)A\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right)
2
2 puncte
a=2a = 2 și b=4b = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, cu AB=AC=10AB = AC = 10 și BC=16BC = 16. Arătați că AD=6AD = 6, unde ADAD este înălțime în triunghiul ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
Triunghiul ABDABD este dreptunghic în DD și BD=8BD = 8
2
2 puncte
AD=100−64=6AD = \sqrt{100 - 64} = 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, A=(12−1−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} și B(x)=(x+12x+1x−12x−1)B(x) = \begin{pmatrix} x + 1 & 2x + 1 \\ x - 1 & 2x - 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(B(2))=4\det(B(2)) = 4. b) Determinați numărul real aa pentru care B(0)⋅B(1)=aAB(0) \cdot B(1) = aA. c) Determinați numărul real xx pentru care A⋅B(x)=A⋅(B(0)−3I2)A \cdot B(x) = A \cdot (B(0) - 3I_2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) B(2)=(3513)B(2) = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(B(2))=3⋅3−5⋅1=\det(B(2)) = 3 \cdot 3 - 5 \cdot 1 =
2
2 puncte
=9−5=4= 9 - 5 = 4
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(0)⋅B(1)=(11−1−1)⋅(2301)=(24−2−4)=2AB(0) \cdot B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = 2A
4
2 puncte
aA=2AaA = 2A, de unde obținem a=2a = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A⋅B(x)=(3x−16x−1−3x+1−6x+1)A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 3x - 1 & 6x - 1 \\ -3x + 1 & -6x + 1 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx, A⋅(B(0)−3I2)=(−4−747)A \cdot (B(0) - 3I_2) = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}
6
2 puncte
(3x−16x−1−3x+1−6x+1)=(−4−747)\begin{pmatrix} 3x - 1 & 6x - 1 \\ -3x + 1 & -6x + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}, de unde obținem x=−1x = -1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+2X2+mX−3f = X^3 + 2X^2 + mX - 3, unde mm este număr real. a) Pentru m=0m = 0, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați numărul real mm pentru care polinomul ff este divizibil cu polinomul X+1X + 1. c) Determinați numărul real mm pentru care (1−x1)(1−x2)(1−x3)=x1x2x3(1 - x_1)(1 - x_2)(1 - x_3) = x_1 x_2 x_3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f=X3+2X2−3f = X^3 + 2X^2 - 3, deci f(1)=13+2⋅12−3=f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 =
2
2 puncte
=1+2−3=0= 1 + 2 - 3 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) f(−1)=(−1)3+2(−1)2+m(−1)−3=−m−2f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + m(-1) - 3 = -m - 2
4
2 puncte
−m−2=0-m - 2 = 0, de unde obținem m=−2m = -2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) (1−x1)(1−x2)(1−x3)=f(1)=m(1 - x_1)(1 - x_2)(1 - x_3) = f(1) = m, pentru orice număr real mm
6
2 puncte
x1x2x3=3x_1 x_2 x_3 = 3, deci m=3m = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x2x2+x−2f(x) = \frac{3x^2}{x^2 + x - 2}. a) Arătați că f′(x)=3x(x−4)(x2+x−2)2f'(x) = \frac{3x(x - 4)}{(x^2 + x - 2)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)+f(x2)≥173f(x) + f(x^2) \geq \frac{17}{3}, pentru orice x∈(1,2]x \in (1, 2].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=6x(x2+x−2)−3x2(2x+1)(x2+x−2)2=f'(x) = \frac{6x(x^2 + x - 2) - 3x^2(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2} =
2
2 puncte
=3x2−12x(x2+x−2)2=3x(x−4)(x2+x−2)2= \frac{3x^2 - 12x}{(x^2 + x - 2)^2} = \frac{3x(x - 4)}{(x^2 + x - 2)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3x2x2+x−2=lim⁡x→+∞31+1x−2x2=3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = 3
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=3y = 3 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(1,4]x \in (1, 4], deci ff este descrescătoare pe (1,4](1, 4]
6
3 puncte
1<x≤2⇒1<x2≤41 < x \leq 2 \Rightarrow 1 < x^2 \leq 4, deci f(x)≥f(2)f(x) \geq f(2) și f(x2)≥f(4)f(x^2) \geq f(4); cum f(2)=3f(2) = 3 și f(4)=83f(4) = \frac{8}{3}, obținem f(x)+f(x2)≥173f(x) + f(x^2) \geq \frac{17}{3}, pentru orice x∈(1,2]x \in (1, 2]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x(x−1)2f(x) = x(x - 1)^2. a) Arătați că ∫37f(x)(x−1)2 dx=20\displaystyle\int_3^7 \frac{f(x)}{(x - 1)^2} \, dx = 20. b) Arătați că ∫23xf(x) dx=12\displaystyle\int_2^3 \frac{x}{f(x)} \, dx = \frac{1}{2}. c) Arătați că ∫01xf(ex)ex dx=e2−54\displaystyle\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x} \, dx = \frac{e^2 - 5}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫37f(x)(x−1)2 dx=∫37x dx=x22∣37=\displaystyle\int_3^7 \frac{f(x)}{(x - 1)^2} \, dx = \int_3^7 x \, dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_3^7 =
2
2 puncte
=492−92=20= \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = 20
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫23xf(x) dx=∫23(x−1)′(x−1)2 dx=−1x−1∣23=\displaystyle\int_2^3 \frac{x}{f(x)} \, dx = \int_2^3 \frac{(x - 1)'}{(x - 1)^2} \, dx = \left.-\frac{1}{x - 1}\right|_2^3 =
4
2 puncte
=−12+1=12= -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫01xf(ex)ex dx=∫01x(ex−1)2 dx=∫01x(e2x2−2ex+x22)′dx+x22∣01=\displaystyle\int_0^1 \frac{x f(e^x)}{e^x} \, dx = \int_0^1 x(e^x - 1)^2 \, dx = \int_0^1 x\left(\frac{e^{2x}}{2} - 2e^x + \frac{x^2}{2}\right)' dx + \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 =
6
2 puncte
=x(e2x2−2ex)∣01−(e2x4−2ex)∣01+12=e2−54= \left.x\left(\frac{e^{2x}}{2} - 2e^x\right)\right|_0^1 - \left.\left(\frac{e^{2x}}{4} - 2e^x\right)\right|_0^1 + \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 5}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2023 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă 2023 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac