BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă 2024 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a1a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, cu a2=14a_2 = 14 și a3=18a_3 = 18.

Rezolvare

1
3 puncte
a2=a1+a32⇒14=a1+182a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} \Rightarrow 14 = \dfrac{a_1 + 18}{2}
2
2 puncte
a1=10a_1 = 10
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2f(x) = x + 2. Arătați că (f∘f)(5)=9(f \circ f)(5) = 9.

Rezolvare

1
2 puncte
f(5)=7f(5) = 7
2
3 puncte
(f∘f)(5)=f(f(5))=f(7)=9(f \circ f)(5) = f(f(5)) = f(7) = 9
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+2x+13=1−x3\sqrt[3]{x^2 + 2x + 1} = \sqrt[3]{1 - x}.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+2x+1=1−xx^2 + 2x + 1 = 1 - x, de unde obținem x2+3x=0x^2 + 3x = 0
2
2 puncte
x=−3x = -3 sau x=0x = 0
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,7,9}A = \{1, 2, 3, 7, 9\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților se poate alege în 44 moduri
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 44 moduri, deci se pot forma 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctul A(2,1)A(2, 1). Determinați coordonatele punctului BB pentru care AB→=2OA→\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{OA}.

Rezolvare

1
3 puncte
OA→=2i⃗+j⃗\overrightarrow{OA} = 2\vec{i} + \vec{j}, AB→=(xB−2)i⃗+(yB−1)j⃗\overrightarrow{AB} = (x_B - 2)\vec{i} + (y_B - 1)\vec{j}, unde B(xB,yB)B(x_B, y_B)
2
2 puncte
(xB−2)i⃗+(yB−1)j⃗=4i⃗+2j⃗(x_B - 2)\vec{i} + (y_B - 1)\vec{j} = 4\vec{i} + 2\vec{j}, de unde obținem xB=6x_B = 6 și yB=3y_B = 3
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu BC=12BC = 12 și AB=BC2AB = \dfrac{BC}{2}. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 18318\sqrt{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=6AB = 6, AC=63AC = 6\sqrt{3}
2
3 puncte
A△ABC=6⋅632=183\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(000010001)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(2x0001x0x1)B(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(B(1))=0\det(B(1)) = 0. b) Arătați că B(x)⋅B(y)−B(x+y)=xyAB(x) \cdot B(y) - B(x + y) = xyA, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx pentru care B(x)⋅B(x+1)−B(2x)⋅B(1)=xAB(x) \cdot B(x + 1) - B(2x) \cdot B(1) = xA.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) B(1)=(200011011)B(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(B(1))=∣200011011∣\det(B(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=2+0+0−0−2−0=0= 2 + 0 + 0 - 0 - 2 - 0 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) B(x)⋅B(y)−B(x+y)=(2x+y0001+xyy+x0x+yxy+1)−(2x+y0001x+y0x+y1)B(x) \cdot B(y) - B(x + y) = \begin{pmatrix} 2^{x+y} & 0 & 0 \\ 0 & 1 + xy & y + x \\ 0 & x + y & xy + 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2^{x+y} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x + y \\ 0 & x + y & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(0000xy000xy)=xyA= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & xy & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{pmatrix} = xyA, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) B(x)⋅B(x+1)=B(2x+1)+(x2+x)AB(x) \cdot B(x + 1) = B(2x + 1) + (x^2 + x)A, B(2x)⋅B(1)=B(2x+1)+2xAB(2x) \cdot B(1) = B(2x + 1) + 2xA, de unde obținem B(x)⋅B(x+1)−B(2x)⋅B(1)=(x2−x)AB(x) \cdot B(x + 1) - B(2x) \cdot B(1) = (x^2 - x)A, pentru orice număr real xx
6
2 puncte
(x2−x)A=xA(x^2 - x)A = xA, de unde obținem x=0x = 0 sau x=2x = 2
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+aX2+X+2−af = X^3 + aX^2 + X + 2 - a, unde aa este număr real. a) Arătați că f(1)=4f(1) = 4, pentru orice număr real aa. b) Pentru a=2a = 2, determinați rădăcinile polinomului ff. c) Determinați numărul real aa pentru care (x1−x12)(x2−x22)(x3−x32)=4(x_1 - x_1^2)(x_2 - x_2^2)(x_3 - x_3^2) = 4, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f(1)=13+a⋅12+1+2−af(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + 1 + 2 - a
2
2 puncte
=1+a+1+2−a=4= 1 + a + 1 + 2 - a = 4, pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f=X3+2X2+X=X(X2+2X+1)f = X^3 + 2X^2 + X = X(X^2 + 2X + 1)
4
3 puncte
Rădăcinile polinomului sunt x1=x2=−1x_1 = x_2 = -1 și x3=0x_3 = 0
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x1x2x3=−2+ax_1 x_2 x_3 = -2 + a, (x1−x12)(x2−x22)(x3−x32)=x1x2x3(1−x1)(1−x2)(1−x3)=(−2+a)⋅f(1)(x_1 - x_1^2)(x_2 - x_2^2)(x_3 - x_3^2) = x_1 x_2 x_3(1 - x_1)(1 - x_2)(1 - x_3) = (-2 + a) \cdot f(1)
6
2 puncte
4(−2+a)=44(-2 + a) = 4, de unde obținem a=3a = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2−2)e2xf(x) = (x^2 - 2)e^{2x}. a) Arătați că f′(x)=2e2x(x2+x−2)f'(x) = 2e^{2x}(x^2 + x - 2), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f(x)f′(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{f'(x)}. c) Determinați imaginea funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x2−2)′⋅e2x+(x2−2)(e2x)′f'(x) = (x^2 - 2)' \cdot e^{2x} + (x^2 - 2)(e^{2x})'
2
3 puncte
=2xe2x+(x2−2)⋅2e2x=2e2x(x2+x−2)= 2xe^{2x} + (x^2 - 2) \cdot 2e^{2x} = 2e^{2x}(x^2 + x - 2), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)f′(x)=lim⁡x→+∞x2−22(x2+x−2)=lim⁡x→+∞x2(1−2x2)2x2(1+1x−2x2)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 2}{2(x^2 + x - 2)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\left(1 - \dfrac{2}{x^2}\right)}{2x^2\left(1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^2}\right)}
4
2 puncte
=lim⁡x→+∞1−2x22(1+1x−2x2)=12= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - \dfrac{2}{x^2}}{2\left(1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=−2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2 sau x=1x = 1; pentru orice x∈(−∞,−2]x \in (-\infty, -2], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2]; pentru orice x∈[−2,1]x \in [-2, 1], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [−2,1][-2, 1] și pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
2 puncte
Cum lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, f(1)=−e2f(1) = -e^2 și ff este continuă, imaginea funcției ff este [−e2,+∞)[-e^2, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x4+6x2+1f(x) = x^4 + 6x^2 + 1. a) Arătați că ∫−11(f(x)−6x2)dx=125\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x) - 6x^2\right) dx = \dfrac{12}{5}. b) Arătați că ∫16x3f(x)−1 dx=ln⁡62\displaystyle\int_1^6 \dfrac{x^3}{f(x) - 1}\, dx = \dfrac{\ln 6}{2}. c) Arătați că lim⁡x→0(1x3∫0x(f(2t)−f(t))dt)=6\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x^3} \int_0^x \left(f(2t) - f(t)\right) dt\right) = 6.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫−11(f(x)−6x2)dx=∫−11(x4+1) dx=(x55+x)∣−11\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f(x) - 6x^2\right) dx = \int_{-1}^{1} (x^4 + 1)\, dx = \left.\left(\dfrac{x^5}{5} + x\right)\right|_{-1}^{1}
2
2 puncte
=15+1+15+1=125= \dfrac{1}{5} + 1 + \dfrac{1}{5} + 1 = \dfrac{12}{5}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫16x3f(x)−1 dx=∫16x3x4+6x2 dx=12∫16(x2+6)′x2+6 dx=12ln⁡(x2+6)∣16\displaystyle\int_1^6 \dfrac{x^3}{f(x) - 1}\, dx = \int_1^6 \dfrac{x^3}{x^4 + 6x^2}\, dx = \dfrac{1}{2} \int_1^6 \dfrac{(x^2 + 6)'}{x^2 + 6}\, dx = \dfrac{1}{2} \left.\ln(x^2 + 6)\right|_1^6
4
2 puncte
=ln⁡422−ln⁡72=ln⁡62= \dfrac{\ln 42}{2} - \dfrac{\ln 7}{2} = \dfrac{\ln 6}{2}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) lim⁡x→0(1x3∫0x(f(2t)−f(t))dt)=lim⁡x→0(∫0x(f(2t)−f(t))dt)′(x3)′=lim⁡x→0f(2x)−f(x)3x2\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x^3} \int_0^x \left(f(2t) - f(t)\right) dt\right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\left(\displaystyle\int_0^x \left(f(2t) - f(t)\right) dt\right)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(2x) - f(x)}{3x^2}
6
2 puncte
=lim⁡x→015x4+18x23x2=lim⁡x→0(5x2+6)=6= \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{15x^4 + 18x^2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} (5x^2 + 6) = 6

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară Rezervă 2024 — Științele Naturii

Următor →

Bac Toamnă 2024 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac