BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2011 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați log⁡63+log⁡612\log_6 3 + \log_6 12.

Rezolvare

1
3 puncte
log⁡63+log⁡612=log⁡636\log_6 3 + \log_6 12 = \log_6 36
2
2 puncte
log⁡636=log⁡662=2\log_6 36 = \log_6 6^2 = 2
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−x+3f(x) = 2x^2 - x + 3.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=−b2a=14x_V = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{4}
2
1 punct
Δ=−23\Delta = -23
3
2 puncte
yV=−Δ4a=238y_V = -\dfrac{\Delta}{4a} = \dfrac{23}{8}
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x+7x+1=3927^x + 7^{x+1} = 392.

Rezolvare

1
1 punct
7x+7x+1=392⇔7x+7x⋅7=3927^x + 7^{x+1} = 392 \Leftrightarrow 7^x + 7^x \cdot 7 = 392
2
2 puncte
7x⋅8=392⇔7x=497^x \cdot 8 = 392 \Leftrightarrow 7^x = 49
3
2 puncte
x=2x = 2
Exercițiul 4
Determinați n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \geq 2, pentru care Cn2=4An1C_n^2 = 4A_n^1.

Rezolvare

1
2 puncte
n!2!(n−2)!=4⋅n!(n−1)!\dfrac{n!}{2!(n-2)!} = 4 \cdot \dfrac{n!}{(n-1)!}
2
2 puncte
n−12=4\dfrac{n-1}{2} = 4
3
1 punct
n=9n = 9
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,−2)A(0, -2) și B(4,m)B(4, m), unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care AB=5AB = 5.

Rezolvare

1
1 punct
(4−0)2+(m+2)2=5\sqrt{(4-0)^2 + (m+2)^2} = 5
2
2 puncte
m2+4m−5=0m^2 + 4m - 5 = 0
3
2 puncte
m=−5m = -5 sau m=1m = 1
Exercițiul 6
Calculați cos⁡40°+cos⁡140°\cos 40° + \cos 140°.

Rezolvare

1
3 puncte
cos⁡140°=cos⁡(180°−40°)=−cos⁡40°\cos 140° = \cos(180° - 40°) = -\cos 40°
2
2 puncte
cos⁡40°+cos⁡140°=0\cos 40° + \cos 140° = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(m−111m−11−21)A = \begin{pmatrix} m & -1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {mx−y+z=0x+my−z=0x−2y+z=0\begin{cases} mx - y + z = 0 \\ x + my - z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}, unde mm este parametru real. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care tripletul (−1,2,5)(-1, 2, 5) este o soluție a sistemului. c) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care sistemul admite doar soluția (0,0,0)(0, 0, 0).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣m−111m−11−21∣=m2−2+1−m−2m+1=\det A = \begin{vmatrix} m & -1 & 1 \\ 1 & m & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = m^2 - 2 + 1 - m - 2m + 1 =
2
2 puncte
=m2−3m= m^2 - 3m
b)5 puncte
3
3 puncte
b) {−m−2+5=0−1+2m−5=0−1−4+5=0\begin{cases} -m - 2 + 5 = 0 \\ -1 + 2m - 5 = 0 \\ -1 - 4 + 5 = 0 \end{cases}
4
2 puncte
m=3m = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) det⁡A≠0\det A \neq 0
6
3 puncte
m∈R∖{0,3}m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 3\}
Exercițiul 2
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. a) Arătați că legea ‘∗*" este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ‘∗*". c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2∗2=x∗4x^2 * 2 = x * 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z
2
2 puncte
x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z
3
1 punct
Deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), legea este asociativă
b)5 puncte
4
2 puncte
b) x∗e=e∗x=xe+x+ex * e = e * x = xe + x + e, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
5
1 punct
ex+e=0ex + e = 0, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
6
2 puncte
e=0e = 0
c)5 puncte
7
1 punct
c) x2∗2=3x2+2x^2 * 2 = 3x^2 + 2
8
1 punct
x∗4=5x+4x * 4 = 5x + 4
9
1 punct
x2∗2=x∗4⇔3x2−5x−2=0x^2 * 2 = x * 4 \Leftrightarrow 3x^2 - 5x - 2 = 0
10
2 puncte
x1=−13x_1 = -\dfrac{1}{3} și x2=2x_2 = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2(x−1)2f(x) = \dfrac{x+2}{(x-1)^2}. a) Arătați că f′(x)=−x−5(x−1)3f'(x) = \dfrac{-x-5}{(x-1)^3}, oricare ar fi x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff. c) Arătați că f(x)+112≥0f(x) + \dfrac{1}{12} \geq 0, oricare ar fi x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(x−1)2−2(x−1)(x+2)(x−1)4f'(x) = \dfrac{(x-1)^2 - 2(x-1)(x+2)}{(x-1)^4}, x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}
2
2 puncte
=−x−5(x−1)3= \dfrac{-x-5}{(x-1)^3}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ff este continuă pe R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} și lim⁡x→1x+2(x−1)2=+∞\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x+2}{(x-1)^2} = +\infty
4
2 puncte
x=1x = 1 este ecuația asimptotei verticale
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇒x=−5f'(x) = 0 \Rightarrow x = -5
6
2 puncte
x=−5x = -5 punct de minim global pe (−∞,1)(-\infty, 1)
7
2 puncte
f(x)≥f(−5)f(x) \geq f(-5), pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1), deci f(x)≥−112f(x) \geq -\dfrac{1}{12}, pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1), de unde f(x)+112≥0f(x) + \dfrac{1}{12} \geq 0, pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)={ln⁡xx,x>1x−1x,0<x≤1f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln x}{x}, & x > 1 \\ \dfrac{x-1}{x}, & 0 < x \leq 1 \end{cases}. a) Calculați ∫2ef(x)ln⁡x dx\displaystyle\int_2^e \dfrac{f(x)}{\ln x}\, dx. b) Fie g:(0,1]→Rg : (0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)g(x) = f(x). Determinați primitiva funcției gg, primitivă al cărei grafic conține punctul A(1,5)A(1, 5). c) Calculați ∫12ef(x) dx\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^e f(x)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫2ef(x)ln⁡x dx=∫2e1x dx=ln⁡x∣2e=\displaystyle\int_2^e \dfrac{f(x)}{\ln x}\, dx = \int_2^e \dfrac{1}{x}\, dx = \ln x \Big|_2^e =
2
2 puncte
=1−ln⁡2= 1 - \ln 2
b)5 puncte
3
1 punct
b) g(x)=x−1xg(x) = \dfrac{x-1}{x}, x∈(0,1]x \in (0, 1]
4
1 punct
∫g(x) dx=x−ln⁡x+C\int g(x)\, dx = x - \ln x + C
5
1 punct
G(x)=x−ln⁡x+cG(x) = x - \ln x + c, c∈Rc \in \mathbb{R}, este o primitivă a funcției gg pe intervalul (0,1](0, 1]
6
1 punct
A(1,5)A(1, 5) aparține graficului funcției G⇒G(1)=5⇒c=4G \Rightarrow G(1) = 5 \Rightarrow c = 4
7
1 punct
G(x)=x−ln⁡x+4G(x) = x - \ln x + 4
c)5 puncte
8
2 puncte
c) ∫12ef(x) dx=∫121x−1x dx+∫1eln⁡xx dx\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^e f(x)\, dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{x-1}{x}\, dx + \int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\, dx
9
1 punct
∫121x−1x dx=12−ln⁡2\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \dfrac{x-1}{x}\, dx = \dfrac{1}{2} - \ln 2
10
1 punct
∫1eln⁡xx dx=12ln⁡2x∣1e=12\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}\, dx = \dfrac{1}{2}\ln^2 x \Big|_1^e = \dfrac{1}{2}
11
1 punct
∫12ef(x) dx=1−ln⁡2\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^e f(x)\, dx = 1 - \ln 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2011 — Științele Naturii

Următor →

Model 2011 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac