BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, dacă a1=2a_1 = 2 și a3=8a_3 = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
S3=(a1+a3)⋅32=(2+8)⋅32=S_3 = \dfrac{(a_1 + a_3) \cdot 3}{2} = \dfrac{(2 + 8) \cdot 3}{2} =
2
2 puncte
=15= 15
Exercițiul 2
Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+2f(x) = x^2 - 4x + 2.

Rezolvare

1
2 puncte
xV=2x_V = 2
2
3 puncte
yV=−2y_V = -2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3x=log⁡3(4−x)\log_3 x = \log_3(4 - x).

Rezolvare

1
3 puncte
x=4−xx = 4 - x
2
2 puncte
Rezultă x=2x = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 44.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele de două cifre care au produsul cifrelor egal cu 44 sunt 1414, 2222 și 4141, deci sunt 33 cazuri favorabile
2
1 punct
Numărul de numere naturale de două cifre este 9090, deci sunt 9090 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=130p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{1}{30}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1) și B(4,1)B(4, 1). Determinați coordonatele punctului MM știind că AM→=13AB→\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.

Rezolvare

1
2 puncte
AB→=3i⃗\overrightarrow{AB} = 3\vec{i} și AM→=(xM−1)i⃗+(yM−1)j⃗\overrightarrow{AM} = (x_M - 1)\vec{i} + (y_M - 1)\vec{j}
2
3 puncte
AM→=13AB→⇒{xM=2yM=1\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \begin{cases} x_M = 2 \\ y_M = 1 \end{cases}
Exercițiul 6
Arătați că 4sin⁡π12cos⁡π12=14\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
4sin⁡π12cos⁡π12=2sin⁡π6=4\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12} = 2\sin\dfrac{\pi}{6} =
2
2 puncte
=2⋅12=1= 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real mm se consideră matricea A(m)=(22m+12m+12m+122)A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & m+1 \\ 2 & m+1 & 2 \\ m+1 & 2 & 2 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(A(−1))\det(A(-1)). b) Verificați dacă A(0)⋅A(1)=5A(1)A(0) \cdot A(1) = 5A(1). c) Determinați numerele reale mm pentru care det⁡(A(m))=0\det(A(m)) = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(−1)=(220202022)⇒det⁡(A(−1))=∣220202022∣=A(-1) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(-1)) = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0+0+0−0−8−8=−16= 0 + 0 + 0 - 0 - 8 - 8 = -16
b)5 puncte
3
2 puncte
b) A(0)⋅A(1)=(221212122)⋅(222222222)=A(0) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} =
4
3 puncte
=(101010101010101010)=5A(1)= \begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \\ 10 & 10 & 10 \end{pmatrix} = 5A(1)
c)5 puncte
5
3 puncte
c) det⁡(A(m))=∣22m+12m+12m+122∣=−(m+5)(m−1)2\det(A(m)) = \begin{vmatrix} 2 & 2 & m+1 \\ 2 & m+1 & 2 \\ m+1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -(m+5)(m-1)^2
6
2 puncte
det⁡(A(m))=0⇔m=−5\det(A(m)) = 0 \Leftrightarrow m = -5 sau m=1m = 1
Exercițiul 2
Pe R\mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy−2x−2y+6x \circ y = xy - 2x - 2y + 6. a) Verificați dacă x∘y=(x−2)(y−2)+2x \circ y = (x - 2)(y - 2) + 2, pentru orice numere reale xx și yy. b) Arătați că x∘2=2∘x=2x \circ 2 = 2 \circ x = 2, pentru orice număr real xx. c) Calculați 1∘2∘3∘…∘2012∘20131 \circ 2 \circ 3 \circ \ldots \circ 2012 \circ 2013.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) xy−2x−2y+6=x(y−2)−2(y−2)+2=xy - 2x - 2y + 6 = x(y - 2) - 2(y - 2) + 2 =
2
2 puncte
=(x−2)(y−2)+2= (x - 2)(y - 2) + 2, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∘2=(x−2)(2−2)+2=2x \circ 2 = (x - 2)(2 - 2) + 2 = 2, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
2∘x=(2−2)(x−2)+2=2⇒x∘2=2∘x=22 \circ x = (2 - 2)(x - 2) + 2 = 2 \Rightarrow x \circ 2 = 2 \circ x = 2, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 1∘2∘3∘…∘2012∘2013=(1∘2)∘3∘…∘2012∘2013=1 \circ 2 \circ 3 \circ \ldots \circ 2012 \circ 2013 = (1 \circ 2) \circ 3 \circ \ldots \circ 2012 \circ 2013 =
6
2 puncte
=2∘(3∘…∘2012∘2013)=2= 2 \circ (3 \circ \ldots \circ 2012 \circ 2013) = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−1x2+1f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 + 1}. a) Arătați că f′(x)=x4+3x2+2x(x2+1)2f'(x) = \dfrac{x^4 + 3x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→0f(x)−f(0)x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x}. c) Calculați lim⁡x→+∞(x+1x−1)f(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{f(x)}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x3−1)′(x2+1)−(x3−1)(x2+1)′(x2+1)2=f'(x) = \dfrac{(x^3 - 1)'(x^2 + 1) - (x^3 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} =
2
3 puncte
=3x2(x2+1)−2x(x3−1)(x2+1)2=x4+3x2+2x(x2+1)2= \dfrac{3x^2(x^2 + 1) - 2x(x^3 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{x^4 + 3x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→0f(x)−f(0)x=f′(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) =
4
2 puncte
=0= 0
c)5 puncte
5
1 punct
c) lim⁡x→+∞x+1x−1=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+1}{x-1} = 1
6
2 puncte
lim⁡x→+∞(x+1x−1)f(x)=lim⁡x→+∞(1+2x−1)x−12⋅2x−1⋅x3−1x2+1=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2} \cdot \frac{2}{x-1} \cdot \frac{x^3-1}{x^2+1}} =
7
2 puncte
=e2= e^2
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xne−x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\, dx. a) Arătați că I1=e−2eI_1 = \dfrac{e - 2}{e}. b) Verificați dacă In+1=(n+1)In−1eI_{n+1} = (n+1)I_n - \dfrac{1}{e}, pentru orice număr natural nenul nn. c) Arătați că 0≤In≤1n+10 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I1=∫01xe−x dx=−xe−x∣01+∫01e−x dx=I_1 = \displaystyle\int_0^1 x e^{-x}\, dx = -xe^{-x}\Big|_0^1 + \int_0^1 e^{-x}\, dx =
2
2 puncte
=−1e−e−x∣01=e−2e= -\dfrac{1}{e} - e^{-x}\Big|_0^1 = \dfrac{e - 2}{e}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) In+1=∫01xn+1e−x dx=−xn+1e−x∣01+(n+1)∫01xne−x dx=I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1} e^{-x}\, dx = -x^{n+1}e^{-x}\Big|_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n e^{-x}\, dx =
4
2 puncte
=−1e+(n+1)In= -\dfrac{1}{e} + (n+1)I_n
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și pentru orice x∈[0,1]x \in [0, 1] avem 0<e−x≤1⇒0≤xne−x≤xn0 < e^{-x} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x^n e^{-x} \leq x^n
6
3 puncte
0≤∫01xne−x dx≤∫01xn dx⇒0≤In≤1n+10 \leq \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\, dx \leq \int_0^1 x^n\, dx \Rightarrow 0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2013 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac