BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul x=3(1−i)+3ix = 3(1 - i) + 3i este real.

Rezolvare

1
3 puncte
3(1−i)+3i=3−3i+3i3(1 - i) + 3i = 3 - 3i + 3i
2
2 puncte
x=3∈Rx = 3 \in \mathbb{R}
Exercițiul 2
Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2 cu axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
f(x)=0⇒x=1f(x) = 0 \Rightarrow x = 1 sau x=2x = 2
2
2 puncte
Distanța este egală cu 11
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+3=82^{2x+3} = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
2x+3=32x + 3 = 3
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulțimea A={1,2,3,…,20}A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}, acesta să fie divizibil cu 44.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele din mulțimea AA divizibile cu 44 sunt 44, 88, 1212, 1616 și 2020, deci sunt 55 cazuri favorabile
2
1 punct
Numărul de elemente ale mulțimii AA este 2020, deci sunt 2020 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=14p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{1}{4}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−2,3)A(-2, 3), B(3,0)B(3, 0) și C(2,5)C(2, 5). Calculați lungimea medianei din BB a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului (AC)(AC) este M(0,4)M(0, 4)
2
3 puncte
BM=(−3)2+42=5BM = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5
Exercițiul 6
Determinați lungimea laturii ACAC a triunghiului ABCABC, știind că BC=4BC = 4, B=π6B = \dfrac{\pi}{6} și C=π3C = \dfrac{\pi}{3}.

Rezolvare

1
2 puncte
A=π2A = \dfrac{\pi}{2}
2
3 puncte
AC=12⋅BC=2AC = \dfrac{1}{2} \cdot BC = 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Pentru fiecare număr real xx se consideră matricea M(x)=(x1−x1−xx)M(x) = \begin{pmatrix} x & 1 - x \\ 1 - x & x \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(M(2))\det(M(2)). b) Verificați dacă M(x)⋅M(y)=M(2xy−x−y+1)M(x) \cdot M(y) = M(2xy - x - y + 1), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul real aa astfel încât M(a)⋅M(x)=M(a)M(a) \cdot M(x) = M(a), pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡(M(2))=∣2−1−12∣=\det(M(2)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=4−1=3= 4 - 1 = 3
b)5 puncte
3
3 puncte
b) M(x)⋅M(y)=(xy+(1−x)(1−y)x(1−y)+(1−x)y(1−x)y+x(1−y)(1−x)(1−y)+xy)=M(x) \cdot M(y) = \begin{pmatrix} xy + (1-x)(1-y) & x(1-y) + (1-x)y \\ (1-x)y + x(1-y) & (1-x)(1-y) + xy \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(2xy−x−y+11−(2xy−x−y+1)1−(2xy−x−y+1)2xy−x−y+1)=M(2xy−x−y+1)= \begin{pmatrix} 2xy - x - y + 1 & 1 - (2xy - x - y + 1) \\ 1 - (2xy - x - y + 1) & 2xy - x - y + 1 \end{pmatrix} = M(2xy - x - y + 1), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
1 punct
c) M(a)⋅M(x)=M(a)⇔M(2ax−a−x+1)=M(a)M(a) \cdot M(x) = M(a) \Leftrightarrow M(2ax - a - x + 1) = M(a), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
2ax−a−x+1=a2ax - a - x + 1 = a, pentru orice număr real xx
7
2 puncte
a=12a = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 2
Pe R\mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∘y=xy+2x+2y+2x \circ y = xy + 2x + 2y + 2. a) Calculați 0∘(−2)0 \circ (-2). b) Arătați că x∘y=(x+2)(y+2)−2x \circ y = (x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x∘x=6x \circ x \circ x = 6.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 0∘(−2)=0⋅(−2)+2⋅0+2⋅(−2)+2=0 \circ (-2) = 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) + 2 =
2
2 puncte
=−2= -2
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∘y=xy+2x+2y+2=x(y+2)+2(y+2)−2=x \circ y = xy + 2x + 2y + 2 = x(y + 2) + 2(y + 2) - 2 =
4
2 puncte
=(x+2)(y+2)−2= (x + 2)(y + 2) - 2, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) x∘x∘x=(x+2)3−2x \circ x \circ x = (x + 2)^3 - 2
6
2 puncte
(x+2)3−2=6⇒x=0(x + 2)^3 - 2 = 6 \Rightarrow x = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+2x−1f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}. a) Arătați că f′(x)=x(x−2)(x−1)2f'(x) = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați punctele de extrem ale funcției ff. c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+2)(x−1)2=f'(x) = \dfrac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} =
2
2 puncte
=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2= \dfrac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′(x)=0⇒x(x−2)=0⇒x=2f'(x) = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2, deoarece x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
4
2 puncte
f′(2)=0f'(2) = 0; f′(x)<0f'(x) < 0, pentru x∈(1,2)x \in (1, 2) și f′(x)>0f'(x) > 0, pentru x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
5
1 punct
Punctul de extrem este x=2x = 2
c)5 puncte
6
2 puncte
c) lim⁡x→+∞f(x)x=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1
7
2 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=−1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -1
8
1 punct
Ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff este y=x−1y = x - 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}. a) Calculați ∫12f(x)x dx\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}}\, dx. b) Arătați că funcția F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, F(x)=25x2xF(x) = \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x} este o primitivă a funcției ff. c) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuație x=1x = 1 și x=4x = 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) ∫12f(x)x dx=∫12x dx=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}}\, dx = \int_1^2 x\, dx =
2
3 puncte
=x22∣12=32= \dfrac{x^2}{2}\Big|_1^2 = \dfrac{3}{2}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) F′(x)=(25⋅x52)′=x32=xxF'(x) = \left(\dfrac{2}{5} \cdot x^{\frac{5}{2}}\right)' = x^{\frac{3}{2}} = x\sqrt{x}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
4
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci FF este o primitivă a funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A=∫14∣f(x)∣ dx=∫14xx dx=\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^4 |f(x)|\, dx = \int_1^4 x\sqrt{x}\, dx =
6
3 puncte
=25⋅x2x∣14=625= \dfrac{2}{5} \cdot x^2\sqrt{x}\Big|_1^4 = \dfrac{62}{5}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac