BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2(2+3)−23=42\left(2 + \sqrt{3}\right) - 2\sqrt{3} = 4.

Rezolvare

1
2 puncte
2(2+3)=4+232\left(2 + \sqrt{3}\right) = 4 + 2\sqrt{3}
2
3 puncte
4+23−23=44 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4
Exercițiul 2
Calculați f(4)+f(−4)f(4) + f(-4) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+4f(x) = x + 4.

Rezolvare

1
2 puncte
f(4)=8f(4) = 8
2
2 puncte
f(−4)=0f(-4) = 0
3
1 punct
f(4)+f(−4)=8f(4) + f(-4) = 8
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 72x=497^{2x} = 49.

Rezolvare

1
2 puncte
72x=727^{2x} = 7^2
2
3 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Prețul unui obiect este 10001000 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 10%10\%.

Rezolvare

1
2 puncte
10100⋅1000=100\dfrac{10}{100} \cdot 1000 = 100
2
3 puncte
Prețul după scumpire este 11001100 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,3)A(4, 3) și B(4,1)B(4, 1). Calculați distanța de la punctul AA la punctul BB.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=(4−4)2+(1−3)2AB = \sqrt{(4 - 4)^2 + (1 - 3)^2}
2
2 puncte
AB=2AB = 2
Exercițiul 6
Calculați sin⁡45°−sin⁡135°\sin 45° - \sin 135°.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡45°=22\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
2
2 puncte
sin⁡135°=22\sin 135° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
3
1 punct
sin⁡45°−sin⁡135°=0\sin 45° - \sin 135° = 0

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(−1221)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(1mmm+1)B = \begin{pmatrix} 1 & m \\ m & m+1 \end{pmatrix}, unde mm este număr real. a) Calculați det⁡A\det A. b) Pentru m=−2m = -2, arătați că A+B=O2A + B = O_2. c) Determinați numărul real mm pentru care A⋅B=(97716)A \cdot B = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 7 & 16 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) det⁡A=∣−1221∣=−1−4=\det A = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 4 =
2
2 puncte
=−5= -5
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Pentru m=−2m = -2 avem A+B=(−1221)+(1−2−2−1)=A + B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(0000)=O2= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A⋅B=(2m−1m+2m+23m+1)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2m - 1 & m + 2 \\ m + 2 & 3m + 1 \end{pmatrix}
6
2 puncte
(2m−1m+2m+23m+1)=(97716)⇔m=5\begin{pmatrix} 2m - 1 & m + 2 \\ m + 2 & 3m + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 7 & 16 \end{pmatrix} \Leftrightarrow m = 5
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+2X2+Xf = X^3 + 2X^2 + X. a) Arătați că f(−1)=0f(-1) = 0. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X2+Xg = X^2 + X. c) Calculați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2, știind că x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f(−1)=(−1)3+2⋅(−1)2+(−1)=f(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + (-1) =
2
3 puncte
=−1+2−1=0= -1 + 2 - 1 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Câtul este X+1X + 1
4
3 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x1+x2+x3=−2x_1 + x_2 + x_3 = -2, x1x2+x2x3+x1x3=1x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = 1
6
3 puncte
x12+x22+x32=(−2)2−2⋅1=2x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (-2)^2 - 2 \cdot 1 = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+10−11xf(x) = x + 10 - \dfrac{11}{x}. a) Verificați dacă f′(x)=x2+11x2f'(x) = \dfrac{x^2 + 11}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că funcția ff este crescătoare pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty). c) Arătați că funcția ff este concavă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=(x+10−11x)′=1−11⋅(−1x2)=f'(x) = \left(x + 10 - \dfrac{11}{x}\right)' = 1 - 11 \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) =
2
2 puncte
=1+11x2=x2+11x2= 1 + \dfrac{11}{x^2} = \dfrac{x^2 + 11}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
b) x∈(0,+∞)⇒x2+11>0x \in (0, +\infty) \Rightarrow x^2 + 11 > 0
4
2 puncte
f′(x)=x2+11x2⇒f′(x)>0f'(x) = \dfrac{x^2 + 11}{x^2} \Rightarrow f'(x) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este crescătoare pe (0,+∞)(0, +\infty)
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′′(x)=−22x3f''(x) = -\dfrac{22}{x^3}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
6
3 puncte
f′′(x)<0f''(x) < 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este concavă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+9f(x) = x^2 + 9. a) Calculați ∫12f′(x) dx\displaystyle\int_1^2 f'(x)\, dx. b) Arătați că ∫12f(x)x dx=32+9ln⁡2\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\, dx = \dfrac{3}{2} + 9\ln 2. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[0,1]→Rg : [0, 1] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−x2g(x) = f(x) - x^2 este egal cu 81π81\pi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫12f′(x) dx=f(x)∣12=\displaystyle\int_1^2 f'(x)\, dx = f(x)\Big|_1^2 =
2
2 puncte
=f(2)−f(1)=3= f(2) - f(1) = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫12f(x)x dx=∫12(x+9x) dx=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{x}\, dx = \int_1^2 \left(x + \dfrac{9}{x}\right)\, dx =
4
3 puncte
=(x22+9ln⁡x)∣12=32+9ln⁡2= \left(\dfrac{x^2}{2} + 9\ln x\right)\Big|_1^2 = \dfrac{3}{2} + 9\ln 2
c)5 puncte
5
2 puncte
c) V=π∫01g2(x) dx=π∫01(x2+9−x2)2 dx=V = \pi\displaystyle\int_0^1 g^2(x)\, dx = \pi\int_0^1 \left(x^2 + 9 - x^2\right)^2\, dx =
6
3 puncte
=π⋅81x∣01=81π= \pi \cdot 81x\Big|_0^1 = 81\pi

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă Rezervă 2013 — Științele Naturii

Următor →

Model 2013 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac