BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2014 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=1+iz = 1 + i. Calculați z2z^2.

Rezolvare

1
2 puncte
z2=(1+i)2=1+2i+i2=z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 =
2
3 puncte
=2i= 2i
Exercițiul 2
Arătați că parabola asociată funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 nu intersectează axa OxOx.

Rezolvare

1
3 puncte
Δ=16−24=−8\Delta = 16 - 24 = -8
2
2 puncte
Δ<0\Delta < 0, deci parabola asociată funcției ff nu intersectează axa OxOx
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x−3)=log⁡2(x+1)\log_2(2x - 3) = \log_2(x + 1).

Rezolvare

1
2 puncte
2x−3=x+12x - 3 = x + 1
2
3 puncte
x=4x = 4 care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie impar.

Rezolvare

1
2 puncte
Sunt 4545 de numere impare de două cifre, deci sunt 4545 de cazuri favorabile
2
1 punct
Sunt 9090 de numere de două cifre, deci sunt 9090 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=4590=12p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{45}{90} = \dfrac{1}{2}
Exercițiul 5
În triunghiul ABCABC punctele MM, NN și PP sunt mijloacele laturilor ABAB, BCBC și, respectiv, ACAC. Arătați că AM→+BN→+CP→=0⃗\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CP} = \vec{0}.

Rezolvare

1
2 puncte
AM→+BN→+CP→=12AB→+12BC→+12CA→=\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA} =
2
3 puncte
=12(AB→+BC→+CA→)=0⃗= \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\right) = \vec{0}
Exercițiul 6
Știind că tg a=3\text{tg}\, a = \sqrt{3} și a∈Ra \in \mathbb{R}, arătați că sin⁡a−cos⁡acos⁡a+sin⁡a=2−3\dfrac{\sin a - \cos a}{\cos a + \sin a} = 2 - \sqrt{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡a−cos⁡acos⁡a+sin⁡a=cos⁡a(sin⁡acos⁡a−1)cos⁡a(1+sin⁡acos⁡a)=tg a−11+tg a=\dfrac{\sin a - \cos a}{\cos a + \sin a} = \dfrac{\cos a\left(\dfrac{\sin a}{\cos a} - 1\right)}{\cos a\left(1 + \dfrac{\sin a}{\cos a}\right)} = \dfrac{\text{tg}\, a - 1}{1 + \text{tg}\, a} =
2
2 puncte
=3−11+3=2−3= \dfrac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(1111a212a)A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 2 & a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=−1\det(A(1)) = -1. b) Determinați numerele reale mm știind că det⁡(A(m))=0\det(A(m)) = 0. c) Determinați numerele reale aa astfel încât A(a)⋅A(a)−A(a2)=(21115−51−55)A(a) \cdot A(a) - A(a^2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & -5 \\ 1 & -5 & 5 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) det⁡(A(1))=∣111112121∣=\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+2+2−1−4−1=−1= 1 + 2 + 2 - 1 - 4 - 1 = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) det⁡(A(m))=∣1111m212m∣=m2−2m\det(A(m)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = m^2 - 2m
4
2 puncte
m2−2m=0⇔m1=0m^2 - 2m = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0 și m2=2m_2 = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(a)⋅A(a)=(3a+3a+3a+3a2+54a+1a+34a+1a2+5)A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a+3 & a+3 \\ a+3 & a^2+5 & 4a+1 \\ a+3 & 4a+1 & a^2+5 \end{pmatrix}, A(a2)=(1111a2212a2)A(a^2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & 2 \\ 1 & 2 & a^2 \end{pmatrix}
6
2 puncte
(2a+2a+2a+254a−1a+24a−15)=(21115−51−55)⇔a=−1\begin{pmatrix} 2 & a+2 & a+2 \\ a+2 & 5 & 4a-1 \\ a+2 & 4a-1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & -5 \\ 1 & -5 & 5 \end{pmatrix} \Leftrightarrow a = -1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=3x+3y−xy−6x * y = 3x + 3y - xy - 6. a) Calculați 1∗31 * 3. b) Arătați că x∗y=3−(x−3)(y−3)x * y = 3 - (x - 3)(y - 3) pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x∗…∗x⏟de 2014 ori=x\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text{de 2014 ori}} = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 1∗3=3⋅1+3⋅3−1⋅3−6=1 * 3 = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 3 - 6 =
2
2 puncte
=3= 3
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=3−xy+3x+3y−9=x * y = 3 - xy + 3x + 3y - 9 =
4
3 puncte
=3−x(y−3)+3(y−3)=3−(x−3)(y−3)= 3 - x(y - 3) + 3(y - 3) = 3 - (x - 3)(y - 3) pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) 3−(x−3)2014=x3 - (x - 3)^{2014} = x
6
2 puncte
x1=3x_1 = 3 și x2=2x_2 = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2x2−4x+5f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 4x + 5}. a) Arătați că f′(x)=(1−x)(x−3)(x2−4x+5)2f'(x) = \dfrac{(1 - x)(x - 3)}{(x^2 - 4x + 5)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x−2)′(x2−4x+5)−(x−2)(x2−4x+5)′(x2−4x+5)2=f'(x) = \dfrac{(x - 2)'(x^2 - 4x + 5) - (x - 2)(x^2 - 4x + 5)'}{(x^2 - 4x + 5)^2} =
2
3 puncte
=−x2+4x−3(x2−4x+5)2=(1−x)(x−3)(x2−4x+5)2= \dfrac{-x^2 + 4x - 3}{(x^2 - 4x + 5)^2} = \dfrac{(1 - x)(x - 3)}{(x^2 - 4x + 5)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x−2x2−4x+5=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 2}{x^2 - 4x + 5} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x1=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x_1 = 1 și x2=3x_2 = 3
6
1 punct
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1], deci ff este descrescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1]
7
1 punct
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[1,3]x \in [1, 3], deci ff este crescătoare pe [1,3][1, 3]
8
1 punct
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty), deci ff este descrescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty)
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫1exln⁡nx dxI_n = \displaystyle\int_1^e x \ln^n x\, dx. a) Arătați că I1=e2+14I_1 = \dfrac{e^2 + 1}{4}. b) Arătați că In+1≤InI_{n+1} \leq I_n pentru orice număr natural nenul nn. c) Demonstrați că 2In+1+(n+1)In=e22I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2 pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) I1=∫1exln⁡x dx=x22ln⁡x∣1e−12∫1ex dx=I_1 = \displaystyle\int_1^e x \ln x\, dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e - \dfrac{1}{2}\int_1^e x\, dx =
2
2 puncte
=e22−e24+14=e2+14= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}
b)5 puncte
3
2 puncte
b) In+1−In=∫1ex(ln⁡x−1)ln⁡nx dxI_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_1^e x(\ln x - 1)\ln^n x\, dx
4
3 puncte
Pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și x∈[1,e]x \in [1, e] avem ln⁡x≥0\ln x \geq 0 și ln⁡x−1≤0⇒In+1≤In\ln x - 1 \leq 0 \Rightarrow I_{n+1} \leq I_n
c)5 puncte
5
3 puncte
c) In+1=∫1exln⁡n+1x dx=x22ln⁡n+1x∣1e−∫1ex22⋅1x(n+1)ln⁡nx dx=I_{n+1} = \displaystyle\int_1^e x \ln^{n+1} x\, dx = \dfrac{x^2}{2}\ln^{n+1} x\Big|_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x}(n+1)\ln^n x\, dx =
6
2 puncte
=e22−n+12∫1exln⁡nx dx⇒2In+1+(n+1)In=e2= \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{n+1}{2}\displaystyle\int_1^e x \ln^n x\, dx \Rightarrow 2I_{n+1} + (n+1)I_n = e^2 pentru orice număr natural nenul nn

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2014 — Tehnologic

Următor →

Bac Toamnă Rezervă 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac