BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Toamnă Rezervă 2016 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați rația progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b3=5b_3 = 5 și b4=10b_4 = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
q=b4b3=105q = \dfrac{b_4}{b_3} = \dfrac{10}{5}
2
2 puncte
=2= 2
Exercițiul 2
Determinați valoarea maximă a funcției f:[1,5]→Rf : [1, 5] \to \mathbb{R}, f(x)=x−3f(x) = x - 3.

Rezolvare

1
2 puncte
x≤5⇒x−3≤2x \leq 5 \Rightarrow x - 3 \leq 2
2
3 puncte
f(x)≤2f(x) \leq 2, deci valoarea maximă a funcției este 22
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+12=x+2\sqrt{x^2 + 12} = x + 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+12=(x+2)2⇒4x−8=0x^2 + 12 = (x + 2)^2 \Rightarrow 4x - 8 = 0
2
2 puncte
x=2x = 2, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.

Rezolvare

1
3 puncte
C72=7!2!⋅5!C_7^2 = \dfrac{7!}{2! \cdot 5!}
2
2 puncte
=21= 21
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,4)A(3, 4) și B(1,0)B(1, 0). Determinați ecuația dreptei ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
y−04−0=x−13−1\dfrac{y - 0}{4 - 0} = \dfrac{x - 1}{3 - 1}
2
2 puncte
y=2x−2y = 2x - 2
Exercițiul 6
Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABCABC, în care AB=6AB = 6 și C=π3C = \dfrac{\pi}{3}.

Rezolvare

1
3 puncte
ABsin⁡C=2R⇒R=62⋅32\dfrac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{6}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}
2
2 puncte
=23= 2\sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1+x−x2x1−2x)A(x) = \begin{pmatrix} 1 + x & -x \\ 2x & 1 - 2x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=A(x+y−xy)A(x) \cdot A(y) = A(x + y - xy), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx, x≠1x \neq 1, pentru care matricea A(x)A(x) este egală cu inversa ei.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) A(0)=(1001)⇒det⁡(A(0))=∣1001∣A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
2
3 puncte
=1−0=1= 1 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
b) A(x)⋅A(y)=(1+x−x2x1−2x)(1+y−y2y1−2y)=(1+x+y−xy−y−x+xy2x+2y−2xy1−2y−2x+2xy)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 + x & -x \\ 2x & 1 - 2x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 + y & -y \\ 2y & 1 - 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + x + y - xy & -y - x + xy \\ 2x + 2y - 2xy & 1 - 2y - 2x + 2xy \end{pmatrix}
4
2 puncte
=(1+(x+y−xy)−(x+y−xy)2(x+y−xy)1−2(x+y−xy))=A(x+y−xy)= \begin{pmatrix} 1 + (x + y - xy) & -(x + y - xy) \\ 2(x + y - xy) & 1 - 2(x + y - xy) \end{pmatrix} = A(x + y - xy), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
c) A(x)⋅A(x)=I2A(x) \cdot A(x) = I_2 și, cum I2=A(0)I_2 = A(0), obținem A(x+x−x2)=A(0)A(x + x - x^2) = A(0)
6
2 puncte
2x−x2=0⇔x=02x - x^2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 sau x=2x = 2
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6x−6y+21x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 21. a) Arătați că x∘y=2(x−3)(y−3)+3x \circ y = 2(x - 3)(y - 3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy. b) Arătați că 1∘2∘3∘4=31 \circ 2 \circ 3 \circ 4 = 3. c) Determinați numerele reale xx, pentru care x∘x∘x=xx \circ x \circ x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) x∘y=2xy−6x−6y+18+3x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 18 + 3
2
3 puncte
=2x(y−3)−6(y−3)+3=2(x−3)(y−3)+3= 2x(y - 3) - 6(y - 3) + 3 = 2(x - 3)(y - 3) + 3, pentru orice numere reale xx și yy
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 1∘2∘3∘4=((1∘2)∘3)∘41 \circ 2 \circ 3 \circ 4 = ((1 \circ 2) \circ 3) \circ 4
4
2 puncte
=3∘4=3= 3 \circ 4 = 3
c)5 puncte
5
2 puncte
c) x∘x=2(x−3)2+3x \circ x = 2(x - 3)^2 + 3, x∘x∘x=4(x−3)3+3x \circ x \circ x = 4(x - 3)^3 + 3
6
3 puncte
4(x−3)3+3=x⇔x=524(x - 3)^3 + 3 = x \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2} sau x=3x = 3 sau x=72x = \dfrac{7}{2}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xf(x) = x - \ln x. a) Arătați că f′(x)=x−1xf'(x) = \dfrac{x - 1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Demonstrați că funcția ff este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty). c) Demonstrați că ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
a) f′(x)=(x)′−(ln⁡x)′=f'(x) = (x)' - (\ln x)' =
2
3 puncte
=1−1x=x−1x= 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f′′(x)=1x2f''(x) = \dfrac{1}{x^2}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
4
3 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒fx \in (0, +\infty) \Rightarrow f este convexă pe intervalul (0,+∞)(0, +\infty)
c)5 puncte
5
1 punct
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1
6
1 punct
x∈(0,1]⇒f′(x)≤0x \in (0, 1] \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1]
7
1 punct
x∈[1,+∞)⇒f′(x)≥0x \in [1, +\infty) \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
8
2 puncte
Cum f(1)=1f(1) = 1, obținem f(x)≥1f(x) \geq 1, deci ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫01(x2+1)f(x) dx=1\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1) f(x)\, dx = 1. b) Demonstrați că ∫01x2f(x) dx=1−π4\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x)\, dx = 1 - \dfrac{\pi}{4}. c) Determinați numerele naturale nn, știind că ∫nn+12xf(x) dx=ln⁡2\displaystyle\int_n^{n+1} 2x f(x)\, dx = \ln 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫01(x2+1)f(x) dx=∫01(x2+1)⋅1x2+1 dx=∫011 dx=x∣01\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1) f(x)\, dx = \int_0^1 (x^2 + 1) \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1}\, dx = \int_0^1 1\, dx = x \Big|_0^1
2
2 puncte
=1−0=1= 1 - 0 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
b) ∫01x2f(x) dx=∫01x2x2+1 dx=∫011 dx−∫011x2+1 dx\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x)\, dx = \int_0^1 \dfrac{x^2}{x^2 + 1}\, dx = \int_0^1 1\, dx - \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 1}\, dx
4
3 puncte
=x∣01−arctan⁡x∣01=1−arctan⁡1=1−π4= x \Big|_0^1 - \arctan x \Big|_0^1 = 1 - \arctan 1 = 1 - \dfrac{\pi}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
c) ∫nn+12xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)∣nn+1=ln⁡(n+1)2+1n2+1\displaystyle\int_n^{n+1} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\, dx = \ln(x^2 + 1) \Big|_n^{n+1} = \ln \dfrac{(n+1)^2 + 1}{n^2 + 1}
6
2 puncte
ln⁡(n+1)2+1n2+1=ln⁡2⇔n2−2n=0⇔n=0\ln \dfrac{(n+1)^2 + 1}{n^2 + 1} = \ln 2 \Leftrightarrow n^2 - 2n = 0 \Leftrightarrow n = 0 sau n=2n = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Toamnă 2016 — Tehnologic

Următor →

Model 2016 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac