BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2011 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (2,5)∩Z={2}(\sqrt{2}, \sqrt{5}) \cap \mathbb{Z} = \{2\}.

Rezolvare

1
2 puncte
1<2<21 < \sqrt{2} < 2
2
2 puncte
2<5<32 < \sqrt{5} < 3
3
1 punct
Rezultă că 22 este singurul număr întreg din intervalul dat
Exercițiul 2
Determinați valorile reale ale lui mm pentru care dreapta x=2x = 2 este axa de simetrie a parabolei y=x2+mx+4y = x^2 + mx + 4.

Rezolvare

1
2 puncte
Axa de simetrie a parabolei este dreapta de ecuație x=xV=−b2ax = x_V = -\frac{b}{2a}
2
3 puncte
−m2=2⇒m=−4-\frac{m}{2} = 2 \Rightarrow m = -4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea [0,2π)[0, 2\pi) ecuația sin⁡(x−π6)=12\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.

Rezolvare

1
3 puncte
x−π6∈{(−1)kπ6+kπ∣k∈Z}x - \frac{\pi}{6} \in \left\{(-1)^k \frac{\pi}{6} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}
2
2 puncte
x∈{π3,π}x \in \left\{\frac{\pi}{3}, \pi\right\}
Exercițiul 4
Determinați n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥2n \geq 2, pentru care Cn2+An2=18C_n^2 + A_n^2 = 18.

Rezolvare

1
2 puncte
An2=n(n−1)A_n^2 = n(n-1)
2
2 puncte
Cn2=n(n−1)2C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}
3
1 punct
n(n−1)=12⇒n=4n(n-1) = 12 \Rightarrow n = 4
Exercițiul 5
Determinați a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care dreptele d1:ax+y+2011=0d_1 : ax + y + 2011 = 0 și d2:x−2y=0d_2 : x - 2y = 0 sunt paralele.

Rezolvare

1
3 puncte
a1=1−2\frac{a}{1} = \frac{1}{-2}
2
2 puncte
a=−12a = -\frac{1}{2}
Exercițiul 6
Fie xx un număr real care verifică egalitatea tg x+ctg x=2\text{tg}\, x + \text{ctg}\, x = 2. Arătați că sin⁡2x=1\sin 2x = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=2\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = 2
2
2 puncte
1=2sin⁡x⋅cos⁡x1 = 2 \sin x \cdot \cos x
3
1 punct
sin⁡2x=1\sin 2x = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1xx2012x001)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde x∈Rx \in \mathbb{R}. a) Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x) \cdot A(y) = A(x + y), oricare ar fi x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. b) Arătați că (A(x)−A(y))2011=O3(A(x) - A(y))^{2011} = O_3, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. c) Determinați inversa matricei A(x)A(x), unde x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
A(x)⋅A(y)=(1xx2012x001)⋅(1yy2012y001)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & y & y^2 \\ 0 & 1 & 2y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2
4 puncte
=(1x+y(x+y)2012(x+y)001)=A(x+y)= \begin{pmatrix} 1 & x+y & (x+y)^2 \\ 0 & 1 & 2(x+y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(x+y)
b)5 puncte
3
1 punct
A(x)−A(y)=(0x−yx2−y2002(x−y)000)A(x) - A(y) = \begin{pmatrix} 0 & x-y & x^2-y^2 \\ 0 & 0 & 2(x-y) \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
4
2 puncte
(A(x)−A(y))2=(002(x−y)2000000)(A(x) - A(y))^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2(x-y)^2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
5
2 puncte
(A(x)−A(y))3=O3⇒(A(x)−A(y))2011=O3(A(x) - A(y))^3 = O_3 \Rightarrow (A(x) - A(y))^{2011} = O_3
c)5 puncte
6
1 punct
Matricea AA este inversabilă
7
4 puncte
(A(x))−1=(1−xx201−2x001)=A(−x)(A(x))^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -x & x^2 \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(-x)
Exercițiul 2
Se consideră α∈C\alpha \in \mathbb{C} și polinomul f=X3+(1−α)X2+(α−2)iX+α+(α−2)i∈C[X]f = X^3 + (1 - \alpha)X^2 + (\alpha - 2)iX + \alpha + (\alpha - 2)i \in \mathbb{C}[X]. a) Arătați că polinomul ff are rădăcina −1-1. b) Arătați că, dacă p,qp, q sunt numere complexe și polinomul g=X2+pX+q∈C[X]g = X^2 + pX + q \in \mathbb{C}[X] are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci pp și qq sunt numere reale și p2<4qp^2 < 4q. c) Determinați α∈C\alpha \in \mathbb{C} pentru care polinomul ff are două rădăcini distincte, complex conjugate.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f(−1)=−1+1−α−i(α−2)+α+(α−2)if(-1) = -1 + 1 - \alpha - i(\alpha - 2) + \alpha + (\alpha - 2)i
2
3 puncte
Finalizare: f(−1)=0f(-1) = 0
b)5 puncte
3
1 punct
Rădăcinile lui gg sunt de forma x1=u+ivx_1 = u + iv și x2=u−ivx_2 = u - iv, unde u,v∈Ru, v \in \mathbb{R}
4
1 punct
Din relațiile lui Viete rezultă x1+x2=−px_1 + x_2 = -p și x1x2=qx_1 x_2 = q
5
2 puncte
p=−2u∈Rp = -2u \in \mathbb{R} și q=u2+v2∈Rq = u^2 + v^2 \in \mathbb{R}
6
1 punct
Ecuația x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, cu p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}, are soluții distincte complex conjugate dacă și numai dacă Δ<0\Delta < 0, de unde p2<4qp^2 < 4q
c)5 puncte
7
2 puncte
f=(X+1)(X2−αX+α+(α−2)i)f = (X + 1)(X^2 - \alpha X + \alpha + (\alpha - 2)i)
8
1 punct
Polinomul h=X2−αX+α+(α−2)i∈C[X]h = X^2 - \alpha X + \alpha + (\alpha - 2)i \in \mathbb{C}[X] are două rădăcini distincte complex conjugate
9
2 puncte
Conform punctului b), rezultă α∈R\alpha \in \mathbb{R} și α+(α−2)i∈R\alpha + (\alpha - 2)i \in \mathbb{R}, de unde α=2\alpha = 2, care convine

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x + 1) - \ln(x - 1). a) Arătați că funcția ff este strict descrescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty). b) Determinați asimptotele graficului funcției ff. c) Calculați lim⁡x→+∞xf(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1x+1−1x−1=−2x2−1f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{-2}{x^2-1}
2
2 puncte
f′(x)<0f'(x) < 0 pentru orice x>1x > 1, de unde concluzia
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→1f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty, deci x=1x = 1 este asimptotă verticală
4
1 punct
ff este continuă pe (1,∞)(1, \infty), deci nu are alte asimptote verticale
5
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞ln⁡x+1x−1=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln \frac{x+1}{x-1} = 0, deci y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty
c)5 puncte
6
2 puncte
lim⁡x→+∞xf(x)=lim⁡x→+∞ln⁡(x+1)−ln⁡(x−1)x−1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} xf(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+1) - \ln(x-1)}{x^{-1}} - nedeterminare de forma 00\frac{0}{0}
7
3 puncte
Cu regula lui l'Hospital, limita este lim⁡x→+∞(x+1)−1−(x−1)−1−x−2=lim⁡x→+∞2x2x2−1=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)^{-1} - (x-1)^{-1}}{-x^{-2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2 - 1} = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:[1,2]→Rf : [1, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2. a) Calculați ∫14f(x) dx\displaystyle\int_1^4 f(\sqrt{x}) \, dx. b) Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)xg(x) = \frac{f(x)}{x} și de axa OxOx. c) Arătați că (4n+2)∫12fn(x) dx+n∫12fn−1(x) dx=0(4n + 2)\displaystyle\int_1^2 f^n(x) \, dx + n \int_1^2 f^{n-1}(x) \, dx = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
4 puncte
∫14(x−3x+2) dx=(12x2−3⋅23⋅x3/2+2x)∣14=\displaystyle\int_1^4 (x - 3\sqrt{x} + 2) \, dx = \left(\frac{1}{2}x^2 - 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{3/2} + 2x\right)\bigg|_1^4 =
2
1 punct
=−12= -\frac{1}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
A=∫12∣f(x)x∣dx=−∫12f(x)x dxA = \displaystyle\int_1^2 \left|\frac{f(x)}{x}\right| dx = -\int_1^2 \frac{f(x)}{x} \, dx, deoarece f≤0f \leq 0 pe intervalul [1,2][1, 2]
4
1 punct
=−∫12x dx+3∫12dx−∫122x dx== -\displaystyle\int_1^2 x \, dx + 3 \int_1^2 dx - \int_1^2 \frac{2}{x} \, dx =
5
2 puncte
=32−2ln⁡2= \frac{3}{2} - 2\ln 2
c)5 puncte
6
3 puncte
∫12fn(x) dx=12∫12(2x−3)′fn(x) dx=12(2x−3)(x2−3x+2)n∣12−12∫12(2x−3)2nfn−1(x) dx=\displaystyle\int_1^2 f^n(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_1^2 (2x-3)' f^n(x) \, dx = \frac{1}{2}(2x-3)(x^2-3x+2)^n\bigg|_1^2 - \frac{1}{2} \int_1^2 (2x-3)^2 n f^{n-1}(x) \, dx =
7
2 puncte
=−n2∫12(4x2−12x+8+1)fn−1(x) dx=−4n2∫12fn(x) dx−n2∫12fn−1(x) dx= -\frac{n}{2} \int_1^2 (4x^2-12x+8+1) f^{n-1}(x) \, dx = -\frac{4n}{2} \int_1^2 f^n(x) \, dx - \frac{n}{2} \int_1^2 f^{n-1}(x) \, dx, de unde concluzia

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2012 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2011 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac