BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2012 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați modulul numărului complex (1+i)2(1 + i)^2.

Rezolvare

1
3 puncte
(1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i
2
2 puncte
∣2i∣=2|2i| = 2
Exercițiul 2
Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=−x−2g(x) = -x - 2.

Rezolvare

1
1 punct
f(x)=g(x)⇒x2+3x+2=0f(x) = g(x) \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0
2
2 puncte
x1=−1⇒y1=−1x_1 = -1 \Rightarrow y_1 = -1
3
2 puncte
x2=−2⇒y2=0x_2 = -2 \Rightarrow y_2 = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 2x+1≤42^{x+1} \leq 4.

Rezolvare

1
1 punct
2x+1≤222^{x+1} \leq 2^2
2
2 puncte
x+1≤2x + 1 \leq 2
3
2 puncte
S=(−∞,1]S = (-\infty, 1]
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare una dintre submulțimile cu trei elemente ale mulțimii A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, elementele submulțimii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare

1
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibilep = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
2
2 puncte
Submulțimile cu 33 termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sunt: {1,2,3}\{1,2,3\}, {2,3,4}\{2,3,4\}, {3,4,5}\{3,4,5\} și {1,3,5}⇒4\{1,3,5\} \Rightarrow 4 cazuri favorabile
3
1 punct
Numărul submulțimilor cu 33 elemente este C53=10⇒10C_5^3 = 10 \Rightarrow 10 cazuri posibile
4
1 punct
p=25p = \frac{2}{5}
Exercițiul 5
Se consideră vectorii u⃗=i⃗−2j⃗\vec{u} = \vec{i} - 2\vec{j} și v⃗=ai⃗−j⃗\vec{v} = a\vec{i} - \vec{j}. Determinați numărul real aa pentru care u⃗⋅v⃗=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3.

Rezolvare

1
4 puncte
u⃗⋅v⃗=3⇔a+2=3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \Leftrightarrow a + 2 = 3
2
1 punct
a=1a = 1
Exercițiul 6
Calculați cosinusul unghiului AA al triunghiului ABCABC în care AB=4AB = 4, AC=5AC = 5 și BC=7BC = 7.

Rezolvare

1
2 puncte
cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}
2
3 puncte
cos⁡A=−15\cos A = -\frac{1}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră sistemul {2x+y+3z=0x+2y+3z=0x+y+mz=0\begin{cases} 2x + y + 3z = 0 \\ x + 2y + 3z = 0 \\ x + y + mz = 0 \end{cases}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Determinați valorile reale ale lui mm pentru care sistemul are soluție unică. c) În cazul m=2m = 2, determinați soluția (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului pentru care x0>0x_0 > 0 și x02+y02+z02=3x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A=(21312311m)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}
2
3 puncte
det⁡A=3m−6\det A = 3m - 6
b)5 puncte
3
2 puncte
Sistemul are o soluție unică dacă și numai dacă det⁡A≠0\det A \neq 0
4
3 puncte
Finalizare: m∈R∖{2}m \in \mathbb{R} \setminus \{2\}
c)5 puncte
5
1 punct
det⁡A=0\det A = 0 și ∣2112∣≠0\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \neq 0, deci matricea sistemului are rangul doi
6
2 puncte
z=α⇒{2x+y=−3αx+2y=−3α⇒x=−α,y=−αz = \alpha \Rightarrow \begin{cases} 2x + y = -3\alpha \\ x + 2y = -3\alpha \end{cases} \Rightarrow x = -\alpha, y = -\alpha
7
1 punct
x02+y02+z02=3⇒(−α)2+(−α)2+α2=3⇒α∈{−1,1}x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 3 \Rightarrow (-\alpha)^2 + (-\alpha)^2 + \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha \in \{-1, 1\}
8
1 punct
Soluția este (x0,y0,z0)=(1,1,−1)(x_0, y_0, z_0) = (1, 1, -1)
Exercițiul 2
Se consideră matricea A=(3−23−2)∈M2(R)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) și mulțimea G={X(p)=I2+pA∣p∈R∖{−1}}G = \{X(p) = I_2 + pA \mid p \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}\}. a) Arătați că X(p)⋅X(q)∈GX(p) \cdot X(q) \in G, pentru orice X(p),X(q)∈GX(p), X(q) \in G. b) Admitem că (G,⋅)(G, \cdot) este grup comutativ având elementul neutru X(0)X(0). Determinați inversul elementului X(p)X(p) în acest grup. c) Rezolvați ecuația (X(p))3=I2+7A(X(p))^3 = I_2 + 7A, unde X(p)∈GX(p) \in G.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
X(p)⋅X(q)=X(p+q+pq)X(p) \cdot X(q) = X(p + q + pq)
2
2 puncte
p,q∈R∖{−1}⇒(p+1)(q+1)≠0⇒p+q+pq≠−1p, q \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} \Rightarrow (p+1)(q+1) \neq 0 \Rightarrow p + q + pq \neq -1, deci X(p+q+pq)∈GX(p + q + pq) \in G
b)5 puncte
3
3 puncte
Pentru orice X(p)∈GX(p) \in G, există X(−p1+p)X\left(-\frac{p}{1+p}\right) astfel încât X(p)⋅X(−p1+p)=X(0)X(p) \cdot X\left(-\frac{p}{1+p}\right) = X(0)
4
2 puncte
−p1+p≠−1⇒X(−p1+p)∈G-\frac{p}{1+p} \neq -1 \Rightarrow X\left(-\frac{p}{1+p}\right) \in G și X(−p1+p)X\left(-\frac{p}{1+p}\right) este inversul lui X(p)X(p)
c)5 puncte
5
1 punct
(X(p))3=X(7)(X(p))^3 = X(7)
6
3 puncte
(X(p))3=X((p+1)3−1)(X(p))^3 = X((p+1)^3 - 1)
7
1 punct
(p+1)3=8(p+1)^3 = 8, deci p=1p = 1 și soluția este X(1)X(1)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. a) Arătați că funcția este crescătoare pe intervalul [2,+∞)[2, +\infty). b) Calculați lim⁡x→+∞exf(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{f(x)}. c) Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care ecuația f(x)=af(x) = a are trei soluții reale distincte.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
2
2 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), deci ff este crescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
4
3 puncte
lim⁡x→+∞exf(x)=lim⁡x→+∞ex3x2−12=lim⁡x→+∞ex6x=lim⁡x→+∞ex6=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{3x^2-12} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{6x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{6} = +\infty
c)5 puncte
5
3 puncte
Șirul lui Rolle pentru funcția g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)−ag(x) = f(x) - a este −∞,16−a,−16−a,+∞-\infty, 16-a, -16-a, +\infty
6
2 puncte
Ecuația are trei soluții reale distincte dacă și numai dacă a∈(−16,16)a \in (-16, 16)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+3x+2f(x) = \frac{2x + 3}{x + 2}. a) Arătați că orice primitivă a lui ff este strict crescătoare pe (−1,+∞)(-1, +\infty). b) Calculați ∫01f(x)x+1 dx\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x + 1} \, dx. c) Calculați lim⁡x→+∞∫x2xf(t) dtx\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\displaystyle\int_x^{2x} f(t) \, dt}{x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
2
1 punct
f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
3
2 puncte
FF este strict crescătoare
b)5 puncte
4
3 puncte
∫01f(x)x+1 dx=∫012x+3(x+1)(x+2) dx=∫01dxx+1+∫01dxx+2=\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x+1} \, dx = \int_0^1 \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)} \, dx = \int_0^1 \frac{dx}{x+1} + \int_0^1 \frac{dx}{x+2} =
5
2 puncte
=ln⁡(x+1)∣01+ln⁡(x+2)∣01=ln⁡3= \ln(x+1)\bigg|_0^1 + \ln(x+2)\bigg|_0^1 = \ln 3
c)5 puncte
6
3 puncte
∫x2xf(t) dt=(2t−ln⁡(t+2))∣x2x=2x−ln⁡2x+2x+2\displaystyle\int_x^{2x} f(t) \, dt = (2t - \ln(t+2))\bigg|_x^{2x} = 2x - \ln \frac{2x+2}{x+2}, pentru x>0x > 0
7
2 puncte
lim⁡x→+∞2x−ln⁡2x+2x+2x=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x - \ln \frac{2x+2}{x+2}}{x} = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Model 2013 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2012 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac