BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2012 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2−1+2−2=0,752^{-1} + 2^{-2} = 0{,}75.

Rezolvare

1
3 puncte
2−1+2−2=12+14=2^{-1} + 2^{-2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} =
2
2 puncte
=34=0,75= \frac{3}{4} = 0{,}75
Exercițiul 2
Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 2x−3<0\frac{2}{x - 3} < 0.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−3<0⇔x−3<0\frac{2}{x-3} < 0 \Leftrightarrow x - 3 < 0
2
2 puncte
x∈(−∞,3)x \in (-\infty, 3)
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+2=x+2\sqrt{x + 2} = x + 2.

Rezolvare

1
1 punct
Condiție: x+2≥0⇒x≥−2x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2
2
2 puncte
x+2=x2+4x+4x + 2 = x^2 + 4x + 4
3
2 puncte
x1=−2x_1 = -2 și x2=−1x_2 = -1
Exercițiul 4
La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900900 lei cu o dobândă de p%p\% pe an. Calculați pp, știind că, după un an, în depozit suma este de 10081008 lei.

Rezolvare

1
1 punct
Dobânda obținută este D=1008−900=108D = 1008 - 900 = 108 lei
2
2 puncte
p100⋅900=108\frac{p}{100} \cdot 900 = 108
3
2 puncte
p=12p = 12
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele O(0,0)O(0, 0) și A(2,3)A(2, 3). Determinați coordonatele punctului BB, știind că AA este mijlocul segmentului (OB)(OB).

Rezolvare

1
3 puncte
xA=xO+xB2x_A = \frac{x_O + x_B}{2} și yA=yO+yB2y_A = \frac{y_O + y_B}{2}
2
2 puncte
xB=4x_B = 4 și yB=6y_B = 6
Exercițiul 6
Determinați măsura xx a unui unghi ascuțit, știind că sin⁡x+4cos⁡xcos⁡x=5\frac{\sin x + 4\cos x}{\cos x} = 5.

Rezolvare

1
1 punct
sin⁡x+4cos⁡x=5cos⁡x\sin x + 4\cos x = 5\cos x
2
2 puncte
sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x
3
2 puncte
x=45°x = 45°

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele H(x)=(10001ln⁡x001)H(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, cu x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). a) Arătați că det⁡(H(x))=1\det(H(x)) = 1, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați numărul real aa, a>0a > 0, astfel încât H(x)⋅H(a)=H(x)H(x) \cdot H(a) = H(x), pentru orice x>0x > 0. c) Calculați determinantul matricei H(1)+H(2)+…+H(2012)H(1) + H(2) + \ldots + H(2012).

Rezolvare

a)5 puncte
1
4 puncte
det⁡(H(x))=1+0+0−0−0−0\det(H(x)) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0
2
1 punct
Finalizare
b)5 puncte
3
3 puncte
H(x)⋅H(a)=(10001ln⁡a+ln⁡x001)H(x) \cdot H(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln a + \ln x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
ln⁡a=0⇒a=1\ln a = 0 \Rightarrow a = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
H(1)+H(2)+…+H(2012)=(20120002012ln⁡(2012!)002012)H(1) + H(2) + \ldots + H(2012) = \begin{pmatrix} 2012 & 0 & 0 \\ 0 & 2012 & \ln(2012!) \\ 0 & 0 & 2012 \end{pmatrix}
6
2 puncte
∣20120002012ln⁡(2012!)002012∣=20123\begin{vmatrix} 2012 & 0 & 0 \\ 0 & 2012 & \ln(2012!) \\ 0 & 0 & 2012 \end{vmatrix} = 2012^3
Exercițiul 2
În R[X]\mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3+3X2−3X−1f = X^3 + 3X^2 - 3X - 1, cu rădăcinile x1x_1, x2x_2, x3x_3. a) Arătați că polinomul ff se divide cu X−1X - 1. b) Calculați x12+x22+x32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2. c) Verificați dacă (2−x1)(2−x2)(2−x3)=13(2 - x_1)(2 - x_2)(2 - x_3) = 13.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(1)=13+3⋅12−3⋅1−1=0f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 1 = 0
2
2 puncte
f(1)=0⇒X−1∣ff(1) = 0 \Rightarrow X - 1 \mid f
b)5 puncte
3
1 punct
x1+x2+x3=−3x_1 + x_2 + x_3 = -3
4
1 punct
x1x2+x1x3+x2x3=−3x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -3
5
3 puncte
x12+x22+x32=15x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 15
c)5 puncte
6
3 puncte
f=X3+3X2−3X−1=(X−x1)(X−x2)(X−x3)⇒f(2)=(2−x1)(2−x2)(2−x3)f = X^3 + 3X^2 - 3X - 1 = (X - x_1)(X - x_2)(X - x_3) \Rightarrow f(2) = (2 - x_1)(2 - x_2)(2 - x_3)
7
2 puncte
f(2)=13f(2) = 13

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x−ln⁡xf(x) = \sqrt{x} - \ln x. a) Arătați că lim⁡x→4f(x)−f(4)x−4=0\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = 0. b) Demonstrați că funcția ff este crescătoare pe intervalul (4,+∞)(4, +\infty). c) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=12x−1xf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x}, x>0x > 0
2
2 puncte
ff derivabilă în x=4⇒lim⁡x→4f(x)−f(4)x−4=f′(4)x = 4 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = f'(4)
3
1 punct
Finalizare
b)5 puncte
4
2 puncte
ff este derivabilă pe (0,+∞)(0, +\infty) și f′(x)=x−22xf'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2x}
5
3 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈(4,+∞)⇒x \in (4, +\infty) \Rightarrow funcția ff este crescătoare pe intervalul (4,+∞)(4, +\infty)
c)5 puncte
6
3 puncte
lim⁡x→0x>0f(x)=lim⁡x→0x>0(x−ln⁡x)=+∞\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (\sqrt{x} - \ln x) = +\infty
7
2 puncte
x=0x = 0 este ecuația asimptotei verticale la graficul funcției ff
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = xe^x. a) Arătați că funcția F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=xex−ex+2012F(x) = xe^x - e^x + 2012 este o primitivă a funcției ff. b) Calculați ∫1ef(ln⁡x) dx\displaystyle\int_1^e f(\ln x) \, dx. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției g:[1,2]→Rg : [1, 2] \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)xg(x) = \frac{f(x)}{x}.

Rezolvare

1
3 puncte
FF este derivabilă și F′(x)=xex+ex−exF'(x) = xe^x + e^x - e^x, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
2
2 puncte
F′=fF' = f
3
1 punct
∫1ef(ln⁡x) dx=∫1exln⁡x dx=\displaystyle\int_1^e f(\ln x) \, dx = \int_1^e x \ln x \, dx =
4
2 puncte
=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx== \left.\frac{x^2}{2} \ln x\right|_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx =
5
2 puncte
=e22−x24∣1e=e2+14= \frac{e^2}{2} - \left.\frac{x^2}{4}\right|_1^e = \frac{e^2 + 1}{4}
6
2 puncte
V=π∫12g2(x) dx=π∫12e2x dx=π⋅e2x2∣12=V = \pi \displaystyle\int_1^2 g^2(x) \, dx = \pi \int_1^2 e^{2x} \, dx = \pi \cdot \left.\frac{e^{2x}}{2}\right|_1^2 =
7
1 punct
=πe2(e2−1)2= \frac{\pi e^2(e^2 - 1)}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2012 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Specială 2012 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac