BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2013 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul a=3(3−2i)+2(5+3i)a = 3(3 - 2i) + 2(5 + 3i) este real.

Rezolvare

1
2 puncte
3(3−2i)=9−6i3(3 - 2i) = 9 - 6i
2
2 puncte
2(5+3i)=10+6i2(5 + 3i) = 10 + 6i
3
1 punct
a=19∈Ra = 19 \in \mathbb{R}
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1. Calculați f(1)+f(2)+…+f(10)f(1) + f(2) + \ldots + f(10).

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)+f(2)+…+f(10)=4(1+2+…+10)−10=f(1) + f(2) + \ldots + f(10) = 4(1 + 2 + \ldots + 10) - 10 =
2
2 puncte
=210= 210
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(2x)=log⁡2(1+x)\log_2(2x) = \log_2(1 + x).

Rezolvare

1
3 puncte
2x=1+x2x = 1 + x
2
2 puncte
Rezultă x=1x = 1, care verifică ecuația
Exercițiul 4
După o scumpire cu 10%10\% prețul unui produs este 22002200 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.

Rezolvare

1
2 puncte
Se notează cu xx prețul inițial: x+10%⋅x=2200x + 10\% \cdot x = 2200
2
3 puncte
Prețul înainte de scumpire este 20002000 de lei
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care vectorii u⃗=i⃗+4j⃗\vec{u} = \vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=2i⃗+(a+1)j⃗\vec{v} = 2\vec{i} + (a + 1)\vec{j} sunt coliniari.

Rezolvare

1
3 puncte
21=a+14\frac{2}{1} = \frac{a + 1}{4}
2
2 puncte
a=7a = 7
Exercițiul 6
Determinați x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), știind că 3sin⁡x+cos⁡xsin⁡x=4\frac{3\sin x + \cos x}{\sin x} = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
3sin⁡x+cos⁡x=4sin⁡x⇒sin⁡x=cos⁡x3\sin x + \cos x = 4\sin x \Rightarrow \sin x = \cos x
2
2 puncte
x=π4x = \frac{\pi}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră determinantul D(a,b)=∣111aa21bb21∣D(a, b) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \end{vmatrix}, unde aa și bb sunt numere reale. a) Arătați că D(2,3)=2D(2, 3) = 2. b) Verificați dacă D(a,b)=(a−1)(b−1)(b−a)D(a, b) = (a - 1)(b - 1)(b - a), pentru orice numere reale aa și bb. c) În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele Pn(n,n2)P_n(n, n^2), unde nn este un număr natural nenul. Determinați numărul natural nn, n≥3n \geq 3, pentru care aria triunghiului P1P2PnP_1P_2P_n este egală cu 11.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
D(2,3)=∣111241391∣=D(2, 3) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 9 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=2= 2
b)5 puncte
3
2 puncte
D(a,b)=∣001a−1a2−11b−1b2−11∣=D(a, b) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a - 1 & a^2 - 1 & 1 \\ b - 1 & b^2 - 1 & 1 \end{vmatrix} =
4
2 puncte
=(a−1)(b−1)∣1a+11b+1∣== (a - 1)(b - 1)\begin{vmatrix} 1 & a + 1 \\ 1 & b + 1 \end{vmatrix} =
5
1 punct
=(a−1)(b−1)(b−a)= (a - 1)(b - 1)(b - a), pentru orice numere reale aa și bb
c)5 puncte
6
2 puncte
A△P1P2Pn=12⋅∣Δ∣\mathcal{A}_{\triangle P_1P_2P_n} = \frac{1}{2} \cdot |\Delta|, unde Δ=∣1112221nn21∣=(n−1)(n−2)\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2^2 & 1 \\ n & n^2 & 1 \end{vmatrix} = (n - 1)(n - 2)
7
3 puncte
A△P1P2Pn=1⇔(n−1)(n−2)=2⇔n=3\mathcal{A}_{\triangle P_1P_2P_n} = 1 \Leftrightarrow (n - 1)(n - 2) = 2 \Leftrightarrow n = 3
Exercițiul 2
Se consideră x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 rădăcinile complexe ale polinomului f=X3−4X2+3X−mf = X^3 - 4X^2 + 3X - m, unde mm este număr real. a) Pentru m=4m = 4, arătați că f(4)=8f(4) = 8. b) Determinați numărul real mm pentru care rădăcinile polinomului ff verifică relația x1+x2=x3x_1 + x_2 = x_3. c) Dacă x13+x23+x33=7(x1+x2+x3)x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 7(x_1 + x_2 + x_3), arătați că ff se divide cu X−3X - 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f=X3−4X2+3X−4f = X^3 - 4X^2 + 3X - 4
2
3 puncte
f(4)=43−4⋅42+3⋅4−4=8f(4) = 4^3 - 4 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 - 4 = 8
b)5 puncte
3
1 punct
x1+x2+x3=4x_1 + x_2 + x_3 = 4
4
2 puncte
x1+x2=x3⇒x3=2x_1 + x_2 = x_3 \Rightarrow x_3 = 2
5
2 puncte
f(2)=0⇔m=−2f(2) = 0 \Leftrightarrow m = -2
c)5 puncte
6
2 puncte
x13+x23+x33=3m+28x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 3m + 28
7
1 punct
x13+x23+x33=7(x1+x2+x3)⇒m=0x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 7(x_1 + x_2 + x_3) \Rightarrow m = 0
8
2 puncte
Dacă m=0m = 0, atunci f(3)=0f(3) = 0, deci ff se divide cu X−3X - 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=cos⁡x+x22f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2}. a) Calculați f′(x)f'(x), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x0=0x_0 = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că f(x)≥1f(x) \geq 1, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(cos⁡x)′+(x22)′=f'(x) = (\cos x)' + \left(\frac{x^2}{2}\right)' =
2
3 puncte
=−sin⁡x+x=x−sin⁡x= -\sin x + x = x - \sin x, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=0f'(0) = 0
4
2 puncte
Ecuația tangentei este y=1y = 1
5
1 punct
(concluzie tangentă)
c)5 puncte
6
2 puncte
f′′(x)=−cos⁡x+1≥0f''(x) = -\cos x + 1 \geq 0, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci f′f' este crescătoare pe R\mathbb{R}
7
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈(−∞,0]x \in (-\infty, 0] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)
8
1 punct
f(x)≥f(0)⇒f(x)≥1f(x) \geq f(0) \Rightarrow f(x) \geq 1, pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
Exercițiul 2
Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnex dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x\, dx. a) Calculați I1I_1. b) Arătați că In+1+(n+1)In=eI_{n+1} + (n + 1)I_n = e, pentru orice număr natural nenul nn. c) Arătați că 1≤(n+1)In≤e1 \leq (n + 1)I_n \leq e, pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
I1=∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx=I_1 = \displaystyle\int_0^1 xe^x\, dx = \left.xe^x\right|_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx =
2
2 puncte
=e−ex∣01=1= e - \left.e^x\right|_0^1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
In+1=∫01xn+1ex dx=xn+1ex∣01−(n+1)∫01xnex dx=I_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}e^x\, dx = \left.x^{n+1}e^x\right|_0^1 - (n + 1)\int_0^1 x^n e^x\, dx =
4
2 puncte
=e−(n+1)In⇒In+1+(n+1)In=e= e - (n + 1)I_n \Rightarrow I_{n+1} + (n + 1)I_n = e, pentru orice număr natural nenul nn
c)5 puncte
5
2 puncte
Pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și x∈[0,1]x \in [0, 1], avem 1≤ex≤e1 \leq e^x \leq e și xn≥0⇒xn≤xnex≤xnex^n \geq 0 \Rightarrow x^n \leq x^n e^x \leq x^n e
6
3 puncte
∫01xn dx≤∫01xnex dx≤e∫01xn dx⇒1≤(n+1)In≤e\displaystyle\int_0^1 x^n\, dx \leq \int_0^1 x^n e^x\, dx \leq e\int_0^1 x^n\, dx \Rightarrow 1 \leq (n + 1)I_n \leq e

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2014 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2013 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac