BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2013 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul x=2(1+i)−2ix = 2(1 + i) - 2i este real.

Rezolvare

1
3 puncte
2(1+i)=2+2i2(1 + i) = 2 + 2i
2
2 puncte
x=2∈Rx = 2 \in \mathbb{R}
Exercițiul 2
Calculați f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(5)f(1) \cdot f(2) \cdot \ldots \cdot f(5) pentru funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2f(x) = x - 2.

Rezolvare

1
3 puncte
f(2)=0f(2) = 0
2
2 puncte
f(1)⋅f(2)⋅…⋅f(5)=0f(1) \cdot f(2) \cdot \ldots \cdot f(5) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+1=x+1\sqrt{x^2 + 1} = x + 1.

Rezolvare

1
2 puncte
x2+1=x2+2x+1x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1
2
3 puncte
Rezultă x=0x = 0, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 55.

Rezolvare

1
2 puncte
Numerele de două cifre având produsul cifrelor egal cu 55 sunt 1515 și 51⇒251 \Rightarrow 2 cazuri favorabile
2
1 punct
Numărul numerelor naturale de două cifre este 90⇒9090 \Rightarrow 90 de cazuri posibile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=145p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{45}
Exercițiul 5
Se consideră punctele AA, BB și CC astfel încât AB⃗=2i⃗+2j⃗\vec{AB} = 2\vec{i} + 2\vec{j} și BC⃗=2i⃗+j⃗\vec{BC} = 2\vec{i} + \vec{j}. Calculați lungimea vectorului AC⃗\vec{AC}.

Rezolvare

1
3 puncte
AC⃗=AB⃗+BC⃗=4i⃗+3j⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = 4\vec{i} + 3\vec{j}
2
2 puncte
AC=42+32=5AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=sin⁡x+cos⁡x2E(x) = \sin x + \cos \frac{x}{2}, unde xx este număr real. Calculați E(π3)E\left(\frac{\pi}{3}\right).

Rezolvare

1
2 puncte
E(π3)=sin⁡π3+cos⁡π6E\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6}
2
3 puncte
=32+32=3= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A=(1235)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡A\det A. b) Arătați că A2−6A=I2A^2 - 6A = I_2. c) Determinați inversa matricei B=A−6I2B = A - 6I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1235∣=1⋅5−2⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 =
2
2 puncte
=5−6=−1= 5 - 6 = -1
b)5 puncte
3
2 puncte
A2=(1235)⋅(1235)=(7121831)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{pmatrix}
4
3 puncte
A2−6A=(7121831)−(6121830)=(1001)=I2A^2 - 6A = \begin{pmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 12 \\ 18 & 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
c)5 puncte
5
2 puncte
B=(1235)−6(1001)=(−523−1)⇒det⁡B=−1B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} - 6\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det B = -1
6
3 puncte
B−1=(1235)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}
Exercițiul 2
Pe R\mathbb{R} se definește legea de compoziție asociativă dată de x∗y=x2+y2+4x * y = \sqrt{x^2 + y^2 + 4}. a) Calculați 2∗22 * 2. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x=12x * x = \sqrt{12}. c) Arătați că numărul 1∗1∗⋯∗1⏟1 de 8 ori\underbrace{1 * 1 * \cdots * 1}_{\text{1 de 8 ori}} este întreg.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
2∗2=22+22+4=2 * 2 = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4} =
2
3 puncte
=12= \sqrt{12}
b)5 puncte
3
2 puncte
x2+x2+4=12⇔2x2+4=12\sqrt{x^2 + x^2 + 4} = \sqrt{12} \Leftrightarrow 2x^2 + 4 = 12
4
3 puncte
x=−2x = -2 sau x=2x = 2
c)5 puncte
5
3 puncte
1∗1∗⋯∗1⏟1 de 8 ori=8⋅12+4⋅(8−1)=36\underbrace{1 * 1 * \cdots * 1}_{\text{1 de 8 ori}} = \sqrt{8 \cdot 1^2 + 4 \cdot (8 - 1)} = \sqrt{36}
6
2 puncte
1∗1∗⋯∗1⏟1 de 8 ori=6∈Z\underbrace{1 * 1 * \cdots * 1}_{\text{1 de 8 ori}} = 6 \in \mathbb{Z}

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2−6x+9)f(x) = e^x(x^2 - 6x + 9). a) Arătați că f′(x)=ex(x2−4x+3)f'(x) = e^x(x^2 - 4x + 3), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Verificați dacă f(x)+f′′(x)=2(f′(x)+ex)f(x) + f''(x) = 2(f'(x) + e^x), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. c) Determinați punctele de extrem ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(ex)′(x2−6x+9)+ex(x2−6x+9)′=f'(x) = (e^x)'(x^2 - 6x + 9) + e^x(x^2 - 6x + 9)' =
2
2 puncte
=ex(x2−6x+9)+ex(2x−6)=ex(x2−4x+3)= e^x(x^2 - 6x + 9) + e^x(2x - 6) = e^x(x^2 - 4x + 3), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f′′(x)=ex(x2−2x−1)f''(x) = e^x(x^2 - 2x - 1)
4
3 puncte
f(x)+f′′(x)=ex(2x2−8x+8)=2(f′(x)+ex)f(x) + f''(x) = e^x(2x^2 - 8x + 8) = 2(f'(x) + e^x), pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 sau x=3x = 3
6
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1,3)x \in (1, 3) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
7
1 punct
Punctele de extrem sunt x1=1x_1 = 1 și x2=3x_2 = 3
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xx+1f(x) = \frac{x}{x + 1}. a) Calculați ∫01(x+1)f(x) dx\displaystyle\int_0^1 (x + 1) f(x) \, dx. b) Arătați că ∫01x2f(x) dx+∫01x3f(x) dx=14\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x) \, dx + \int_0^1 x^3 f(x) \, dx = \frac{1}{4}. c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției h:[0,1]→Rh : [0, 1] \to \mathbb{R}, h(x)=f(x)h(x) = f(x).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫01(x+1)f(x) dx=∫01x(x+1)x+1 dx=∫01x dx=\displaystyle\int_0^1 (x + 1) f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{x(x+1)}{x+1} \, dx = \int_0^1 x \, dx =
2
3 puncte
=x22∣01=12= \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 = \frac{1}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
∫01x2f(x) dx+∫01x3f(x) dx=∫01x3x+1 dx+∫01x4x+1 dx=\displaystyle\int_0^1 x^2 f(x) \, dx + \int_0^1 x^3 f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{x^3}{x+1} \, dx + \int_0^1 \frac{x^4}{x+1} \, dx =
4
3 puncte
=∫01x3(x+1)x+1 dx=∫01x3 dx=x44∣01=14= \displaystyle\int_0^1 \frac{x^3(x+1)}{x+1} \, dx = \int_0^1 x^3 \, dx = \left.\frac{x^4}{4}\right|_0^1 = \frac{1}{4}
c)5 puncte
5
3 puncte
V=π∫01h2(x) dx=π∫01(xx+1)2dx=π∫01(1−2x+1+1(x+1)2)dx=V = \pi \displaystyle\int_0^1 h^2(x) \, dx = \pi \int_0^1 \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 dx = \pi \int_0^1 \left(1 - \frac{2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx =
6
2 puncte
=π(x−2ln⁡(x+1)−1x+1)∣01=π(32−2ln⁡2)= \pi \left(x - 2\ln(x+1) - \frac{1}{x+1}\right)\bigg|_0^1 = \pi \left(\frac{3}{2} - 2\ln 2\right)

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2013 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2013 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac