BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2014 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați partea reală a numărului complex z=3+2(1−i)z = 3 + 2(1 - i).

Rezolvare

1
3 puncte
z=3+2−2i=z = 3 + 2 - 2i =
2
2 puncte
=5−2i= 5 - 2i, deci partea reală a numărului zz este egală cu 55
Exercițiul 2
Arătați că x1+x2+2x1x2=23x_1 + x_2 + 2x_1 x_2 = 23 știind că x1x_1 și x2x_2 sunt soluțiile ecuației x2−3x+10=0x^2 - 3x + 10 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
x1+x2=3x_1 + x_2 = 3, x1x2=10x_1 x_2 = 10
2
2 puncte
x1+x2+2x1x2=3+2⋅10=23x_1 + x_2 + 2x_1 x_2 = 3 + 2 \cdot 10 = 23
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+x+1=1\sqrt{x^2 + x + 1} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
x2+x+1=1⇒x2+x=0x^2 + x + 1 = 1 \Rightarrow x^2 + x = 0
2
2 puncte
x1=−1x_1 = -1 și x2=0x_2 = 0 care verifică ecuația
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {1,2,3}\{1, 2, 3\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților poate fi aleasă în 22 moduri
2
2 puncte
Cum cifrele sunt distincte, cifra zecilor poate fi aleasă în 22 moduri, iar cifra sutelor poate fi aleasă într-un singur mod
3
1 punct
Se pot forma 2⋅2⋅1=42 \cdot 2 \cdot 1 = 4 numere
Exercițiul 5
Determinați numărul real aa pentru care dreptele de ecuații y=(a−1)x+1y = (a - 1)x + 1 și y=2x−3y = 2x - 3 sunt paralele.

Rezolvare

1
3 puncte
a−1=2a - 1 = 2
2
2 puncte
a=3a = 3
Exercițiul 6
Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABCABC în care AB=3AB = 3, AC=4AC = 4 și BC=5BC = 5.

Rezolvare

1
2 puncte
A=π2A = \frac{\pi}{2}
2
3 puncte
R=52R = \frac{5}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(x11x)A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Calculați det⁡(A(2))\det(A(2)). b) Determinați numărul real xx pentru care A(x)⋅A(−x)=I2A(x) \cdot A(-x) = I_2, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Arătați că det⁡(A(1)+A(2)+⋯+A(n))=n2(n−1)(n+3)4\det(A(1) + A(2) + \cdots + A(n)) = \frac{n^2(n-1)(n+3)}{4} pentru orice număr natural nenul nn.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡(A(2))=∣2112∣=2⋅2−1⋅1=\det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 =
2
2 puncte
=3= 3
b)5 puncte
3
3 puncte
A(x)⋅A(−x)=(x11x)(−x11−x)=(−x2+100−x2+1)A(x) \cdot A(-x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x & 1 \\ 1 & -x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x^2 + 1 & 0 \\ 0 & -x^2 + 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
(−x2+100−x2+1)=(1001)⇔x=0\begin{pmatrix} -x^2 + 1 & 0 \\ 0 & -x^2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow x = 0
c)5 puncte
5
2 puncte
A(1)+A(2)+⋯+A(n)=(n(n+1)2nnn(n+1)2)A(1) + A(2) + \cdots + A(n) = \begin{pmatrix} \frac{n(n+1)}{2} & n \\ n & \frac{n(n+1)}{2} \end{pmatrix}
6
3 puncte
∣n(n+1)2nnn(n+1)2∣=n(n+1)2⋅n(n+1)2−n⋅n=n2(n−1)(n+3)4\begin{vmatrix} \frac{n(n+1)}{2} & n \\ n & \frac{n(n+1)}{2} \end{vmatrix} = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n \cdot n = \frac{n^2(n-1)(n+3)}{4} pentru orice număr natural nenul nn
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=4(x+y−3)−xyx * y = 4(x + y - 3) - xy. a) Calculați 2∗42 * 4. b) Arătați că x∗y=4−(x−4)(y−4)x * y = 4 - (x - 4)(y - 4) pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗x∗x=xx * x * x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
2∗4=4(2+4−3)−2⋅4=2 * 4 = 4(2 + 4 - 3) - 2 \cdot 4 =
2
2 puncte
=12−8=4= 12 - 8 = 4
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗y=4x+4y−12−xy=4−xy+4x+4y−16=x * y = 4x + 4y - 12 - xy = 4 - xy + 4x + 4y - 16 =
4
3 puncte
=4−x(y−4)+4(y−4)=4−(x−4)(y−4)= 4 - x(y - 4) + 4(y - 4) = 4 - (x - 4)(y - 4) pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
x∗x=4−(x−4)2⇒x∗x∗x=4+(x−4)3x * x = 4 - (x - 4)^2 \Rightarrow x * x * x = 4 + (x - 4)^3
6
3 puncte
(x−4)3=x−4⇒x=3(x - 4)^3 = x - 4 \Rightarrow x = 3 sau x=4x = 4 sau x=5x = 5

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−x+1f(x) = x \ln x - x + 1. a) Arătați că lim⁡x→ef(x)=1\displaystyle\lim_{x \to e} f(x) = 1. b) Arătați că f′(x)=ln⁡xf'(x) = \ln x, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). c) Arătați că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
lim⁡x→ef(x)=lim⁡x→e(xln⁡x−x+1)=\displaystyle\lim_{x \to e} f(x) = \lim_{x \to e} (x \ln x - x + 1) =
2
3 puncte
=eln⁡e−e+1=1= e \ln e - e + 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
f′(x)=(xln⁡x−x+1)′=ln⁡x+x⋅1x−1=f'(x) = (x \ln x - x + 1)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 =
4
2 puncte
=ln⁡x+1−1=ln⁡x= \ln x + 1 - 1 = \ln x, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(1)=0f'(1) = 0, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(0,1)x \in (0, 1) și f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
6
2 puncte
f(x)≥f(1)⇒f(x)≥0f(x) \geq f(1) \Rightarrow f(x) \geq 0 pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→Rf : (-3, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+8x+15f(x) = \frac{1}{x^2 + 8x + 15}. a) Arătați că ∫02014(x+3)(x+5)f(x) dx=2014\displaystyle\int_0^{2014} (x + 3)(x + 5) f(x) \, dx = 2014. b) Arătați că ∫−11f(x)⋅f′(x) dx=−1144\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \cdot f'(x) \, dx = -\frac{1}{144}. c) Determinați numărul real aa, a>0a > 0 știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=ax = a, are aria egală cu 12ln⁡109\frac{1}{2} \ln \frac{10}{9}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫02014(x+3)(x+5)f(x) dx=∫020141 dx=\displaystyle\int_0^{2014} (x + 3)(x + 5) f(x) \, dx = \int_0^{2014} 1 \, dx =
2
3 puncte
=x∣02014=2014= x\bigg|_0^{2014} = 2014
b)5 puncte
3
3 puncte
∫−11f(x)⋅f′(x) dx=12f2(x)∣−11=12(f2(1)−f2(−1))=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \cdot f'(x) \, dx = \frac{1}{2} f^2(x)\bigg|_{-1}^{1} = \frac{1}{2}(f^2(1) - f^2(-1)) =
4
2 puncte
=12(1576−164)=−1144= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{576} - \frac{1}{64}\right) = -\frac{1}{144}
c)5 puncte
5
3 puncte
A=∫0a∣f(x)∣ dx=∫0a1(x+3)(x+5) dx=12ln⁡x+3x+5∣0a=12ln⁡5(a+3)3(a+5)\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^a |f(x)| \, dx = \int_0^a \frac{1}{(x+3)(x+5)} \, dx = \frac{1}{2} \ln \frac{x+3}{x+5}\bigg|_0^a = \frac{1}{2} \ln \frac{5(a+3)}{3(a+5)}
6
2 puncte
5(a+3)3(a+5)=109⇒a=1\frac{5(a+3)}{3(a+5)} = \frac{10}{9} \Rightarrow a = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2014 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2014 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac