BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2015 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (5+1)2+(5−1)2=12(\sqrt{5}+1)^2 + (\sqrt{5}-1)^2 = 12.

Rezolvare

1
2 puncte
(5+1)2=6+25(\sqrt{5}+1)^2 = 6 + 2\sqrt{5}
2
3 puncte
(5−1)2=6−25⇒(6+25)+(6−25)=12(\sqrt{5}-1)^2 = 6 - 2\sqrt{5} \Rightarrow (6 + 2\sqrt{5}) + (6 - 2\sqrt{5}) = 12
Exercițiul 2
Calculați produsul f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4), unde f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−3f(x) = x - 3.

Rezolvare

1
3 puncte
f(3)=0f(3) = 0
2
2 puncte
f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)=0f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−4x+4)=0\log_2(x^2 - 4x + 4) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
x2−4x+4=1⇔x2−4x+3=0x^2 - 4x + 4 = 1 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0
2
3 puncte
x1=1x_1 = 1 și x2=3x_2 = 3, care verifică ecuația dată
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 22, 33 și 44.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra unităților este 33
2
3 puncte
Numerele sunt 243243 și 423423, deci se pot forma două astfel de numere
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,2)A(1,2) și B(2,3)B(2,3). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul AA și este perpendiculară pe dreapta ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
mAB=1m_{AB} = 1 și md⋅mAB=−1⇒md=−1m_d \cdot m_{AB} = -1 \Rightarrow m_d = -1
2
2 puncte
Ecuația dreptei dd este y=−x+3y = -x + 3
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)=0\sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) = 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
2
3 puncte
sin⁡(π+x)=−sin⁡x⇒sin⁡(π−x)+sin⁡(π+x)=sin⁡x−sin⁡x=0\sin(\pi + x) = -\sin x \Rightarrow \sin(\pi - x) + \sin(\pi + x) = \sin x - \sin x = 0, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea B(x)=(10x0103x01)B(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 3x & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(B(0))=1\det(B(0)) = 1. b) Arătați că B(x)+B(y)=2B(x+y2)B(x) + B(y) = 2B\left(\dfrac{x+y}{2}\right), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx pentru care B(x2+1)⋅B(x)=B(x2+x+1)B(x^2+1) \cdot B(x) = B(x^2+x+1).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
B(0)=(100010001)⇒det⁡(B(0))=∣100010001∣=B(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
B(x)+B(y)=(20x+y0203x+3y02)=2(10x+y20103⋅x+y201)B(x) + B(y) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & x+y \\ 0 & 2 & 0 \\ 3x+3y & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{x+y}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 \cdot \frac{x+y}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix}
4
2 puncte
=2B(x+y2)= 2B\left(\dfrac{x+y}{2}\right), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
B(x2+1)⋅B(x)=(3x3+3x+10x2+x+10103(x2+x+1)03x3+3x+1)B(x^2+1) \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 3x^3+3x+1 & 0 & x^2+x+1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3(x^2+x+1) & 0 & 3x^3+3x+1 \end{pmatrix}, B(x2+x+1)=(10x2+x+10103(x2+x+1)01)B(x^2+x+1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x^2+x+1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3(x^2+x+1) & 0 & 1 \end{pmatrix}
6
2 puncte
3x3+3x+1=1⇔x=03x^3 + 3x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=12(x−3)(y−3)+3x \circ y = \dfrac{1}{2}(x-3)(y-3) + 3. a) Arătați că (−3)∘3=3(-3) \circ 3 = 3. b) Determinați numerele naturale nn pentru care n∘n=11n \circ n = 11. c) Calculați 1∘2∘3∘…∘20151 \circ 2 \circ 3 \circ \ldots \circ 2015.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
(−3)∘3=12(−3−3)(3−3)+3=(-3) \circ 3 = \dfrac{1}{2}(-3-3)(3-3) + 3 =
2
2 puncte
=0+3=3= 0 + 3 = 3
b)5 puncte
3
2 puncte
n∘n=12(n−3)2+3n \circ n = \dfrac{1}{2}(n-3)^2 + 3
4
3 puncte
(n−3)2=16⇔n1=−1(n-3)^2 = 16 \Leftrightarrow n_1 = -1, care nu convine, și n2=7n_2 = 7, care convine
c)5 puncte
5
2 puncte
x∘3=3x \circ 3 = 3 și 3∘y=33 \circ y = 3, pentru xx și yy numere reale
6
3 puncte
1∘2∘3∘…∘2015=(1∘2)∘3∘(4∘5∘…∘2015)=3∘(4∘5∘…∘2015)=31 \circ 2 \circ 3 \circ \ldots \circ 2015 = (1 \circ 2) \circ 3 \circ (4 \circ 5 \circ \ldots \circ 2015) = 3 \circ (4 \circ 5 \circ \ldots \circ 2015) = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x−1f(x) = \dfrac{x+2}{x-1}. a) Arătați că f′(x)=−3(x−1)2f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Arătați că funcția ff este convexă pe intervalul (1,+∞)(1, +\infty). c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției ff, în care tangenta la graficul funcției ff este paralelă cu dreapta de ecuație y=−3xy = -3x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1⋅(x−1)−(x+2)⋅1(x−1)2=f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x-1) - (x+2) \cdot 1}{(x-1)^2} =
2
2 puncte
=x−1−x−2(x−1)2=−3(x−1)2= \dfrac{x - 1 - x - 2}{(x-1)^2} = -\dfrac{3}{(x-1)^2}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
f′′(x)=6(x−1)3f''(x) = \dfrac{6}{(x-1)^3}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
4
2 puncte
f′′(x)>0f''(x) > 0, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), deci funcția ff este convexă pe intervalul (1,+∞)(1, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)=−3⇔(x−1)2=1f'(x) = -3 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 1
6
2 puncte
Cum x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), coordonatele punctului sunt x=2x = 2 și y=4y = 4
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xexf(x) = xe^x. a) Arătați că ∫121xf(x) dx=e(e−1)\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} f(x)\, dx = e(e-1). b) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(1)=0F(1) = 0. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\, dx. Arătați că In+(n+1)In−1=eI_n + (n+1)I_{n-1} = e, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫121xf(x) dx=∫12ex dx=ex∣12=\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x} f(x)\, dx = \int_1^2 e^x\, dx = e^x \Big|_1^2 =
2
2 puncte
=e2−e=e(e−1)= e^2 - e = e(e-1)
b)5 puncte
3
3 puncte
F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=(x−1)ex+cF(x) = (x-1)e^x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
2 puncte
F(1)=0⇒c=0F(1) = 0 \Rightarrow c = 0, deci F(x)=(x−1)exF(x) = (x-1)e^x
c)5 puncte
5
3 puncte
In=∫01xn+1ex dx=(xn+1ex)∣01−(n+1)∫01xnex dx=I_n = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1} e^x\, dx = \left(x^{n+1} e^x\right)\Big|_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x\, dx =
6
2 puncte
=e−(n+1)In−1= e - (n+1)I_{n-1}, deci In+(n+1)In−1=eI_n + (n+1)I_{n-1} = e, pentru orice număr natural nn, n≥2n \geq 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare XI 2016 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2015 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac