BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2015 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (12+15)⋅207=2\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5}\right) \cdot \dfrac{20}{7} = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
12+15=710\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{7}{10}
2
2 puncte
710⋅207=2\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{20}{7} = 2
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, știind că punctul A(a,0)A(a, 0) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2f(x) = x - 2.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=0⇔a−2=0f(a) = 0 \Leftrightarrow a - 2 = 0
2
2 puncte
a=2a = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3=4\sqrt{x + 3} = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
x+3=16x + 3 = 16
2
2 puncte
x=13x = 13, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,20,30,40,50,60,70,80,90}M = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}, acesta să fie multiplu de 1515.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea MM are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea MM sunt 33 multipli de 1515, deci sunt 33 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=39=13p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,2)A(4, 2) și B(4,6)B(4, 6). Determinați coordonatele mijlocului segmentului ABAB.

Rezolvare

1
2 puncte
xM=4x_M = 4
2
3 puncte
yM=4y_M = 4, unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x=1213\sin x = \dfrac{12}{13}, știind că x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=513\cos x = \dfrac{5}{13}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(513)2=144169\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = \dfrac{144}{169}
2
2 puncte
Cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=1213\sin x = \dfrac{12}{13}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B=(4321)B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} și C=(1111)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=−2\det A = -2. b) Arătați că A+B=5CA + B = 5C. c) Demonstrați că AB+BA+4I2=25CAB + BA + 4I_2 = 25C, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1234∣=1⋅4−2⋅3=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 =
2
2 puncte
=4−6=−2= 4 - 6 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
A+B=(1234)+(4321)=(5555)=A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=5(1111)=5C= 5 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 5C
c)5 puncte
5
3 puncte
AB=(852013)AB = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 20 & 13 \end{pmatrix}, BA=(132058)BA = \begin{pmatrix} 13 & 20 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}, 4I2=(4004)4I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}
6
2 puncte
AB+BA+4I2=(25252525)=25(1111)=25CAB + BA + 4I_2 = \begin{pmatrix} 25 & 25 \\ 25 & 25 \end{pmatrix} = 25 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 25C
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12x \circ y = xy + 4x + 4y + 12. a) Arătați că 5∘(−4)=−45 \circ (-4) = -4. b) Arătați că x∘y=(x+4)(y+4)−4x \circ y = (x+4)(y+4) - 4, pentru orice numere reale xx și yy. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=xx \circ x = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
5∘(−4)=5⋅(−4)+4⋅5+4⋅(−4)+12=5 \circ (-4) = 5 \cdot (-4) + 4 \cdot 5 + 4 \cdot (-4) + 12 =
2
2 puncte
=−20+20−16+12=−4= -20 + 20 - 16 + 12 = -4
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘y=xy+4x+4y+16−4=x \circ y = xy + 4x + 4y + 16 - 4 =
4
3 puncte
=x(y+4)+4(y+4)−4=(x+4)(y+4)−4= x(y+4) + 4(y+4) - 4 = (x+4)(y+4) - 4, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
2 puncte
x∘x=(x+4)2−4x \circ x = (x+4)^2 - 4
6
3 puncte
(x+4)2−4=x⇔(x+4)(x+3)=0⇔x1=−4(x+4)^2 - 4 = x \Leftrightarrow (x+4)(x+3) = 0 \Leftrightarrow x_1 = -4 și x2=−3x_2 = -3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3+3x2+5f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 5. a) Arătați că f′(x)=6x(x+1)f'(x) = 6x(x+1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Calculați lim⁡x→+∞f′(x)f(x)−2x3\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{f(x) - 2x^3}. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(2x3)′+(3x2)′+5′=f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' + 5' =
2
3 puncte
=6x2+6x=6x(x+1)= 6x^2 + 6x = 6x(x+1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞f′(x)f(x)−2x3=lim⁡x→+∞6x(x+1)3x2+5=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{f(x) - 2x^3} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x(x+1)}{3x^2 + 5} =
4
3 puncte
=2= 2
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)=0⇔x1=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x_1 = -1 și x2=0x_2 = 0
6
3 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(−∞,−1]x \in (-\infty, -1], deci ff este crescătoare pe (−∞,−1](-\infty, -1]; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[−1,0]x \in [-1, 0], deci ff este descrescătoare pe [−1,0][-1, 0]; f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty), deci ff este crescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x3+3x2f(x) = 4x^3 + 3x^2. a) Arătați că ∫12(f(x)−3x2)dx=15\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - 3x^2\right) dx = 15. b) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(1)=2015F(1) = 2015. c) Determinați numărul natural nn, n>1n > 1, știind că ∫1nf(x)x2 dx=9\displaystyle\int_1^n \dfrac{f(x)}{x^2}\, dx = 9.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫12(f(x)−3x2)dx=∫124x3 dx=x4∣12=\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) - 3x^2\right) dx = \int_1^2 4x^3\, dx = \left.x^4\right|_1^2 =
2
2 puncte
=16−1=15= 16 - 1 = 15
b)5 puncte
3
2 puncte
F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=x4+x3+cF(x) = x^4 + x^3 + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F(1)=2015⇒c=2013F(1) = 2015 \Rightarrow c = 2013, deci F(x)=x4+x3+2013F(x) = x^4 + x^3 + 2013
c)5 puncte
5
3 puncte
∫1nf(x)x2 dx=∫1n(4x+3) dx=2x2+3x∣1n=2n2+3n−5\displaystyle\int_1^n \dfrac{f(x)}{x^2}\, dx = \int_1^n (4x+3)\, dx = \left.2x^2 + 3x\right|_1^n = 2n^2 + 3n - 5
6
2 puncte
2n2+3n−5=92n^2 + 3n - 5 = 9 și cum nn este număr natural, n>1n > 1, obținem n=2n = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2015 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2015 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac