BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2016 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că (12−15)⋅103=1\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) \cdot \frac{10}{3} = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
12−15=310\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}
2
2 puncte
310⋅103=1\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} = 1
Exercițiul 2
Determinați numărul real aa, știind că punctul A(1,0)A(1, 0) aparține graficului funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−af(x) = x - a.

Rezolvare

1
3 puncte
f(1)=0⇒1−a=0f(1) = 0 \Rightarrow 1 - a = 0
2
2 puncte
a=1a = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+1=5\sqrt{x + 1} = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
x+1=25x + 1 = 25
2
2 puncte
x=24x = 24, care verifică ecuația
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,20,30,40,50,60,70,80,90}M = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}, acesta să fie multiplu de 3030.

Rezolvare

1
1 punct
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
Multiplii de 3030 din mulțimea MM sunt 3030, 6060 și 9090, deci sunt 33 cazuri favorabile
3
2 puncte
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=39=13p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,5)A(3, 5) și B(7,5)B(7, 5). Determinați coordonatele mijlocului segmentului ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
xM=5x_M = 5, unde punctul MM este mijlocul segmentului ABAB
2
2 puncte
yM=5y_M = 5
Exercițiul 6
Dacă x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=513\cos x = \frac{5}{13}, arătați că tg⁡x=125\operatorname{tg} x = \frac{12}{5}.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(513)2=144169\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} și, cum x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right), obținem sin⁡x=1213\sin x = \frac{12}{13}
2
2 puncte
tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=1213⋅135=125\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(11−10)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} și B=(0−111)B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Arătați că B⋅B+A=O2B \cdot B + A = O_2, unde O2=(0000)O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. c) Determinați numerele reale xx și yy, pentru care A+B=(2x004y)A + B = \begin{pmatrix} 2^x & 0 \\ 0 & 4^y \end{pmatrix}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣11−10∣=1⋅0−1⋅(−1)=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) =
2
2 puncte
=0+1=1= 0 + 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
B⋅B=(−1−110)B \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
4
2 puncte
B⋅B+A=(−1−110)+(11−10)=(0000)=O2B \cdot B + A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2
c)5 puncte
5
2 puncte
A+B=(1001)A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
6
3 puncte
(1001)=(2x004y)⇔{2x=14y=1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^x & 0 \\ 0 & 4^y \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} 2^x = 1 \\ 4^y = 1 \end{cases}, deci x=0x = 0 și y=0y = 0
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2−2X+1f = X^3 - 2X^2 - 2X + 1. a) Arătați că f(1)=−2f(1) = -2. b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul X+1X + 1. c) Demonstrați că (x2+x3)(x3+x1)(x1+x2)=−3(x_2 + x_3)(x_3 + x_1)(x_1 + x_2) = -3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(1)=13−2⋅12−2⋅1+1=f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 1 =
2
2 puncte
=1−2−2+1=−2= 1 - 2 - 2 + 1 = -2
b)5 puncte
3
3 puncte
Câtul este X2−3X+1X^2 - 3X + 1
4
2 puncte
Restul este 00
c)5 puncte
5
2 puncte
x1+x2+x3=2x_1 + x_2 + x_3 = 2
6
3 puncte
(x2+x3)(x3+x1)(x1+x2)=(2−x1)(2−x2)(2−x3)=f(2)=−3(x_2 + x_3)(x_3 + x_1)(x_1 + x_2) = (2 - x_1)(2 - x_2)(2 - x_3) = f(2) = -3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+2f(x) = -x^3 + 3x + 2. a) Arătați că f′(x)=3(1−x)(1+x)f'(x) = 3(1 - x)(1 + x), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→2f(x)x−2=−9\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2} = -9. c) Demonstrați că f(x)≤4f(x) \leq 4, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=−3x2+3=f'(x) = -3x^2 + 3 =
2
2 puncte
=3(1−x2)=3(1−x)(1+x)= 3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→2f(x)x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} =
4
2 puncte
=f′(2)=−9= f'(2) = -9
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)=0⇔x=−1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 sau x=1x = 1; x∈[−1,1]⇒f′(x)≥0x \in [-1, 1] \Rightarrow f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [−1,1][-1, 1]; x∈[1,+∞)⇒f′(x)≤0x \in [1, +\infty) \Rightarrow f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
6
2 puncte
Cum f(1)=4f(1) = 4, obținem f(x)≤4f(x) \leq 4, pentru orice x∈[−1,+∞)x \in [-1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2f(x) = x + 2. a) Arătați că ∫−11(f(x)−2) dx=0\displaystyle\int_{-1}^{1} (f(x) - 2)\, dx = 0. b) Arătați că ∫01exf(x) dx=2e−1\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\, dx = 2e - 1. c) Determinați numărul real aa, știind că ∫0af(x) dx=∫06−a(f(x)−4) dx\displaystyle\int_0^a f(x)\, dx = \int_0^{6-a} (f(x) - 4)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫−11(f(x)−2) dx=∫−11(x+2−2) dx=∫−11x dx=\displaystyle\int_{-1}^{1} (f(x) - 2)\, dx = \int_{-1}^{1} (x + 2 - 2)\, dx = \int_{-1}^{1} x\, dx =
2
3 puncte
=x22∣−11=12−12=0= \left.\frac{x^2}{2}\right|_{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01exf(x) dx=∫01ex(x+2) dx=ex(x+2)∣01−ex∣01=\displaystyle\int_0^1 e^x f(x)\, dx = \int_0^1 e^x(x + 2)\, dx = \left.e^x(x + 2)\right|_0^1 - \left.e^x\right|_0^1 =
4
2 puncte
=(3e−2)−(e−1)=2e−1= (3e - 2) - (e - 1) = 2e - 1
c)5 puncte
5
3 puncte
∫0af(x) dx=∫0a(x+2) dx=a22+2a\displaystyle\int_0^a f(x)\, dx = \int_0^a (x + 2)\, dx = \frac{a^2}{2} + 2a; ∫06−a(f(x)−4) dx=∫06−a(x−2) dx=(6−a)22−2(6−a)\displaystyle\int_0^{6-a} (f(x) - 4)\, dx = \int_0^{6-a} (x - 2)\, dx = \frac{(6 - a)^2}{2} - 2(6 - a)
6
2 puncte
a22+2a=(6−a)22−2(6−a)⇔a=1\frac{a^2}{2} + 2a = \frac{(6 - a)^2}{2} - 2(6 - a) \Leftrightarrow a = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2016 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2016 — Matematică-Informatică (Varianta 01)

← Înapoi la arhiva completă Bac