BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2017 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a1=4a_1 = 4 și a2=7a_2 = 7.

Rezolvare

1
3 puncte
r=a2−a1=3r = a_2 - a_1 = 3
2
2 puncte
a3=10a_3 = 10
Exercițiul 2
Se consideră x1x_1 și x2x_2 soluțiile ecuației x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0. Arătați că 4x1x2−(x1+x2)=04x_1x_2 - (x_1 + x_2) = 0.

Rezolvare

1
2 puncte
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4, x1x2=1x_1x_2 = 1
2
3 puncte
4x1x2−(x1+x2)=4⋅1−4=04x_1x_2 - (x_1 + x_2) = 4 \cdot 1 - 4 = 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+1=182^{2x+1} = \frac{1}{8}.

Rezolvare

1
3 puncte
22x+1=2−3⇔2x+1=−32^{2x+1} = 2^{-3} \Leftrightarrow 2x + 1 = -3
2
2 puncte
x=−2x = -2
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 1515.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre, multiplii de 1515 sunt numerele 1515, 3030, 4545, 6060, 7575 și 9090, deci sunt 66 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=690=115p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,1)A(0, 1), B(1,1)B(1, 1) și C(3,a)C(3, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctele AA, BB și CC sunt coliniare.

Rezolvare

1
2 puncte
mAB=0m_{AB} = 0, mAC=a−13m_{AC} = \frac{a - 1}{3}
2
3 puncte
mAB=mAC⇔a−13=0⇔a=1m_{AB} = m_{AC} \Leftrightarrow \frac{a - 1}{3} = 0 \Leftrightarrow a = 1
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC cu AB=43AB = 4\sqrt{3}, AC=4AC = 4 și sin⁡C=32\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}. Calculați sin⁡B\sin B.

Rezolvare

1
3 puncte
ABsin⁡C=ACsin⁡B⇒sin⁡B=4⋅3243=\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}} =
2
2 puncte
=12= \frac{1}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(0xx0)A(x) = \begin{pmatrix} 0 & x \\ x & 0 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=−1\det(A(1)) = -1. b) Demonstrați că A(x)⋅A(y)=xyI2A(x) \cdot A(y) = xyI_2, pentru orice numere reale xx și yy, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Determinați numărul real aa, știind că A(3a)⋅A(3a+1)⋅A(3a+2)=A(27)A(3^a) \cdot A(3^{a+1}) \cdot A(3^{a+2}) = A(27).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(1)=(0110)⇒det⁡(A(1))=∣0110∣=A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=0−1=−1= 0 - 1 = -1
b)5 puncte
3
3 puncte
A(x)⋅A(y)=(0xx0)(0yy0)=(xy00xy)=A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 0 & x \\ x & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy & 0 \\ 0 & xy \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=xy(1001)=xyI2= xy \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = xyI_2, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
A(3a)⋅A(3a+1)⋅A(3a+2)=A(33a+3)A(3^a) \cdot A(3^{a+1}) \cdot A(3^{a+2}) = A(3^{3a+3})
6
2 puncte
A(33a+3)=A(27)⇒33a+3=33A(3^{3a+3}) = A(27) \Rightarrow 3^{3a+3} = 3^3, de unde obținem a=0a = 0
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3+mX2+2X−4f = X^3 + mX^2 + 2X - 4, unde mm este număr real. a) Pentru m=1m = 1, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Arătați că, dacă polinomul ff se divide cu X+2X + 2, atunci restul împărțirii lui ff la X+3X + 3 este egal cu −1-1. c) Determinați numărul real mm, știind că 1x1+1x2+1x3+x1+x2+x3=12\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + x_1 + x_2 + x_3 = \frac{1}{2}, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f=X3+X2+2X−4⇒f(1)=13+12+2⋅1−4=f = X^3 + X^2 + 2X - 4 \Rightarrow f(1) = 1^3 + 1^2 + 2 \cdot 1 - 4 =
2
2 puncte
=1+1+2−4=0= 1 + 1 + 2 - 4 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
f(−2)=0⇒m=4f(-2) = 0 \Rightarrow m = 4, deci f=X3+4X2+2X−4f = X^3 + 4X^2 + 2X - 4
4
2 puncte
f(−3)=−27+36−6−4=−1f(-3) = -27 + 36 - 6 - 4 = -1
c)5 puncte
5
3 puncte
x1+x2+x3=−mx_1 + x_2 + x_3 = -m, x1x2+x2x3+x3x1=2x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 2, x1x2x3=4x_1x_2x_3 = 4
6
2 puncte
1x1+1x2+1x3+x1+x2+x3=x1x2+x2x3+x3x1x1x2x3+(x1+x2+x3)=12−m\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + x_1 + x_2 + x_3 = \frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1}{x_1x_2x_3} + (x_1 + x_2 + x_3) = \frac{1}{2} - m, deci m=0m = 0

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2017exf(x) = \frac{x + 2017}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=−(x+2016)exf'(x) = \frac{-(x + 2016)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este convexă pe [−2015,+∞)[-2015, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x+2017)′⋅ex−(x+2017)⋅(ex)′(ex)2=f'(x) = \frac{(x + 2017)' \cdot e^x - (x + 2017) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} =
2
2 puncte
=ex(1−x−2017)e2x=−(x+2016)ex= \frac{e^x(1 - x - 2017)}{e^{2x}} = \frac{-(x + 2016)}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
2 puncte
f(0)=2017f(0) = 2017, f′(0)=−2016f'(0) = -2016
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=−2016x+2017y = -2016x + 2017
c)5 puncte
5
2 puncte
f′′(x)=x+2015exf''(x) = \frac{x + 2015}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
6
3 puncte
f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 pentru orice x∈[−2015,+∞)x \in [-2015, +\infty), deci ff este convexă pe [−2015,+∞)[-2015, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1x2+1f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫011f(x) dx=43\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dx = \frac{4}{3}. b) Determinați primitiva FF a funcției ff, știind că F(1)=π4+1F(1) = \frac{\pi}{4} + 1. c) Determinați numărul natural nn, știind că ∫0nx⋅f(x) dx=12ln⁡5\displaystyle\int_0^n x \cdot f(x)\, dx = \frac{1}{2}\ln 5.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫011f(x) dx=∫01(x2+1) dx=(x33+x)∣01=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{f(x)}\, dx = \int_0^1 (x^2 + 1)\, dx = \left.\left(\frac{x^3}{3} + x\right)\right|_0^1 =
2
2 puncte
=13+1=43= \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}
b)5 puncte
3
2 puncte
F:R→RF : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x)=arctg⁡x+cF(x) = \operatorname{arctg} x + c, unde c∈Rc \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F(1)=π4+c⇒c=1F(1) = \frac{\pi}{4} + c \Rightarrow c = 1, deci F(x)=arctg⁡x+1F(x) = \operatorname{arctg} x + 1
c)5 puncte
5
3 puncte
∫0nx⋅f(x) dx=∫0nxx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)∣0n=12ln⁡(n2+1)\displaystyle\int_0^n x \cdot f(x)\, dx = \int_0^n \frac{x}{x^2 + 1}\, dx = \left.\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right|_0^n = \frac{1}{2}\ln(n^2 + 1)
6
2 puncte
12ln⁡(n2+1)=12ln⁡5\frac{1}{2}\ln(n^2 + 1) = \frac{1}{2}\ln 5, deci n2+1=5n^2 + 1 = 5, de unde obținem n=2n = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2017 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2017 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac