BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2019 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul b3b_3 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b1=1b_1 = 1 și rația q=5q = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
b3=b1⋅q2=b_3 = b_1 \cdot q^2 =
2
2 puncte
=1⋅52=25= 1 \cdot 5^2 = 25
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=4x−5g(x) = 4x - 5. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.

Rezolvare

1
2 puncte
f(x)=g(x)⇔x2−x+1=4x−5⇔x2−5x+6=0f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - x + 1 = 4x - 5 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0
2
3 puncte
x=2x = 2, x=3x = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+x=4\sqrt{2x} + x = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
2x=4−x⇒2x=16−8x+x2⇒x2−10x+16=0\sqrt{2x} = 4 - x \Rightarrow 2x = 16 - 8x + x^2 \Rightarrow x^2 - 10x + 16 = 0
2
2 puncte
x=2x = 2, care convine, x=8x = 8, care nu convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,…,49}A = \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots, \sqrt{49}\}, acesta să fie număr natural.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 4949 de elemente, deci sunt 4949 de cazuri posibile
2
2 puncte
În mulțimea AA sunt 77 numere naturale, deci sunt 77 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=749=17p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,3)A(2, 3), B(−3,0)B(-3, 0) și C(−3,6)C(-3, 6). Determinați ecuația medianei din AA a triunghiului ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Punctul M(−3,3)M(-3, 3) este mijlocul laturii BCBC
2
3 puncte
Ecuația medianei din AA este y=3y = 3
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡x(3sin⁡x−cos⁡x)+cos⁡x(sin⁡x+3cos⁡x)=3\sin x(3\sin x - \cos x) + \cos x(\sin x + 3\cos x) = 3, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡x(3sin⁡x−cos⁡x)+cos⁡x(sin⁡x+3cos⁡x)=3sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x+3cos⁡2x=\sin x(3\sin x - \cos x) + \cos x(\sin x + 3\cos x) = 3\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos x \sin x + 3\cos^2 x =
2
3 puncte
=3(sin⁡2x+cos⁡2x)=3= 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(a4−4a)A(a) = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(−1))=17\det(A(-1)) = 17. b) Demonstrați că A(2019−a)+A(2019+a)=2A(2019)A(2019 - a) + A(2019 + a) = 2A(2019), pentru orice număr real aa. c) Determinați perechile de numere reale xx și yy, pentru care A(x)⋅A(y)=2A(−8)A(x) \cdot A(y) = 2A(-8).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(−1)=(−14−4−1)⇒det⁡(A(−1))=∣−14−4−1∣=(−1)⋅(−1)−(−4)⋅4=A(-1) = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(-1)) = \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - (-4) \cdot 4 =
2
2 puncte
=1+16=17= 1 + 16 = 17
b)5 puncte
3
3 puncte
A(2019−a)+A(2019+a)=(2019−a4−42019−a)+(2019+a4−42019+a)=(40388−84038)=A(2019 - a) + A(2019 + a) = \begin{pmatrix} 2019 - a & 4 \\ -4 & 2019 - a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2019 + a & 4 \\ -4 & 2019 + a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4038 & 8 \\ -8 & 4038 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=2(20194−42019)=2A(2019)= 2\begin{pmatrix} 2019 & 4 \\ -4 & 2019 \end{pmatrix} = 2A(2019), pentru orice număr real aa
c)5 puncte
5
3 puncte
A(x)⋅A(y)=(x4−4x)(y4−4y)=(xy−164x+4y−4x−4yxy−16)A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} x & 4 \\ -4 & x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y & 4 \\ -4 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy - 16 & 4x + 4y \\ -4x - 4y & xy - 16 \end{pmatrix}, 2A(−8)=(−168−8−16)2A(-8) = \begin{pmatrix} -16 & 8 \\ -8 & -16 \end{pmatrix}
6
2 puncte
xy=0xy = 0 și x+y=2x + y = 2, deci x=0x = 0, y=2y = 2 sau x=2x = 2, y=0y = 0
Exercițiul 2
Pe mulțimea G=(−2,2)G = (-2, 2) se definește legea de compoziție x∗y=4x+4y4+xyx * y = \frac{4x + 4y}{4 + xy}. a) Arătați că 00 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*". b) Determinați x∈Gx \in G, pentru care x∗x=85x * x = \frac{8}{5}. c) Se consideră funcția f:(0,+∞)→Gf : (0, +\infty) \to G, f(x)=2(x−1)x+1f(x) = \frac{2(x - 1)}{x + 1}. Demonstrați că f(xy)=f(x)∗f(y)f(xy) = f(x) * f(y), pentru orice x,y∈(0,+∞)x, y \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
x∗0=4x+4⋅04+x⋅0=4x4=xx * 0 = \frac{4x + 4 \cdot 0}{4 + x \cdot 0} = \frac{4x}{4} = x, pentru orice x∈Gx \in G
2
3 puncte
0∗x=4⋅0+4x4+0⋅x=4x4=x0 * x = \frac{4 \cdot 0 + 4x}{4 + 0 \cdot x} = \frac{4x}{4} = x, pentru orice x∈Gx \in G, deci 00 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*"
b)5 puncte
3
3 puncte
8x4+x2=85⇔x2−5x+4=0\frac{8x}{4 + x^2} = \frac{8}{5} \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0
4
2 puncte
x=1x = 1, care convine, x=4x = 4, care nu convine
c)5 puncte
5
3 puncte
f(x)∗f(y)=4f(x)+4f(y)4+f(x)f(y)=4⋅2(x−1)x+1+4⋅2(y−1)y+14+4(x−1)(y−1)(x+1)(y+1)=2(xy+x−y−1+xy−x+y−1)xy+x+y+1+xy−x−y+1=4(xy−1)2(xy+1)f(x) * f(y) = \frac{4f(x) + 4f(y)}{4 + f(x)f(y)} = \frac{4 \cdot \frac{2(x-1)}{x+1} + 4 \cdot \frac{2(y-1)}{y+1}}{4 + \frac{4(x-1)(y-1)}{(x+1)(y+1)}} = \frac{2(xy + x - y - 1 + xy - x + y - 1)}{xy + x + y + 1 + xy - x - y + 1} = \frac{4(xy - 1)}{2(xy + 1)}
6
2 puncte
=2(xy−1)xy+1=f(xy)= \frac{2(xy - 1)}{xy + 1} = f(xy), pentru orice x,y∈(0,+∞)x, y \in (0, +\infty)

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=1−2x+2ln⁡(x+1)f(x) = 1 - 2x + 2\ln(x + 1). a) Arătați că f′(x)=−2xx+1f'(x) = \frac{-2x}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ln⁡(1+cos⁡x)≤cos⁡x\ln(1 + \cos x) \leq \cos x, pentru orice x∈(0,π)x \in (0, \pi).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=−2+2x+1=f'(x) = -2 + \frac{2}{x + 1} =
2
2 puncte
=−2x−2+2x+1=−2xx+1= \frac{-2x - 2 + 2}{x + 1} = \frac{-2x}{x + 1}, x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f(0)=1f(0) = 1, f′(0)=0f'(0) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=1y = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈(−1,0]⇒fx \in (-1, 0] \Rightarrow f este crescătoare pe (−1,0](-1, 0] și f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈[0,+∞)⇒fx \in [0, +\infty) \Rightarrow f este descrescătoare pe [0,+∞)[0, +\infty), deci f(x)≤f(0)⇒1−2x+2ln⁡(x+1)≤1f(x) \leq f(0) \Rightarrow 1 - 2x + 2\ln(x + 1) \leq 1, deci ln⁡(x+1)≤x\ln(x + 1) \leq x, pentru orice x∈(−1,+∞)x \in (-1, +\infty)
6
2 puncte
cos⁡x>−1\cos x > -1, pentru orice x∈(0,π)x \in (0, \pi), deci ln⁡(1+cos⁡x)≤cos⁡x\ln(1 + \cos x) \leq \cos x, pentru orice x∈(0,π)x \in (0, \pi)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+3exf(x) = \frac{x + 3}{e^x}. a) Arătați că ∫−11f(x)ex dx=6\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) e^x\, dx = 6. b) Demonstrați că orice primitivă a funcției ff este crescătoare pe intervalul [−3,+∞)[-3, +\infty). c) Determinați numărul natural nenul nn, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=nx = n are aria egală cu 4−6e−n4 - 6e^{-n}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫−11f(x)ex dx=∫−11(x+3) dx=(x22+3x)∣−11=\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) e^x\, dx = \int_{-1}^{1} (x + 3)\, dx = \left.\left(\frac{x^2}{2} + 3x\right)\right|_{-1}^{1} =
2
2 puncte
=(12+3)−(12−3)=6= \left(\frac{1}{2} + 3\right) - \left(\frac{1}{2} - 3\right) = 6
b)5 puncte
3
2 puncte
FF este o primitivă a funcției f⇒F′(x)=f(x)=x+3exf \Rightarrow F'(x) = f(x) = \frac{x + 3}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}
4
3 puncte
F′(x)≥0F'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−3,+∞)x \in [-3, +\infty), deci funcția FF este crescătoare pe intervalul [−3,+∞)[-3, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
A=∫0n∣f(x)∣ dx=∫0n(x+3)e−x dx=−(x+4)e−x∣0n=−(n+4)e−n+4\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^n |f(x)|\, dx = \int_0^n (x + 3)e^{-x}\, dx = \left.-(x + 4)e^{-x}\right|_0^n = -(n + 4)e^{-n} + 4
6
2 puncte
−(n+4)e−n+4=4−6e−n-(n + 4)e^{-n} + 4 = 4 - 6e^{-n}, de unde obținem n=2n = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2019 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2019 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac