BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2020 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu a1=2a_1 = 2 și rația r=3r = 3. Calculați a3a_3.

Rezolvare

1
3 puncte
a3=a1+2r=2+2⋅3=a_3 = a_1 + 2r = 2 + 2 \cdot 3 =
2
2 puncte
=8= 8
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1. Determinați numerele reale xx pentru care f(x2)=9f(x^2) = 9.

Rezolvare

1
3 puncte
2x2+1=9⇔x2=42x^2 + 1 = 9 \Leftrightarrow x^2 = 4
2
2 puncte
x=−2x = -2 sau x=2x = 2
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x+2−32x=83^{2x+2} - 3^{2x} = 8.

Rezolvare

1
3 puncte
32x(32−1)=8⇔32x=13^{2x}(3^2 - 1) = 8 \Leftrightarrow 3^{2x} = 1
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să fie divizor al lui 100100.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile
2
2 puncte
Divizorii din mulțimea AA ai numărului 100100 sunt 11, 22, 44 și 55, deci sunt 44 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=49p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{9}
Exercițiul 5
Se consideră un punct PP în planul paralelogramului ABCDABCD. Arătați că PA→+PC→=PB→+PD→\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD}.

Rezolvare

1
3 puncte
ABCDABCD este paralelogram și pentru {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD, obținem PO→=12(PA→+PC→)\overrightarrow{PO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC})
2
2 puncte
PO→=12(PB→+PD→)\overrightarrow{PO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD}), deci PA→+PC→=PB→+PD→\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD}
Exercițiul 6
Arătați că sin⁡(x−π4)+cos⁡(x+π4)=0\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡(x−π4)+cos⁡(x+π4)=sin⁡xcos⁡π4−sin⁡π4cos⁡x+cos⁡xcos⁡π4−sin⁡xsin⁡π4=\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4} =
2
3 puncte
=22sin⁡x−22cos⁡x+22cos⁡x−22sin⁡x=0= \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = 0, pentru orice număr real xx

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(12+aa1+a3+a)A(a) = \begin{pmatrix} 12 + a & a \\ 1 + a & 3 + a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=36\det(A(0)) = 36. b) Determinați numerele reale aa pentru care det⁡(A(a)−(12+a)I2)=0\det(A(a) - (12 + a)I_2) = 0, unde I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. c) Se consideră matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea X⋅X=A(0)X \cdot X = A(0). Arătați că cel puțin un element al matricei XX este număr irațional.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(0)=(12013)⇒det⁡(A(0))=∣12013∣=12⋅3−0⋅1=A(0) = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 12 \cdot 3 - 0 \cdot 1 =
2
2 puncte
=36−0=36= 36 - 0 = 36
b)5 puncte
3
3 puncte
A(a)−(12+a)I2=(0a1+a−9)⇒det⁡(A(a)−(12+a)I2)=∣0a1+a−9∣=−a(1+a)A(a) - (12 + a)I_2 = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 + a & -9 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(a) - (12 + a)I_2) = \begin{vmatrix} 0 & a \\ 1 + a & -9 \end{vmatrix} = -a(1 + a)
4
2 puncte
a(1+a)=0a(1 + a) = 0, de unde obținem a=0a = 0 sau a=−1a = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, deci X⋅X=A(0)⇔(a2+bcb(a+d)c(a+d)d2+bc)=(12013)X \cdot X = A(0) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d) \\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
6
3 puncte
Din b(a+d)=0b(a + d) = 0 și c(a+d)=1c(a + d) = 1, rezultă a+d≠0a + d \neq 0 și b=0b = 0 și, cum d2+bc=3d^2 + bc = 3, obținem d2=3d^2 = 3, deci dd este număr irațional
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y3−2x \circ y = x + \sqrt[3]{y} - 2. a) Arătați că 1∘1=01 \circ 1 = 0. b) Determinați numărul real aa pentru care x∘a=xx \circ a = x, pentru orice număr real xx. c) Determinați numerele reale xx pentru care x∘x6=4x \circ x^6 = 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∘1=1+13−2=1 \circ 1 = 1 + \sqrt[3]{1} - 2 =
2
2 puncte
=1+1−2=0= 1 + 1 - 2 = 0
b)5 puncte
3
2 puncte
x+a3−2=xx + \sqrt[3]{a} - 2 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
a3=2⇔a=8\sqrt[3]{a} = 2 \Leftrightarrow a = 8
c)5 puncte
5
3 puncte
x+x63−2=4x + \sqrt[3]{x^6} - 2 = 4, deci x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0
6
2 puncte
x=−3x = -3 sau x=2x = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x2−1f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}. a) Arătați că f′(x)=2x(1−1x2−1)f'(x) = 2x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right), x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Calculați lim⁡x→+∞x2−f(x)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - f(x)}{x}. c) Demonstrați că axa OxOx este tangentă la graficul funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x2)′−(2x2−1)′=2x−2⋅2x2x2−1=f'(x) = (x^2)' - (2\sqrt{x^2 - 1})' = 2x - 2 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} =
2
2 puncte
=2x−2xx2−1=2x(1−1x2−1)= 2x - \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}} = 2x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right), x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞x2−f(x)x=lim⁡x→+∞2x2−1x=lim⁡x→+∞2x1−1x2x=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}{x} =
4
2 puncte
=2lim⁡x→+∞1−1x2=2= 2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
f(x)=0⇔x2=2x2−1⇔x4=4(x2−1)⇔(x2−2)2=0⇔x2=2f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 2\sqrt{x^2 - 1} \Leftrightarrow x^4 = 4(x^2 - 1) \Leftrightarrow (x^2 - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 2 și, cum x>1x > 1, obținem x=2x = \sqrt{2}
6
3 puncte
A(2,0)A(\sqrt{2}, 0) este punctul de intersecție a graficului funcției ff cu axa OxOx și, cum panta tangentei la graficul funcției ff în punctul AA este f′(2)=0f'(\sqrt{2}) = 0, obținem că axa OxOx este tangentă la graficul funcției ff
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+2x+2f(x) = \frac{x}{x^2 + 2x + 2}. a) Arătați că ∫01(x2+2x+2)f(x) dx=12\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 2x + 2) f(x)\, dx = \frac{1}{2}. b) Arătați că ∫02(f(x)+1x2+2x+2)dx=12ln⁡5\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\right) dx = \frac{1}{2}\ln 5. c) Arătați că ∫1e(1f(x)−2)ln⁡x dx=e2+54\displaystyle\int_1^e \left(\frac{1}{f(x)} - 2\right) \ln x\, dx = \frac{e^2 + 5}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
∫01(x2+2x+2)f(x) dx=∫01(x2+2x+2)⋅xx2+2x+2 dx=∫01x dx=\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 2x + 2) f(x)\, dx = \int_0^1 (x^2 + 2x + 2) \cdot \frac{x}{x^2 + 2x + 2}\, dx = \int_0^1 x\, dx =
2
3 puncte
=x22∣01=12= \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 = \frac{1}{2}
b)5 puncte
3
2 puncte
∫02(f(x)+1x2+2x+2)dx=∫02x+1x2+2x+2 dx=12∫02(x2+2x+2)′x2+2x+2 dx=\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\right) dx = \int_0^2 \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2}\, dx = \frac{1}{2}\int_0^2 \frac{(x^2 + 2x + 2)'}{x^2 + 2x + 2}\, dx =
4
3 puncte
=12ln⁡(x2+2x+2)∣02=12ln⁡5= \frac{1}{2}\left.\ln(x^2 + 2x + 2)\right|_0^2 = \frac{1}{2}\ln 5
c)5 puncte
5
3 puncte
∫1e(1f(x)−2)ln⁡x dx=∫1e(x+2x)ln⁡x dx=∫1exln⁡x dx+2∫1eln⁡xx dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx+2∫1e(ln⁡x)′ln⁡x dx=\displaystyle\int_1^e \left(\frac{1}{f(x)} - 2\right) \ln x\, dx = \int_1^e \left(x + \frac{2}{x}\right) \ln x\, dx = \int_1^e x \ln x\, dx + 2\int_1^e \frac{\ln x}{x}\, dx = \int_1^e \left(\frac{x^2}{2}\right)' \ln x\, dx + 2\int_1^e (\ln x)' \ln x\, dx =
6
2 puncte
=x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx+2⋅12ln⁡2x∣1e=e22−e24+14+ln⁡2e−ln⁡21=e22−e24+14+1=e2+54= \left.\frac{x^2}{2}\ln x\right|_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\, dx + 2 \cdot \frac{1}{2}\left.\ln^2 x\right|_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} + \ln^2 e - \ln^2 1 = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{e^2 + 5}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2020 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2020 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac