BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2020 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 3(23+1)−3=6\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3} = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
3(23+1)−3=23⋅3+3−3=\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3} =
2
2 puncte
=2⋅3=6= 2 \cdot 3 = 6
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−4x+2f(x) = x^2 - 4x + 2. Determinați numerele reale aa pentru care f(a)=2f(a) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
a2−4a+2=2⇔a2−4a=0a^2 - 4a + 2 = 2 \Leftrightarrow a^2 - 4a = 0
2
2 puncte
a=0a = 0 sau a=4a = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x−1=3\sqrt{x - 1} = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
x−1=9x - 1 = 9
2
2 puncte
x=10x = 10, care convine
Exercițiul 4
După o ieftinire cu 10%10\%, un obiect costă 180180 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Rezolvare

1
3 puncte
x−10100⋅x=180x - \frac{10}{100} \cdot x = 180, unde xx este prețul inițial al obiectului
2
2 puncte
x=200x = 200 de lei
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,1)A(4, 1), B(−4,1)B(-4, 1) și C(0,4)C(0, 4). Determinați lungimea înălțimii din vârful CC în triunghiul ABCABC.

Rezolvare

1
3 puncte
AB=BC⇒CDAB = BC \Rightarrow CD este înălțime în △ABC\triangle ABC, unde D(0,1)D(0, 1) este mijlocul segmentului ABAB
2
2 puncte
CD=3CD = 3
Exercițiul 6
Arătați că 3⋅sin⁡60°−2⋅cos⁡45°=12\sqrt{3} \cdot \sin 60° - \sqrt{2} \cdot \cos 45° = \frac{1}{2}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45°=22\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
2
3 puncte
3⋅sin⁡60°−2⋅cos⁡45°=3⋅32−2⋅22=32−22=12\sqrt{3} \cdot \sin 60° - \sqrt{2} \cdot \cos 45° = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1302)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=2\det A = 2. b) Arătați că 3A−A⋅A=2I23A - A \cdot A = 2I_2. c) Determinați numărul real xx pentru care (xA−I2)(xA−I2)=5A−I2(xA - I_2)(xA - I_2) = 5A - I_2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1302∣=1⋅2−3⋅0=\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 0 =
2
2 puncte
=2−0=2= 2 - 0 = 2
b)5 puncte
3
2 puncte
A⋅A=(1904)A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}
4
3 puncte
3A−A⋅A=(3906)−(1904)=(2002)=2I23A - A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_2
c)5 puncte
5
3 puncte
xA−I2=(x−13x02x−1)xA - I_2 = \begin{pmatrix} x - 1 & 3x \\ 0 & 2x - 1 \end{pmatrix}, (xA−I2)(xA−I2)=((x−1)29x2−6x0(2x−1)2)(xA - I_2)(xA - I_2) = \begin{pmatrix} (x-1)^2 & 9x^2 - 6x \\ 0 & (2x-1)^2 \end{pmatrix}, 5A−I2=(41509)5A - I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 15 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}
6
2 puncte
Cum (x−1)2=4(x - 1)^2 = 4, 9x2−6x=159x^2 - 6x = 15 și (2x−1)2=9(2x - 1)^2 = 9, obținem x=−1x = -1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2x \circ y = x^2 + (x + 1)(y + 1) + y^2. a) Arătați că 3∘(−1)=103 \circ (-1) = 10. b) Demonstrați că legea de compoziție „∘\circ" este comutativă. c) Demonstrați că x∘1≥2x \circ 1 \geq 2, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
3∘(−1)=32+(3+1)(−1+1)+(−1)2=3 \circ (-1) = 3^2 + (3 + 1)(-1 + 1) + (-1)^2 =
2
2 puncte
=9+4⋅0+1=10= 9 + 4 \cdot 0 + 1 = 10
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘y=x2+(x+1)(y+1)+y2=x \circ y = x^2 + (x + 1)(y + 1) + y^2 =
4
3 puncte
=y2+(y+1)(x+1)+x2=y∘x= y^2 + (y + 1)(x + 1) + x^2 = y \circ x, pentru orice numere reale xx și yy, deci legea de compoziție „∘\circ" este comutativă
c)5 puncte
5
3 puncte
x∘1=x2+2(x+1)+12=x2+2x+1+2=x \circ 1 = x^2 + 2(x + 1) + 1^2 = x^2 + 2x + 1 + 2 =
6
2 puncte
=(x+1)2+2≥2= (x + 1)^2 + 2 \geq 2, pentru orice număr real xx

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡xf(x) = (x - 1)\ln x. a) Arătați că f′(x)=1−1x+ln⁡xf'(x) = 1 - \frac{1}{x} + \ln x, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este descrescătoare pe intervalul (0,1](0, 1].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=(x−1)′ln⁡x+(x−1)(ln⁡x)′=f'(x) = (x - 1)'\ln x + (x - 1)(\ln x)' =
2
2 puncte
=ln⁡x+(x−1)⋅1x=1−1x+ln⁡x= \ln x + (x - 1) \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} + \ln x, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
f(1)=0f(1) = 0, f′(1)=0f'(1) = 0
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=0y = 0
c)5 puncte
5
3 puncte
x∈(0,1]⇒ln⁡x≤0x \in (0, 1] \Rightarrow \ln x \leq 0 și 1−1x≤01 - \frac{1}{x} \leq 0
6
2 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice număr real x∈(0,1]x \in (0, 1], deci ff este descrescătoare pe (0,1](0, 1]
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1+xx2+1−2x2+1f(x) = 1 + \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫01(x2+1)f(x) dx=−16\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1) f(x)\, dx = -\frac{1}{6}. b) Determinați primitiva FF a funcției ff pentru care F(0)=0F(0) = 0. c) Arătați că ∫12(f(x)+f(1x))dx=ln⁡52\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)\right) dx = \ln\frac{5}{2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫01(x2+1)f(x) dx=∫01(x2+1+x−2) dx=(x33+x22−x)∣01=\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1) f(x)\, dx = \int_0^1 (x^2 + 1 + x - 2)\, dx = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x\right)\bigg|_0^1 =
2
2 puncte
=13+12−1=−16= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{6}
b)5 puncte
3
3 puncte
F(x)=∫0xf(t) dt=∫0x(1+tt2+1−2t2+1)dt=(t+12ln⁡(t2+1)−2arctan⁡t)∣0x=F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, dt = \int_0^x \left(1 + \frac{t}{t^2 + 1} - \frac{2}{t^2 + 1}\right) dt = \left(t + \frac{1}{2}\ln(t^2 + 1) - 2\arctan t\right)\bigg|_0^x =
4
2 puncte
=x+12ln⁡(x2+1)−2arctan⁡x= x + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) - 2\arctan x, x∈Rx \in \mathbb{R}
c)5 puncte
5
2 puncte
f(x)+f(1x)=2xx2+1f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2x}{x^2 + 1}, pentru orice număr real xx, x≠0x \neq 0
6
3 puncte
∫12(f(x)+f(1x))dx=∫122xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)∣12=ln⁡5−ln⁡2=ln⁡52\displaystyle\int_1^2 \left(f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)\right) dx = \int_1^2 \frac{2x}{x^2 + 1}\, dx = \left.\ln(x^2 + 1)\right|_1^2 = \ln 5 - \ln 2 = \ln\frac{5}{2}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2020 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2020 — Matematică-Informatică (Varianta 1)

← Înapoi la arhiva completă Bac