BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2021 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați al treilea termen al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1}, știind că b1=2b_1 = 2 și b2=6b_2 = 6.

Rezolvare

1
3 puncte
q=3q = 3, unde qq este rația progresiei geometrice
2
2 puncte
b3=2⋅32=18b_3 = 2 \cdot 3^2 = 18
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+7f(x) = x + 7 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x−7g(x) = x - 7. Calculați (f∘g)(7)(f \circ g)(7).

Rezolvare

1
2 puncte
g(7)=0g(7) = 0
2
3 puncte
(f∘g)(7)=f(g(7))=f(0)=7(f \circ g)(7) = f(g(7)) = f(0) = 7
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1=x−2\sqrt{2x - 1} = x - 2.

Rezolvare

1
3 puncte
2x−1=(x−2)2⇔x2−6x+5=02x - 1 = (x - 2)^2 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 5 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1, care nu convine, x=5x = 5, care convine
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)>0n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) > 0.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de o cifră care verifică n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)>0n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) > 0 are 55 elemente, deci sunt 55 cazuri favorabile
3
1 punct
p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=510=12p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,1)A(1, 1), B(−1,0)B(-1, 0), C(3,5)C(3, 5) și D(5,6)D(5, 6). Demonstrați că punctele BB, DD și mijlocul segmentului ACAC sunt coliniare.

Rezolvare

1
3 puncte
Mijlocul segmentului ACAC este punctul M(2,3)M(2, 3) și mBM=1m_{BM} = 1
2
2 puncte
mBD=1m_{BD} = 1, deci mBD=mBMm_{BD} = m_{BM}, de unde obținem că punctele BB, DD și MM sunt coliniare
Exercițiul 6
Determinați x∈(0,π)x \in (0, \pi), știind că (sin⁡x−cos⁡x)2=2(\sin x - \cos x)^2 = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=2⇔1−sin⁡2x=2⇔sin⁡2x=−1\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 2 \Leftrightarrow 1 - \sin 2x = 2 \Leftrightarrow \sin 2x = -1
2
2 puncte
Cum x∈(0,π)x \in (0, \pi), obținem 2x=3π22x = \frac{3\pi}{2}, deci x=3π4x = \frac{3\pi}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(1+2a2a−2a1−2a)A(a) = \begin{pmatrix} 1 + 2^a & 2^a \\ -2^a & 1 - 2^a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Arătați că A(1)+A(2)−A(1)⋅A(2)=I2A(1) + A(2) - A(1) \cdot A(2) = I_2. c) Se consideră numerele naturale mm și nn, astfel încât A(m)⋅A(n)=A(m+n)A(m) \cdot A(n) = A(m + n). Arătați că m=n=1m = n = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
A(0)=(21−10)⇒det⁡(A(0))=∣21−10∣=2⋅0−1⋅(−1)=A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) =
2
2 puncte
=0+1=1= 0 + 1 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
A(1)=(32−2−1)A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}, A(2)=(54−4−3)A(2) = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}, A(1)⋅A(2)=(76−6−5)A(1) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}
4
2 puncte
A(1)+A(2)−A(1)⋅A(2)=(32−2−1)+(54−4−3)−(76−6−5)=(1001)=I2A(1) + A(2) - A(1) \cdot A(2) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2
c)5 puncte
5
2 puncte
A(m)⋅A(n)=(1+2m+2n2m+2n−2m−2n1−2m−2n)A(m) \cdot A(n) = \begin{pmatrix} 1 + 2^m + 2^n & 2^m + 2^n \\ -2^m - 2^n & 1 - 2^m - 2^n \end{pmatrix}, A(m+n)=(1+2m+n2m+n−2m+n1−2m+n)A(m + n) = \begin{pmatrix} 1 + 2^{m+n} & 2^{m+n} \\ -2^{m+n} & 1 - 2^{m+n} \end{pmatrix}, unde mm și nn sunt numere naturale
6
3 puncte
A(m)⋅A(n)=A(m+n)⇔2m+2n=2m+n⇔(2m−1)(2n−1)=1A(m) \cdot A(n) = A(m + n) \Leftrightarrow 2^m + 2^n = 2^{m+n} \Leftrightarrow (2^m - 1)(2^n - 1) = 1 și, cum mm și nn sunt numere naturale, obținem m=n=1m = n = 1
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+y2+x+yx * y = x^2 + y^2 + x + y. a) Arătați că (−1)∗(−1)=0(-1) * (-1) = 0. b) Demonstrați că x∗y=(x+12)2+(y+12)2−12x * y = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}, pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui xx pentru care x2∗x2≤4x^2 * x^2 \leq 4.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
(−1)∗(−1)=(−1)2+(−1)2+(−1)+(−1)=(-1) * (-1) = (-1)^2 + (-1)^2 + (-1) + (-1) =
2
2 puncte
=1+1−1−1=0= 1 + 1 - 1 - 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
x∗y=x2+x+14+y2+y+14−12=x * y = x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} =
4
2 puncte
=(x+12)2+(y+12)2−12= \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}, pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
x2∗x2≤4⇔2(x2+12)2−12≤4⇔(x2+12)2≤94x^2 * x^2 \leq 4 \Leftrightarrow 2\left(x^2 + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \leq 4 \Leftrightarrow \left(x^2 + \frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{9}{4}, de unde obținem x2+12≤32x^2 + \frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}
6
2 puncte
x∈[−1,1]x \in [-1, 1]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→Rf : (-2, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4x−12ln⁡(x+2)f(x) = x^2 + 4x - \frac{1}{2}\ln(x + 2). a) Arătați că f′(x)=(2x+3)(2x+5)2(x+2)f'(x) = \frac{(2x + 3)(2x + 5)}{2(x + 2)}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty). b) Calculați lim⁡x→+∞x2+4x−f(x)x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - f(x)}{x}. c) Demonstrați că x2+4x+154≥12ln⁡(2x+4)x^2 + 4x + \frac{15}{4} \geq \frac{1}{2}\ln(2x + 4), pentru orice x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=2x+4−12⋅1x+2=2(x+2)−12(x+2)=4(x+2)2−12(x+2)=f'(x) = 2x + 4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} = 2(x + 2) - \frac{1}{2(x + 2)} = \frac{4(x + 2)^2 - 1}{2(x + 2)} =
2
2 puncte
=(2(x+2)−1)(2(x+2)+1)2(x+2)=(2x+3)(2x+5)2(x+2)= \frac{(2(x + 2) - 1)(2(x + 2) + 1)}{2(x + 2)} = \frac{(2x + 3)(2x + 5)}{2(x + 2)}, x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞x2+4x−f(x)x=lim⁡x→+∞12ln⁡(x+2)x=lim⁡x→+∞ln⁡(x+2)2x=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 4x - f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2}\ln(x + 2)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 2)}{2x} =
4
3 puncte
=lim⁡x→+∞1x+22=0= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x + 2}}{2} = 0
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(−2,−32]⇒fx \in \left(-2, -\frac{3}{2}\right] \Rightarrow f este descrescătoare pe (−2,−32]\left(-2, -\frac{3}{2}\right] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[−32,+∞)⇒fx \in \left[-\frac{3}{2}, +\infty\right) \Rightarrow f este crescătoare pe [−32,+∞)\left[-\frac{3}{2}, +\infty\right), f(−32)=−154+12ln⁡2f\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{15}{4} + \frac{1}{2}\ln 2
6
2 puncte
Pentru orice x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty), f(x)≥f(−32)f(x) \geq f\left(-\frac{3}{2}\right), deci x2+4x−12ln⁡(x+2)≥−154+12ln⁡2x^2 + 4x - \frac{1}{2}\ln(x + 2) \geq -\frac{15}{4} + \frac{1}{2}\ln 2, de unde obținem x2+4x+154≥12ln⁡(2x+4)x^2 + 4x + \frac{15}{4} \geq \frac{1}{2}\ln(2x + 4), pentru orice x∈(−2,+∞)x \in (-2, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=1+2x2+1f(x) = 1 + \frac{2}{x^2 + 1}. a) Arătați că ∫03(x2+1)f(x) dx=18\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1) f(x)\, dx = 18. b) Arătați că ∫13xf(x) dx=4+ln⁡5\displaystyle\int_1^3 x f(x)\, dx = 4 + \ln 5. c) Demonstrați că F(x+1)≥F(x)+1F(x + 1) \geq F(x) + 1, pentru orice număr real xx, unde FF este o primitivă a lui ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫03(x2+1)f(x) dx=∫03(x2+1+2) dx=∫03(x2+3) dx=(x33+3x)∣03=\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1) f(x)\, dx = \int_0^3 (x^2 + 1 + 2)\, dx = \int_0^3 (x^2 + 3)\, dx = \left(\frac{x^3}{3} + 3x\right)\bigg|_0^3 =
2
2 puncte
=273+9=18= \frac{27}{3} + 9 = 18
b)5 puncte
3
3 puncte
∫13xf(x) dx=∫13(x+2xx2+1)dx=x22+ln⁡(x2+1)∣13=\displaystyle\int_1^3 x f(x)\, dx = \int_1^3 \left(x + \frac{2x}{x^2 + 1}\right) dx = \left.\frac{x^2}{2} + \ln(x^2 + 1)\right|_1^3 =
4
2 puncte
=9−12+ln⁡10−ln⁡2=4+ln⁡5= \frac{9 - 1}{2} + \ln 10 - \ln 2 = 4 + \ln 5
c)5 puncte
5
2 puncte
FF este o primitivă a funcției ff și ff este continuă, deci, pentru orice număr real xx, F(x+1)−F(x)=∫xx+1f(t) dtF(x + 1) - F(x) = \displaystyle\int_x^{x+1} f(t)\, dt
6
3 puncte
f(t)=1+2t2+1>1f(t) = 1 + \frac{2}{t^2 + 1} > 1, pentru orice număr real tt, deci ∫xx+1f(t) dt≥∫xx+11 dt=x+1−x=1\displaystyle\int_x^{x+1} f(t)\, dt \geq \int_x^{x+1} 1\, dt = x + 1 - x = 1, de unde obținem că F(x+1)≥F(x)+1F(x + 1) \geq F(x) + 1, pentru orice număr real xx

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2021 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2021 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac