BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2022 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 8−66+6(6−1)=28 - 6\sqrt{6} + 6\left(\sqrt{6} - 1\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
8−66+6(6−1)=8−66+66−6=8 - 6\sqrt{6} + 6\left(\sqrt{6} - 1\right) = 8 - 6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 6 =
2
2 puncte
=8−6=2= 8 - 6 = 2
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x+mf(x) = 3x + m, unde mm este număr real. Determinați numărul real mm pentru care (f∘f)(0)=4(f \circ f)(0) = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
f(0)=mf(0) = m, (f∘f)(0)=4m(f \circ f)(0) = 4m
2
2 puncte
4m=44m = 4, de unde obținem m=1m = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3⋅22x+4x=43 \cdot 2^{2x} + 4^x = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
3⋅4x+4x=43 \cdot 4^x + 4^x = 4, deci 4⋅4x=44 \cdot 4^x = 4
2
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului 66.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
Deoarece cifra zecilor poate fi 11, 22, 33 sau 66, în mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4⋅10=404 \cdot 10 = 40 de numere care au cifra zecilor divizor al numărului 66, deci sunt 4040 de cazuri favorabile, de unde obținem p=4090=49p = \dfrac{40}{90} = \dfrac{4}{9}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră dreapta dd de ecuație y=3x−2y = 3x - 2 și punctul A(a,a)A(a, a), unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că punctul AA aparține dreptei dd.

Rezolvare

1
3 puncte
a=3a−2a = 3a - 2
2
2 puncte
a=1a = 1
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul isoscel ABCABC, cu AB=10AB = 10 și cos⁡A=0\cos A = 0. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 5050.

Rezolvare

1
2 puncte
A=π2A = \dfrac{\pi}{2}
2
3 puncte
AC=AB⇒A△ABC=10⋅102=50AC = AB \Rightarrow \mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{10 \cdot 10}{2} = 50

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(1−xx201−2x001)A(x) = \begin{pmatrix} 1 & -x & x^2 \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=1\det(A(1)) = 1. b) Arătați că A(x)⋅A(y)=A(x+y)A(x) \cdot A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numărul natural nn pentru care A(n)⋅A(n+1)⋅A(n+2)⋅A(n+3)=A(2n2)A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3) = A(2n^2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(1)=(1−1101−2001)⇒det⁡(A(1))=∣1−1101−2001∣=A(1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=1+0+0−0−0−0=1= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
b)5 puncte
3
3 puncte
A(x)⋅A(y)=(1−y−xy2+2xy+x201−2y−2x001)=A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & -y - x & y^2 + 2xy + x^2 \\ 0 & 1 & -2y - 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=(1−(x+y)(x+y)201−2(x+y)001)=A(x+y)= \begin{pmatrix} 1 & -(x + y) & (x + y)^2 \\ 0 & 1 & -2(x + y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(x + y), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
A(n)⋅A(n+1)⋅A(n+2)⋅A(n+3)=A(4n+6)A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3) = A(4n + 6), pentru orice număr natural nn
6
2 puncte
4n+6=2n2⇔n2−2n−3=04n + 6 = 2n^2 \Leftrightarrow n^2 - 2n - 3 = 0 și, cum nn este număr natural, obținem n=3n = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea M=[0,+∞)M = [0, +\infty) se definește legea de compoziție x∗y=2xy+2+2yx+2x * y = \dfrac{2x}{y + 2} + \dfrac{2y}{x + 2}. a) Arătați că 1∗0=11 * 0 = 1. b) Arătați că e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*". c) Determinați x∈Mx \in M, xx nenul, pentru care x∗4x=xx * \dfrac{4}{x} = x.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∗0=2⋅10+2+2⋅01+2=1 * 0 = \dfrac{2 \cdot 1}{0 + 2} + \dfrac{2 \cdot 0}{1 + 2} =
2
2 puncte
=1+0=1= 1 + 0 = 1
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗0=2x0+2+2⋅0x+2=xx * 0 = \dfrac{2x}{0 + 2} + \dfrac{2 \cdot 0}{x + 2} = x, pentru orice x∈Mx \in M
4
3 puncte
0∗x=2⋅0x+2+2x0+2=x0 * x = \dfrac{2 \cdot 0}{x + 2} + \dfrac{2x}{0 + 2} = x, pentru orice x∈Mx \in M, deci e=0e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗*"
c)5 puncte
5
3 puncte
x∗4x=2x4x+2+8xx+2=x2x+2+8x(x+2)=x3+8x(x+2)x * \dfrac{4}{x} = \dfrac{2x}{\dfrac{4}{x} + 2} + \dfrac{\dfrac{8}{x}}{x + 2} = \dfrac{x^2}{x + 2} + \dfrac{8}{x(x + 2)} = \dfrac{x^3 + 8}{x(x + 2)}, pentru orice x∈Mx \in M, xx nenul
6
2 puncte
x3+8x(x+2)=x\dfrac{x^3 + 8}{x(x + 2)} = x și, cum x∈Mx \in M, xx nenul, obținem x=2x = 2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2+xex−xf(x) = 2 + \dfrac{x}{e^x - x}. a) Arătați că f′(x)=ex(1−x)(ex−x)2f'(x) = \dfrac{e^x(1 - x)}{\left(e^x - x\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Demonstrați că, pentru orice m∈(1,2]m \in (1, 2], ecuația f(x)=mf(x) = m are soluție unică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=ex−x−x(ex−1)(ex−x)2=f'(x) = \dfrac{e^x - x - x(e^x - 1)}{(e^x - x)^2} =
2
2 puncte
=ex−xex(ex−x)2=ex(1−x)(ex−x)2= \dfrac{e^x - xe^x}{(e^x - x)^2} = \dfrac{e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; pentru orice x∈(−∞,1]x \in (-\infty, 1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1]
4
2 puncte
Pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty)
c)5 puncte
5
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1, f(1)=2+1e−1f(1) = 2 + \dfrac{1}{e - 1}, lim⁡x→+∞f(x)=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2
6
2 puncte
Cum ff este continuă, ff este strict crescătoare pe (−∞,1](-\infty, 1] și ff este strict descrescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty), obținem că, pentru orice m∈(1,2]m \in (1, 2], ecuația f(x)=mf(x) = m are soluție unică
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3−x+x2+9f(x) = 3 - x + \sqrt{x^2 + 9}. a) Arătați că ∫15(f(x)−x2+9)dx=0\displaystyle\int_1^5 \left(f(x) - \sqrt{x^2 + 9}\right) dx = 0. b) Arătați că ∫04xf(x)+x−3 dx=2\displaystyle\int_0^4 \dfrac{x}{f(x) + x - 3}\, dx = 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul nn se consideră numărul In=∫01xnf(x) dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{f(x)}\, dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫15(f(x)−x2+9)dx=∫15(3−x) dx=(3x−x22)∣15=\displaystyle\int_1^5 \left(f(x) - \sqrt{x^2 + 9}\right) dx = \int_1^5 (3 - x)\, dx = \left.\left(3x - \dfrac{x^2}{2}\right)\right|_1^5 =
2
2 puncte
=15−252−3+12=0= 15 - \dfrac{25}{2} - 3 + \dfrac{1}{2} = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
∫04xf(x)+x−3 dx=∫04xx2+9 dx=∫04(x2+9)′2x2+9 dx=x2+9∣04=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{x}{f(x) + x - 3}\, dx = \int_0^4 \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\, dx = \int_0^4 \dfrac{(x^2 + 9)'}{2\sqrt{x^2 + 9}}\, dx = \left.\sqrt{x^2 + 9}\right|_0^4 =
4
2 puncte
=5−3=2= 5 - 3 = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
In=∫01xnf(x) dx=∫01xn3−x+x2+9 dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{f(x)}\, dx = \int_0^1 \dfrac{x^n}{3 - x + \sqrt{x^2 + 9}}\, dx, pentru orice număr natural nenul nn
6
3 puncte
0≤x≤1⇒3−x+x2+9≥3−x≥2⇒0≤xn3−x+x2+9≤xn20 \leq x \leq 1 \Rightarrow 3 - x + \sqrt{x^2 + 9} \geq 3 - x \geq 2 \Rightarrow 0 \leq \dfrac{x^n}{3 - x + \sqrt{x^2 + 9}} \leq \dfrac{x^n}{2}, deci 0≤In≤12(n+1)0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{2(n+1)}, pentru orice număr natural nenul nn și, cum lim⁡n→+∞12(n+1)=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2(n+1)} = 0, obținem lim⁡n→+∞In=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2022 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2022 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac