BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Simulare 2022 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Calculați termenul a1a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a3=6a_3 = 6 și a4=9a_4 = 9.

Rezolvare

1
2 puncte
r=a4−a3=3r = a_4 - a_3 = 3, unde rr este rația progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}.
2
3 puncte
a3=a1+2r⇒a1=6−2⋅3=0a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow a_1 = 6 - 2 \cdot 3 = 0.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−3f(x) = x^2 + 2x - 3 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x−3g(x) = x - 3. Determinați numerele reale aa pentru care f(a)=g(a)f(a) = g(a).

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=g(a)⇔a2+2a−3=a−3⇔a2+a=0f(a) = g(a) \Leftrightarrow a^2 + 2a - 3 = a - 3 \Leftrightarrow a^2 + a = 0.
2
2 puncte
a=−1a = -1 sau a=0a = 0.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x+3)=2\log_3(x + 3) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
x+3=32⇔x+3=9x + 3 = 3^2 \Leftrightarrow x + 3 = 9.
2
2 puncte
x=6x = 6, care convine.
Exercițiul 4
În urma unei scumpiri cu 30%30\%, prețul unui produs a crescut cu 6060 de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.

Rezolvare

1
3 puncte
30100⋅x=60\frac{30}{100} \cdot x = 60, unde xx este prețul înainte de scumpire, deci x=200x = 200 de lei.
2
2 puncte
După scumpire, prețul produsului este 200+60=260200 + 60 = 260 de lei.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(−4,1)A(-4, 1), B(2,3)B(2, 3) și dreapta dd de ecuație y=2x+ay = 2x + a, unde aa este număr real. Determinați numărul real aa, știind că mijlocul segmentului ABAB aparține dreptei dd.

Rezolvare

1
2 puncte
M(−1,2)M(-1, 2), unde MM este mijlocul segmentului ABAB.
2
3 puncte
2=2⋅(−1)+a2 = 2 \cdot (-1) + a, de unde obținem a=4a = 4.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, cu AB=ACAB = AC, BC=12BC = 12 și măsura unghiului BB egală cu 45°45°. Arătați că aria triunghiului ABCABC este egală cu 3636.

Rezolvare

1
3 puncte
Triunghiul ABCABC este dreptunghic isoscel, de unde obținem AB=AC=62AB = AC = 6\sqrt{2}.
2
2 puncte
A△ABC=AB⋅AC2=62⋅622=36\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}}{2} = 36.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(xx12x+1)A(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x + 1 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=0\det(A(0)) = 0. b) Determinați numărul real aa pentru care 2A(4)+A(−2)=aA(2)2A(4) + A(-2) = aA(2). c) Arătați că, dacă X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât X⋅A(1)=A(m)X \cdot A(1) = A(m), unde mm este număr întreg, atunci matricea XX are toate elementele numere întregi.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) A(0)=(0011)⇒det⁡(A(0))=∣0011∣A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}.
2
2 puncte
=0⋅1−0⋅1=0= 0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) 2A(4)+A(−2)=2(4419)+(−2−21−3)=(66315)2A(4) + A(-2) = 2\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 3 & 15 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
=3(2215)=3A(2)= 3\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = 3A(2), de unde obținem a=3a = 3.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) A(1)=(1113)⇒det⁡(A(1))=2A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = 2 și (A(1))−1=(32−12−1212)(A(1))^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
6
3 puncte
A(m)=(mm12m+1)A(m) = \begin{pmatrix} m & m \\ 1 & 2m+1 \end{pmatrix} și, cum X=A(m)⋅(A(1))−1X = A(m) \cdot (A(1))^{-1}, obținem X=(m0−m+1m)X = \begin{pmatrix} m & 0 \\ -m+1 & m \end{pmatrix}, unde mm este număr întreg, deci matricea XX are toate elementele numere întregi.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1x * y = (x + y)(x - 1)(y - 1) + 1. a) Arătați că 2∗1=12 * 1 = 1. b) Arătați că legea de compoziție ‘∗*" este comutativă. c) Determinați numerele naturale nn pentru care n∗(1−n)≥n2n * (1 - n) \geq n^2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) 2∗1=(2+1)(2−1)(1−1)+12 * 1 = (2 + 1)(2 - 1)(1 - 1) + 1.
2
2 puncte
=3⋅1⋅0+1=1= 3 \cdot 1 \cdot 0 + 1 = 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) x∗y=(x+y)(x−1)(y−1)+1x * y = (x + y)(x - 1)(y - 1) + 1.
4
3 puncte
=(y+x)(y−1)(x−1)+1=y∗x= (y + x)(y - 1)(x - 1) + 1 = y * x, pentru orice numere reale xx și yy, deci legea de compoziție ‘∗*" este comutativă.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) n∗(1−n)=−n2+n+1n * (1 - n) = -n^2 + n + 1, pentru orice număr natural nn.
6
3 puncte
−n2+n+1≥n2⇔2n2−n−1≤0-n^2 + n + 1 \geq n^2 \Leftrightarrow 2n^2 - n - 1 \leq 0 și, cum nn este număr natural, obținem n=0n = 0 sau n=1n = 1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+3x2+ln⁡xf(x) = \frac{x + 3}{x^2} + \ln x. a) Arătați că f′(x)=x2−x−6x3f'(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că ln⁡x3≥23−1x−3x2\ln\frac{x}{3} \geq \frac{2}{3} - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) f′(x)=x2−(x+3)⋅2xx4+1xf'(x) = \frac{x^2 - (x + 3) \cdot 2x}{x^4} + \frac{1}{x}.
2
2 puncte
=−x−6x3+1x=x2−x−6x3= \frac{-x - 6}{x^3} + \frac{1}{x} = \frac{x^2 - x - 6}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) f(1)=4f(1) = 4, f′(1)=−6f'(1) = -6.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=−6x+10y = -6x + 10.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇒x=3f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(0,3]⇒fx \in (0, 3] \Rightarrow f este descrescătoare pe (0,3](0, 3], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[3,+∞)⇒fx \in [3, +\infty) \Rightarrow f este crescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty), deci f(x)≥f(3)f(x) \geq f(3), pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
6
2 puncte
x+3x2+ln⁡x≥23+ln⁡3⇒ln⁡x3≥23−1x−3x2\frac{x + 3}{x^2} + \ln x \geq \frac{2}{3} + \ln 3 \Rightarrow \ln\frac{x}{3} \geq \frac{2}{3} - \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+ex2+1f(x) = x + \frac{e^x}{2} + 1. a) Arătați că ∫02(f(x)−ex2)dx=4\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \frac{e^x}{2}\right) dx = 4. b) Arătați că ∫012x(f(x)−1) dx=53\displaystyle\int_0^1 2x(f(x) - 1) \, dx = \frac{5}{3}. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫−10(f(x)−x)⋅f(x) dx=(3e+1)(3e+a)8e2\displaystyle\int_{-1}^{0} (f(x) - x) \cdot f(x) \, dx = \frac{(3e + 1)(3e + a)}{8e^2}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) ∫02(f(x)−ex2)dx=∫02(x+1) dx=(x22+x)∣02\displaystyle\int_0^2 \left(f(x) - \frac{e^x}{2}\right) dx = \int_0^2 (x + 1) \, dx = \left.\left(\frac{x^2}{2} + x\right)\right|_0^2.
2
2 puncte
=222+2=4= \frac{2^2}{2} + 2 = 4.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) ∫012x(f(x)−1) dx=∫01(2x2+xex) dx=2x33∣01+(x−1)ex∣01\displaystyle\int_0^1 2x(f(x) - 1) \, dx = \int_0^1 (2x^2 + xe^x) \, dx = \left.\frac{2x^3}{3}\right|_0^1 + \left.(x - 1)e^x\right|_0^1.
4
2 puncte
=23+1=53= \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Cum f′(x)=1+ex2=f(x)−xf'(x) = 1 + \frac{e^x}{2} = f(x) - x, x∈Rx \in \mathbb{R}, obținem ∫−10(f(x)−x)⋅f(x) dx=∫−10f′(x)⋅f(x) dx=f2(x)2∣−10=9e2−18e2\displaystyle\int_{-1}^{0} (f(x) - x) \cdot f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} f'(x) \cdot f(x) \, dx = \left.\frac{f^2(x)}{2}\right|_{-1}^{0} = \frac{9e^2 - 1}{8e^2}.
6
2 puncte
9e2−18e2=(3e+1)(3e+a)8e2\frac{9e^2 - 1}{8e^2} = \frac{(3e + 1)(3e + a)}{8e^2}, de unde obținem a=−1a = -1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2022 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară 2022 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac