BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2022 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a1a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, știind că a2=6a_2 = 6 și a3=12a_3 = 12.

Rezolvare

1
2 puncte
r=a3−a2=6r = a_3 - a_2 = 6, unde rr este rația progresiei aritmetice
2
3 puncte
a1=a2−r=6−6=0a_1 = a_2 - r = 6 - 6 = 0
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−5f(x) = x - 5. Determinați numărul real aa pentru care f(a)+f(2a)=2f(a) + f(2a) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
a−5+2a−5=2a - 5 + 2a - 5 = 2, de unde obținem 3a=123a = 12
2
2 puncte
a=4a = 4
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5x⋅15=255^x \cdot \frac{1}{5} = 25.

Rezolvare

1
3 puncte
5x−1=525^{x-1} = 5^2, deci x−1=2x - 1 = 2
2
2 puncte
x=3x = 3
Exercițiul 4
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 1616.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 66 numere care sunt multipli de 1616, deci sunt 66 cazuri favorabile, de unde obținem p=690=115p = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,2)A(3, 2) și B(1,4)B(1, 4). Determinați coordonatele punctului CC, astfel încât punctul AA este mijlocul segmentului BCBC.

Rezolvare

1
3 puncte
A(1+xC2,4+yC2)A\left(\frac{1 + x_C}{2}, \frac{4 + y_C}{2}\right), de unde obținem xC=5x_C = 5
2
2 puncte
yC=0y_C = 0
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=sin⁡x+sin⁡3x2−cos⁡x2E(x) = \sin x + \sin\frac{3x}{2} - \cos\frac{x}{2}, unde xx este număr real. Arătați că E(π3)=1E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}
2
2 puncte
E(π3)=32+1−32=1E\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1−1−11)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B(x)=(x3−x2−xx)B(x) = \begin{pmatrix} x & 3 - x \\ 2 - x & x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡A=0\det A = 0. b) Arătați că B(x)−B(0)=xAB(x) - B(0) = xA, pentru orice număr real xx. c) Arătați că matricea C(a)=B(a)⋅B(1)−B(a+1)C(a) = B(a) \cdot B(1) - B(a + 1) este inversabilă, pentru orice număr întreg aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
det⁡A=∣1−1−11∣=1⋅1−(−1)⋅(−1)=\det A = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) =
2
2 puncte
=1−1=0= 1 - 1 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
B(0)=(0320)B(0) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, deci B(x)−B(0)=(x−x−xx)=B(x) - B(0) = \begin{pmatrix} x & -x \\ -x & x \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=x(1−1−11)=xA= x\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = xA, pentru orice număr real xx
c)5 puncte
5
3 puncte
C(a)=(a3−a2−aa)(1211)−(a+12−a1−aa+1)=(2−a2a+1a+13−2a)C(a) = \begin{pmatrix} a & 3 - a \\ 2 - a & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a + 1 & 2 - a \\ 1 - a & a + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - a & 2a + 1 \\ a + 1 & 3 - 2a \end{pmatrix}, deci det⁡(C(a))=−10a+5\det(C(a)) = -10a + 5, pentru orice număr întreg aa
6
2 puncte
−10a+5=0⇒a=12∉Z-10a + 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}, deci matricea C(a)C(a) este inversabilă, pentru orice număr întreg aa
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−1)(2y−1)+1x * y = (2x - 1)(2y - 1) + 1. a) Arătați că 1∗2=41 * 2 = 4. b) Determinați numerele reale xx pentru care x∗x=2x * x = 2. c) Determinați numărul întreg nenul mm pentru care m∗(1+1m)=1m * \left(1 + \frac{1}{m}\right) = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
1∗2=(2⋅1−1)(2⋅2−1)+1=1 * 2 = (2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 2 - 1) + 1 =
2
2 puncte
=1⋅3+1=4= 1 \cdot 3 + 1 = 4
b)5 puncte
3
2 puncte
x∗x=4x2−4x+2x * x = 4x^2 - 4x + 2, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
4x2−4x+2=2⇒4x2−4x=04x^2 - 4x + 2 = 2 \Rightarrow 4x^2 - 4x = 0, de unde obținem x=0x = 0 sau x=1x = 1
c)5 puncte
5
2 puncte
m∗(1+1m)=(2m−1)(1+2m)+1m * \left(1 + \frac{1}{m}\right) = (2m - 1)\left(1 + \frac{2}{m}\right) + 1, pentru orice număr întreg nenul mm
6
3 puncte
(2m−1)(1+2m)=0(2m - 1)\left(1 + \frac{2}{m}\right) = 0 și, cum mm este număr întreg nenul, obținem m=−2m = -2

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x2+1+ln⁡xf(x) = 2x^2 + 1 + \ln x. a) Arătați că f′(x)=4x2+1xf'(x) = \frac{4x^2 + 1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Arătați că lim⁡x→+∞f(x)−ln⁡xx2+x+4=2\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - \ln x}{x^2 + x + 4} = 2. c) Demonstrați că funcția ff este bijectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
f′(x)=(2x2)′+1′+(ln⁡x)′=f'(x) = (2x^2)' + 1' + (\ln x)' =
2
3 puncte
=4x+1x=4x2+1x= 4x + \frac{1}{x} = \frac{4x^2 + 1}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
3 puncte
lim⁡x→+∞f(x)−ln⁡xx2+x+4=lim⁡x→+∞2x2+1x2+x+4=lim⁡x→+∞x2(2+1x2)x2(1+1x+4x2)=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) - \ln x}{x^2 + x + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 + x + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(2 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}\right)} =
4
2 puncte
=lim⁡x→+∞2+1x21+1x+4x2=2= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} = 2
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)>0f'(x) > 0, pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci ff este strict crescătoare, deci ff este injectivă
6
3 puncte
ff este continuă, lim⁡x→0f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, deci ff este surjectivă, de unde obținem că ff este bijectivă
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x(ex+2x2)f(x) = x(e^x + 2x^2). a) Arătați că ∫04f(x)ex+2x2 dx=8\displaystyle\int_0^4 \frac{f(x)}{e^x + 2x^2}\, dx = 8. b) Arătați că ∫01(f(x)−2x3) dx=1\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 2x^3)\, dx = 1. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫121x⋅f(x2) dx=e4−e2+a\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x} \cdot f(x^2)\, dx = \frac{e^4 - e}{2} + a.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫04f(x)ex+2x2 dx=∫04x dx=x22∣04=\displaystyle\int_0^4 \frac{f(x)}{e^x + 2x^2}\, dx = \int_0^4 x\, dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^4 =
2
2 puncte
=162−0=8= \frac{16}{2} - 0 = 8
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01(f(x)−2x3) dx=∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx=e−ex∣01=\displaystyle\int_0^1 (f(x) - 2x^3)\, dx = \int_0^1 xe^x\, dx = \left.xe^x\right|_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx = e - \left.e^x\right|_0^1 =
4
2 puncte
=e−e+1=1= e - e + 1 = 1
c)5 puncte
5
3 puncte
∫121x⋅f(x2) dx=∫121x⋅x2(ex2+2x4) dx=12∫12(x2)′ex2 dx+∫122x5 dx=12ex2∣12+x63∣12=e4−e2+21\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x} \cdot f(x^2)\, dx = \int_1^2 \frac{1}{x} \cdot x^2(e^{x^2} + 2x^4)\, dx = \frac{1}{2}\int_1^2 (x^2)' e^{x^2}\, dx + \int_1^2 2x^5\, dx = \frac{1}{2}\left.e^{x^2}\right|_1^2 + \left.\frac{x^6}{3}\right|_1^2 = \frac{e^4 - e}{2} + 21
6
2 puncte
e4−e2+21=e4−e2+a\frac{e^4 - e}{2} + 21 = \frac{e^4 - e}{2} + a, de unde obținem a=21a = 21

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2022 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2022 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac