BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2023 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numărul complex z=3+iz = 3 + i. Arătați că z(z−2i)=10z(z - 2i) = 10.

Rezolvare

1
3 puncte
z(z−2i)=(3+i)(3+i−2i)=(3+i)(3−i)=32−i2=z(z - 2i) = (3 + i)(3 + i - 2i) = (3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2 =
2
2 puncte
=9+1=10= 9 + 1 = 10
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5x+1f(x) = 5x + 1. Arătați că f(2x)−2f(x)=−1f(2x) - 2f(x) = -1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

1
2 puncte
f(2x)=10x+1f(2x) = 10x + 1, pentru orice număr real xx
2
3 puncte
f(2x)−2f(x)=10x+1−2(5x+1)=10x+1−10x−2=−1f(2x) - 2f(x) = 10x + 1 - 2(5x + 1) = 10x + 1 - 10x - 2 = -1, pentru orice număr real xx
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x3−2x+23=x\sqrt[3]{x^3 - 2x + 2} = x.

Rezolvare

1
3 puncte
x3−2x+2=x3x^3 - 2x + 2 = x^3, deci −2x+2=0-2x + 2 = 0
2
2 puncte
x=1x = 1
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea AA, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea AA, numărul n+5n + 5 să fie multiplu de 1010.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea AA sunt 99 numere nn pentru care n+5n + 5 este multiplu de 1010, deci sunt 99 cazuri favorabile, de unde obținem p=990=110p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,0)A(4, 0) și B(5,4)B(5, 4). Determinați ecuația dreptei dd care trece prin punctul OO și este paralelă cu dreapta ABAB.

Rezolvare

1
3 puncte
mAB=4m_{AB} = 4 și, cum d∥ABd \parallel AB, obținem md=4m_d = 4
2
2 puncte
Ecuația dreptei este y−0=4(x−0)y - 0 = 4(x - 0), adică y=4xy = 4x
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul isoscel ABCABC, dreptunghic în AA, cu aria egală cu 44. Arătați că BC=4BC = 4.

Rezolvare

1
3 puncte
AD=BC2AD = \frac{BC}{2}, unde ADAD este înălțime în triunghiul ABCABC
2
2 puncte
A△ABC=AD⋅BC2=4\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AD \cdot BC}{2} = 4, de unde obținem BC=4BC = 4

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(a)=(2121−1aaa+1−2)A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \\ a & a+1 & -2 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+y+2z=2x−y+az=4ax+(a+1)y−2z=a\begin{cases} 2x + y + 2z = 2 \\ x - y + az = 4 \\ ax + (a+1)y - 2z = a \end{cases}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=8\det(A(0)) = 8. b) Determinați mulțimea numerelor reale aa pentru care matricea A(a)A(a) este inversabilă. c) Pentru a=−2a = -2, arătați că x0z0+y0=−2x_0z_0 + y_0 = -2, pentru orice soluție (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului de ecuații.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(0)=(2121−1001−2)A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=∣2121−1001−2∣=\det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=4+2+0−0−0+2=8= 4 + 2 + 0 - 0 - 0 + 2 = 8
b)5 puncte
3
2 puncte
det⁡(A(a))=∣2121−1aaa+1−2∣=−a2+2a+8\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \\ a & a+1 & -2 \end{vmatrix} = -a^2 + 2a + 8, pentru orice număr real aa
4
3 puncte
det⁡(A(a))=0⇔a=−2\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -2 sau a=4a = 4, deci matricea A(a)A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a∈R∖{−2,4}a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}
c)5 puncte
5
3 puncte
Pentru a=−2a = -2, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (2,−2−2α,α)(2, -2 - 2\alpha, \alpha), cu α∈R\alpha \in \mathbb{R}
6
2 puncte
x0z0+y0=2α−2−2α=−2x_0z_0 + y_0 = 2\alpha - 2 - 2\alpha = -2, pentru orice soluție (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) a sistemului de ecuații
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+(2x−2)(2y−2)x \circ y = xy + (2^x - 2)(2^y - 2). a) Arătați că 2∘3=182 \circ 3 = 18. b) Arătați că e=1e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ". c) Demonstrați că x∘(−x)≤1x \circ (-x) \leq 1, pentru orice număr real xx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
2∘3=2⋅3+(22−2)(23−2)=2 \circ 3 = 2 \cdot 3 + (2^2 - 2)(2^3 - 2) =
2
2 puncte
=6+12=18= 6 + 12 = 18
b)5 puncte
3
2 puncte
x∘1=x⋅1+(2x−2)(21−2)=x+0=xx \circ 1 = x \cdot 1 + (2^x - 2)(2^1 - 2) = x + 0 = x, pentru orice număr real xx
4
3 puncte
1∘x=1⋅x+(21−2)(2x−2)=x+0=x1 \circ x = 1 \cdot x + (2^1 - 2)(2^x - 2) = x + 0 = x, pentru orice număr real xx, deci e=1e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\circ"
c)5 puncte
5
2 puncte
x∘(−x)=−x2+1−2⋅2x−2⋅2−x+4=x \circ (-x) = -x^2 + 1 - 2 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^{-x} + 4 =
6
3 puncte
=−x2+1−2(2x−2+12x)=1−x2−2(2x−12x)2≤1= -x^2 + 1 - 2\left(2^x - 2 + \frac{1}{2^x}\right) = 1 - x^2 - 2\left(\sqrt{2^x} - \frac{1}{\sqrt{2^x}}\right)^2 \leq 1, pentru orice număr real xx

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(1,+∞)→Rf : (1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+3ln⁡x+3x−1f(x) = x + 3\ln\frac{x + 3}{x - 1}. a) Arătați că f′(x)=x2+2x−15(x−1)(x+3)f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 15}{(x - 1)(x + 3)}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că ln⁡x+33(x−1)≥1−x3\ln\frac{x + 3}{3(x - 1)} \geq 1 - \frac{x}{3}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=1+3(ln⁡(x+3)−ln⁡(x−1))′=1+3x+3−3x−1=f'(x) = 1 + 3(\ln(x + 3) - \ln(x - 1))' = 1 + \frac{3}{x + 3} - \frac{3}{x - 1} =
2
2 puncte
=x2+2x−3+3x−3−3x−9(x+3)(x−1)=x2+2x−15(x+3)(x−1)= \frac{x^2 + 2x - 3 + 3x - 3 - 3x - 9}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{x^2 + 2x - 15}{(x + 3)(x - 1)}, x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(1+3xln⁡x+3x−1)=1\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{x}\ln\frac{x + 3}{x - 1}\right) = 1
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞3ln⁡x+3x−1=0\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} 3\ln\frac{x + 3}{x - 1} = 0, deci dreapta de ecuație y=xy = x este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
3 puncte
f′(x)=0⇒x=3f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3; f′(x)≤0f'(x) \leq 0, pentru orice x∈(1,3]x \in (1, 3], deci ff este descrescătoare pe (1,3](1, 3] și f′(x)≥0f'(x) \geq 0, pentru orice x∈[3,+∞)x \in [3, +\infty), deci ff este crescătoare pe [3,+∞)[3, +\infty), deci f(x)≥f(3)f(x) \geq f(3), pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
6
2 puncte
f(3)=3+3ln⁡3f(3) = 3 + 3\ln 3, deci x+3ln⁡x+3x−1≥3+3ln⁡3x + 3\ln\frac{x + 3}{x - 1} \geq 3 + 3\ln 3, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), de unde obținem ln⁡x+33(x−1)≥1−x3\ln\frac{x + 3}{3(x - 1)} \geq 1 - \frac{x}{3}, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(x2+2x)e−xf(x) = (x^2 + 2x)e^{-x}. a) Arătați că ∫03f(x)ex dx=18\displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\, dx = 18. b) Arătați că ∫01f(x)x+2 dx=e−2e\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x + 2}\, dx = \frac{e - 2}{e}. c) Demonstrați că lim⁡x→01x2∫0xf(t) dt=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x f(t)\, dt = 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫03f(x)ex dx=∫03(x2+2x) dx=(x33+x2)∣03=\displaystyle\int_0^3 f(x)e^x\, dx = \int_0^3 (x^2 + 2x)\, dx = \left.\left(\frac{x^3}{3} + x^2\right)\right|_0^3 =
2
2 puncte
=273+9=18= \frac{27}{3} + 9 = 18
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01f(x)x+2 dx=∫01x(−e−x)′ dx=x(−e−x)∣01−(−e−x)∣01=\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x + 2}\, dx = \int_0^1 x(-e^{-x})'\, dx = \left.x(-e^{-x})\right|_0^1 - \left.(-e^{-x})\right|_0^1 =
4
2 puncte
=−1e−1e+1=e−2e= -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 = \frac{e - 2}{e}
c)5 puncte
5
2 puncte
lim⁡x→01x2∫0xf(t) dt=lim⁡x→0(∫0xf(t) dt)′(x2)′=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x f(t)\, dt = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\int_0^x f(t)\, dt\right)'}{(x^2)'} =
6
3 puncte
=lim⁡x→0f(x)2x=lim⁡x→0(x+2)e−x2=1= \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)e^{-x}}{2} = 1

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2023 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2023 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac