BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2023 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 4−63+3(23−1)=14 - 6\sqrt{3} + 3\left(2\sqrt{3} - 1\right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 4−63+3(23−1)=4−63+63−3=4 - 6\sqrt{3} + 3\left(2\sqrt{3} - 1\right) = 4 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 3 =
2
2 puncte
=4−3=1= 4 - 3 = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5x−3f(x) = 5x - 3 și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=g(a)f(a) = g(a).

Rezolvare

1
3 puncte
Se obține ecuația 5a−3=2a+35a - 3 = 2a + 3.
2
2 puncte
Se calculează a=2a = 2.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 22x+1⋅23=12^{2x+1} \cdot 2^3 = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se obține 22x+4=202^{2x+4} = 2^0, de unde 2x+4=02x + 4 = 0.
2
2 puncte
Se calculează x=−2x = -2.
Exercițiul 4
Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A={3,4,5,6}A = \{3, 4, 5, 6\}.

Rezolvare

1
2 puncte
Cifra zecilor se poate alege în 44 moduri.
2
3 puncte
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 33 moduri, deci sunt 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 numere.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(4,0)A(4, 0), B(0,2)B(0, 2), C(3,3)C(3, 3) și MM, mijlocul segmentului ABAB. Arătați că segmentele MOMO și MCMC au lungimile egale.

Rezolvare

1
3 puncte
Se determină M(2,1)M(2, 1), de unde se obține MO=5MO = \sqrt{5}.
2
2 puncte
Se calculează MC=5MC = \sqrt{5}, deci MO=MCMO = MC.
Exercițiul 6
Se consideră E(x)=2sin⁡xsin⁡2x−cos⁡xE(x) = 2\sin x \sin 2x - \cos x, unde xx este număr real. Arătați că E(π6)=0E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
Se obține E(π6)=2⋅12⋅32−32=0E\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(a)=(3+a2−2a1−a1+3a)A(a) = \begin{pmatrix} 3 + a & 2 - 2a \\ 1 - a & 1 + 3a \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(A(0))=1\det(A(0)) = 1. b) Arătați că A(0)⋅(A(a)−A(0))=aI2A(0) \cdot (A(a) - A(0)) = aI_2, pentru orice număr real aa. c) Demonstrați că det⁡(A(a2)−aA(a))≥0\det\left(A(a^2) - aA(a)\right) \geq 0, pentru orice număr real aa.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează A(0)=(3211)A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(0))=3⋅1−2⋅1=\det(A(0)) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 =
2
2 puncte
=3−2=1= 3 - 2 = 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează A(a)−A(0)=(a−2a−a3a)A(a) - A(0) = \begin{pmatrix} a & -2a \\ -a & 3a \end{pmatrix}.
4
3 puncte
Se obține A(0)⋅(A(a)−A(0))=(a00a)=aI2A(0) \cdot (A(a) - A(0)) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = aI_2, pentru orice număr real aa.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se calculează A(a2)=(3+a22−2a21−a21+3a2)A(a^2) = \begin{pmatrix} 3 + a^2 & 2 - 2a^2 \\ 1 - a^2 & 1 + 3a^2 \end{pmatrix}, deci A(a2)−aA(a)=(3−3a2−2a1−a1−a)A(a^2) - aA(a) = \begin{pmatrix} 3 - 3a & 2 - 2a \\ 1 - a & 1 - a \end{pmatrix}.
6
3 puncte
Se calculează det⁡(A(a2)−aA(a))=3(1−a)2−2(1−a)2=(1−a)2≥0\det(A(a^2) - aA(a)) = 3(1 - a)^2 - 2(1 - a)^2 = (1 - a)^2 \geq 0, pentru orice număr real aa.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x2−4xy+3y2x \circ y = x^2 - 4xy + 3y^2. a) Arătați că 0∘2=120 \circ 2 = 12. b) Determinați numerele reale xx pentru care (2x)∘x=−1(2x) \circ x = -1. c) Determinați perechile (m,n)(m, n) de numere întregi, cu m<nm < n, pentru care m∘n=3m \circ n = 3.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează 0∘2=02−4⋅0⋅2+3⋅22=0 \circ 2 = 0^2 - 4 \cdot 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 =
2
2 puncte
=0−0+12=12= 0 - 0 + 12 = 12.
b)5 puncte
3
2 puncte
Se calculează (2x)∘x=4x2−8x2+3x2=−x2(2x) \circ x = 4x^2 - 8x^2 + 3x^2 = -x^2, pentru orice număr real xx.
4
3 puncte
Se obține −x2=−1-x^2 = -1, de unde x=−1x = -1 sau x=1x = 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se calculează m∘n=m2−mn−3mn+3n2=(m−n)(m−3n)m \circ n = m^2 - mn - 3mn + 3n^2 = (m - n)(m - 3n), pentru orice numere întregi mm și nn.
6
3 puncte
Se obține (m−n)(m−3n)=3(m - n)(m - 3n) = 3 și, cum mm și nn sunt numere întregi cu m<nm < n, se obțin perechile (−4,−1)(-4, -1) și (0,1)(0, 1).

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=5+4x−4x2f(x) = 5 + \dfrac{4x - 4}{x^2}. a) Arătați că f′(x)=4(2−x)x3f'(x) = \dfrac{4(2 - x)}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că ∣f(x)−f(y)∣≤1|f(x) - f(y)| \leq 1, pentru orice x,y∈[1,+∞)x, y \in [1, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se derivează f′(x)=4x2−(4x−4)⋅2xx4=f'(x) = \dfrac{4x^2 - (4x - 4) \cdot 2x}{x^4} =
2
2 puncte
=4x(2−x)x4=4(2−x)x3= \dfrac{4x(2 - x)}{x^4} = \dfrac{4(2 - x)}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(5+4x−4x2)=5\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(5 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{4}{x^2}\right) = 5.
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=5y = 5 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se observă că f′(x)=0⇔x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2; pentru x∈[1,2]x \in [1, 2], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,2][1, 2], iar pentru x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty).
6
3 puncte
Se calculează f(1)=5f(1) = 5, f(2)=6f(2) = 6 și lim⁡x→+∞f(x)=5\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5, deci 5≤f(x)≤65 \leq f(x) \leq 6 pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), de unde ∣f(x)−f(y)∣≤1|f(x) - f(y)| \leq 1 pentru orice x,y∈[1,+∞)x, y \in [1, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=3x2+4ln⁡xf(x) = 3x^2 + 4\ln x. a) Arătați că ∫12(f(x)−4ln⁡x) dx=7\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 4\ln x) \, dx = 7. b) Arătați că ∫1ex(f(x)−3x2)dx=e2+1\displaystyle\int_1^e x\left(f(x) - 3x^2\right) dx = e^2 + 1. c) Demonstrați că ∫1ef(x)F′′(x) dx=(3e−1)(3e+5)2\displaystyle\int_1^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) \, dx = \dfrac{(3e - 1)(3e + 5)}{2}, pentru orice primitivă F:(0,+∞)→RF : (0, +\infty) \to \mathbb{R} a funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Se calculează ∫12(f(x)−4ln⁡x) dx=∫123x2 dx=x3∣12=\displaystyle\int_1^2 (f(x) - 4\ln x) \, dx = \int_1^2 3x^2 \, dx = x^3 \Big|_1^2 =
2
2 puncte
=8−1=7= 8 - 1 = 7.
b)5 puncte
3
3 puncte
Se calculează ∫1ex(f(x)−3x2) dx=∫1e4xln⁡x dx=∫1e(2x2)′ln⁡x dx=2x2ln⁡x∣1e−x2∣1e=\displaystyle\int_1^e x(f(x) - 3x^2) \, dx = \int_1^e 4x \ln x \, dx = \int_1^e (2x^2)' \ln x \, dx = 2x^2 \ln x \Big|_1^e - x^2 \Big|_1^e =
4
2 puncte
=2e2−0−e2+1=e2+1= 2e^2 - 0 - e^2 + 1 = e^2 + 1.
c)5 puncte
5
2 puncte
Se observă că F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), deci F′′(x)=f′(x)F''(x) = f'(x), x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
6
3 puncte
Se calculează ∫1ef(x)F′′(x) dx=∫1ef(x)f′(x) dx=f2(x)2∣1e=(3e+2)2−322=(3e−1)(3e+5)2\displaystyle\int_1^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) \, dx = \int_1^{\sqrt{e}} f(x) f'(x) \, dx = \dfrac{f^2(x)}{2} \Big|_1^{\sqrt{e}} = \dfrac{(3e + 2)^2 - 3^2}{2} = \dfrac{(3e - 1)(3e + 5)}{2}.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2023 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2023 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac