BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2024 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=52\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5.

Rezolvare

1
3 puncte
2lg⁡100+lg⁡2+lg⁡5=2⋅2+lg⁡10=2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 2 \cdot 2 + \lg 10 =
2
2 puncte
=4+1=5= 4 + 1 = 5
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−6f(x) = x - 6. Determinați numărul real aa pentru care f(a)+f(3a)=0f(a) + f(3a) = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=a−6f(a) = a - 6, f(3a)=3a−6f(3a) = 3a - 6
2
2 puncte
a−6+3a−6=0a - 6 + 3a - 6 = 0, de unde obținem a=3a = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 53x⋅52=5x5^{3x} \cdot 5^2 = 5^x.

Rezolvare

1
3 puncte
53x+2=5x5^{3x+2} = 5^x, de unde obținem 3x+2=x3x + 2 = x
2
2 puncte
x=−1x = -1
Exercițiul 4
Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea A={1,2,4,6,8,9}A = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}.

Rezolvare

1
2 puncte
În mulțimea AA sunt 44 numere pare
2
3 puncte
Sunt C42=4!2!⋅2!=6C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 submulțimi cu două elemente, ambele numere pare
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(3,1)A(3, 1) și B(3,0)B(3, 0). Determinați coordonatele punctului CC pentru care AC→=OB→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB}.

Rezolvare

1
3 puncte
AC→=(xC−3)i⃗+(yC−1)j⃗\overrightarrow{AC} = (x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j}, OB→=3i⃗\overrightarrow{OB} = 3\vec{i}
2
2 puncte
(xC−3)i⃗+(yC−1)j⃗=3i⃗(x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j} = 3\vec{i}, de unde obținem xC=6x_C = 6 și yC=1y_C = 1
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu aria egală cu 1818 și B=π4B = \frac{\pi}{4}. Arătați că AB=6AB = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
AB=ACAB = AC
2
3 puncte
AB⋅AB2=18\frac{AB \cdot AB}{2} = 18, deci AB2=36AB^2 = 36, de unde obținem AB=6AB = 6

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea M(x)=(x000x+2x02xx+2)M(x) = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(M(1))=7\det(M(1)) = 7. b) Determinați numărul real xx pentru care M(x)⋅M(2)=M(x−1)M(x) \cdot M(2) = M(x - 1). c) Determinați numerele naturale nn pentru care 2det⁡(M(n))≤det⁡(M(2n))2\det(M(n)) \leq \det(M(2n)).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
M(1)=(100031023)M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(M(1))=∣100031023∣=\det(M(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=9+0+0−0−0−2=7= 9 + 0 + 0 - 0 - 0 - 2 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
M(2)=(200042044)M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}, M(x)⋅M(2)=(2x0008x+86x+4012x+88x+8)M(x) \cdot M(2) = \begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ 0 & 8x+8 & 6x+4 \\ 0 & 12x+8 & 8x+8 \end{pmatrix}, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
(2x0008x+86x+4012x+88x+8)=(x−1000x+1x−102x−2x+1)\begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ 0 & 8x+8 & 6x+4 \\ 0 & 12x+8 & 8x+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-1 & 0 & 0 \\ 0 & x+1 & x-1 \\ 0 & 2x-2 & x+1 \end{pmatrix}, de unde obținem x=−1x = -1
c)5 puncte
5
2 puncte
det⁡(M(n))=n(−n2+4n+4)\det(M(n)) = n(-n^2 + 4n + 4), det⁡(M(2n))=2n(−4n2+8n+4)\det(M(2n)) = 2n(-4n^2 + 8n + 4), pentru orice număr natural nn
6
3 puncte
2n(−n2+4n+4)≤2n(−4n2+8n+4)2n(-n^2 + 4n + 4) \leq 2n(-4n^2 + 8n + 4), de unde obținem n2(3n−4)≤0n^2(3n - 4) \leq 0 și, cum nn este număr natural, obținem n=0n = 0 și n=1n = 1
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−2X2−aX+2af = X^3 - 2X^2 - aX + 2a, unde aa este număr real. a) Arătați că f(2)=0f(2) = 0, pentru orice număr real aa. b) Pentru a=1a = 1, arătați că polinomul ff este divizibil cu polinomul g=X+1g = X + 1. c) Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) pentru care ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣=8|x_1| + |x_2| + |x_3| = 8, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(2)=23−2⋅22−a⋅2+2a=f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - a \cdot 2 + 2a =
2
2 puncte
=8−8−2a+2a=0= 8 - 8 - 2a + 2a = 0, pentru orice număr real aa
b)5 puncte
3
3 puncte
f=X3−2X2−X+2f = X^3 - 2X^2 - X + 2, f(−1)=(−1)3−2(−1)2−(−1)+2=f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 =
4
2 puncte
=−1−2+1+2=0= -1 - 2 + 1 + 2 = 0, deci polinomul ff este divizibil cu polinomul g=X+1g = X + 1
c)5 puncte
5
3 puncte
f=(X−2)(X2−a)f = (X - 2)(X^2 - a); x1=2x_1 = 2 și ∣x2∣=∣x3∣=a|x_2| = |x_3| = \sqrt{a}, deci ∣x1∣+∣x2∣+∣x3∣=2+2a|x_1| + |x_2| + |x_3| = 2 + 2\sqrt{a}
6
2 puncte
2+2a=82 + 2\sqrt{a} = 8, de unde obținem a=9a = 9

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(2x−4)+x2−2x+4f(x) = e^x(2x - 4) + x^2 - 2x + 4. a) Arătați că f′(x)=2(x−1)(ex+1)f'(x) = 2(x - 1)(e^x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Arătați că lim⁡x→0f(x)1−ex=4\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - e^x} = 4. c) Arătați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=ex(2x−4)+2ex+2x−2=f'(x) = e^x(2x - 4) + 2e^x + 2x - 2 =
2
2 puncte
=ex(2x−2)+2x−2=2(x−1)(ex+1)= e^x(2x - 2) + 2x - 2 = 2(x - 1)(e^x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
Cum lim⁡x→0f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0, rezultă lim⁡x→0f(x)1−ex=lim⁡x→0f′(x)(1−ex)′=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{(1 - e^x)'} =
4
2 puncte
=lim⁡x→02(x−1)(ex+1)−ex=4= \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2(x - 1)(e^x + 1)}{-e^x} = 4
c)5 puncte
5
2 puncte
f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; pentru orice x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare pe (−∞,1)(-\infty, 1) și, pentru orice x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (1,+∞)(1, +\infty)
6
3 puncte
lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty, f(1)=3−2e<0f(1) = 3 - 2e < 0, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și ff este continuă, deci ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=4x3x2+1f(x) = \frac{4x}{3x^2 + 1}. a) Arătați că ∫34f(x)(3x2+1) dx=14\displaystyle\int_3^4 f(x)(3x^2 + 1)\, dx = 14. b) Arătați că ∫01f(x) dx=43ln⁡2\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \frac{4}{3} \ln 2. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:(0,+∞)→Rg : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=4ln⁡xf(x)g(x) = \frac{4 \ln x}{f(x)}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=1x = 1 și x=ex = e este egală cu 3e2+54\frac{3e^2 + 5}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫34f(x)(3x2+1) dx=∫344x dx=2x2∣34=\displaystyle\int_3^4 f(x)(3x^2 + 1)\, dx = \int_3^4 4x\, dx = \left. 2x^2 \right|_3^4 =
2
2 puncte
=32−18=14= 32 - 18 = 14
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01f(x) dx=∫014x3x2+1 dx=23∫01(3x2+1)′3x2+1 dx=23ln⁡(3x2+1)∣01=\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 \frac{4x}{3x^2 + 1}\, dx = \frac{2}{3} \int_0^1 \frac{(3x^2 + 1)'}{3x^2 + 1}\, dx = \frac{2}{3} \left. \ln(3x^2 + 1) \right|_0^1 =
4
2 puncte
=23ln⁡4−23ln⁡1=43ln⁡2= \frac{2}{3} \ln 4 - \frac{2}{3} \ln 1 = \frac{4}{3} \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
g(x)=(3x2+1)ln⁡xxg(x) = \frac{(3x^2 + 1) \ln x}{x}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), deci A=∫1e∣g(x)∣ dx=∫1e(3x+1x)ln⁡x dx=∫1e(3x22)′ln⁡x dx+ln⁡2x2∣1e=\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e |g(x)|\, dx = \int_1^e \left(3x + \frac{1}{x}\right) \ln x\, dx = \int_1^e \left(\frac{3x^2}{2}\right)' \ln x\, dx + \left. \frac{\ln^2 x}{2} \right|_1^e =
6
2 puncte
=3(x2ln⁡x2−x24)∣1e+12=3e24+34+12=3e2+54= 3\left. \left(\frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4}\right) \right|_1^e + \frac{1}{2} = \frac{3e^2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3e^2 + 5}{4}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2024 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2024 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac