BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2024 — Științele Naturii

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Determinați termenul a1a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a2=8a_2 = 8 și a3=12a_3 = 12.

Rezolvare

1
3 puncte
Rația progresiei este r=a3−a2=12−8=4r = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4
2
2 puncte
Se obține a1=a2−r=8−4=4a_1 = a_2 - r = 8 - 4 = 4
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=mf(m) = m.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(m)=3m−2f(m) = 3m - 2, pentru orice număr real mm
2
3 puncte
Din 3m−2=m3m - 2 = m se obține m=1m = 1
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡6(9−x2)=log⁡65\log_6(9 - x^2) = \log_6 5.

Rezolvare

1
2 puncte
Se obține 9−x2=59 - x^2 = 5, de unde x2−4=0x^2 - 4 = 0
2
3 puncte
Se obține x=−2x = -2 sau x=2x = 2, care convin
Exercițiul 4
Se consideră mulțimea A={0,1,2,…,9}A = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea AA, numărul 2n+1\sqrt{2n + 1} să aparțină mulțimii AA.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile
2
3 puncte
Numerele nn din mulțimea AA pentru care 2n+1\sqrt{2n + 1} aparține mulțimii AA sunt 00 și 44, deci sunt 22 cazuri favorabile, de unde se obține p=210=15p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(1,0)A(1, 0), B(4,4)B(4, 4) și C(5,2)C(5, 2). Arătați că triunghiul ABCABC este dreptunghic în CC.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează mAC=2−05−1=12m_{AC} = \frac{2 - 0}{5 - 1} = \frac{1}{2}
2
3 puncte
Se calculează mBC=2−45−4=−2m_{BC} = \frac{2 - 4}{5 - 4} = -2, deci mAC⋅mBC=−1m_{AC} \cdot m_{BC} = -1, de unde rezultă că triunghiul ABCABC este dreptunghic în CC
Exercițiul 6
Se consideră expresia E(x)=2sin⁡x⋅cos⁡x2+(sin⁡3x4)2E(x) = 2\sin x \cdot \cos\frac{x}{2} + \left(\sin\frac{3x}{4}\right)^2. Arătați că E(π3)=2E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
2
2 puncte
Se obține E(π3)=2⋅32⋅32+24=32+12=2E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(1004)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} și B(a)=(aa+1a−34a−1)B(a) = \begin{pmatrix} a & a + 1 \\ a - 3 & 4a - 1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real. a) Arătați că det⁡(B(1))=7\det(B(1)) = 7. b) Arătați că B(2)−B(0)⋅B(1)=4AB(2) - B(0) \cdot B(1) = 4A. c) Determinați numerele reale aa pentru care matricea C(a)=B(a)−aAC(a) = B(a) - aA nu este inversabilă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează B(1)=(12−23)B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}, deci det⁡(B(1))=1⋅3−2⋅(−2)\det(B(1)) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)
2
2 puncte
Se obține det⁡(B(1))=3+4=7\det(B(1)) = 3 + 4 = 7
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează B(0)=(01−3−1)B(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}, B(0)⋅B(1)=(−23−1−9)B(0) \cdot B(1) = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -9 \end{pmatrix}
4
2 puncte
Se obține B(2)−B(0)⋅B(1)=(40016)=4AB(2) - B(0) \cdot B(1) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = 4A
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează C(a)=(0a+1a−3−1)C(a) = \begin{pmatrix} 0 & a + 1 \\ a - 3 & -1 \end{pmatrix}, deci det⁡(C(a))=−(a−3)(a+1)\det(C(a)) = -(a - 3)(a + 1), pentru orice număr real aa
6
2 puncte
Din det⁡(C(a))=0\det(C(a)) = 0 se obține a=−1a = -1 sau a=3a = 3
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−3y+6x * y = xy - 2x - 3y + 6. a) Arătați că 2∗2=02 * 2 = 0. b) Determinați numărul real xx pentru care x∗6=xx * 6 = x. c) Determinați mulțimea numerelor reale xx pentru care x∗(2∗x)≥2x * (2 * x) \geq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 2∗2=2⋅2−2⋅2−3⋅2+62 * 2 = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 6
2
2 puncte
Se obține 2∗2=4−4−6+6=02 * 2 = 4 - 4 - 6 + 6 = 0
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează x∗6=6x−2x−18+6=4x−12x * 6 = 6x - 2x - 18 + 6 = 4x - 12, pentru orice număr real xx
4
2 puncte
Din 4x−12=x4x - 12 = x se obține x=4x = 4
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează 2∗x=2x−4−3x+6=2−x2 * x = 2x - 4 - 3x + 6 = 2 - x, x∗(2∗x)=x(2−x)−2x−3(2−x)+6=−x2+3xx * (2 * x) = x(2 - x) - 2x - 3(2 - x) + 6 = -x^2 + 3x, pentru orice număr real xx
6
3 puncte
Din −x2+3x≥2-x^2 + 3x \geq 2 se obține −x2+3x−2≥0-x^2 + 3x - 2 \geq 0, de unde x∈[1,2]x \in [1, 2]

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2xx2+x+4f(x) = \frac{2x}{x^2 + x + 4}. a) Arătați că f′(x)=2(4−x2)(x2+x+4)2f'(x) = \frac{2(4 - x^2)}{(x^2 + x + 4)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Arătați că f(x)−f(4−x)≤1f(x) - f(4 - x) \leq 1, pentru orice x∈[4,+∞)x \in [4, +\infty).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=2(x2+x+4)−2x(2x+1)(x2+x+4)2f'(x) = \frac{2(x^2 + x + 4) - 2x(2x + 1)}{(x^2 + x + 4)^2}
2
2 puncte
Se obține f′(x)=8−2x2(x2+x+4)2=2(4−x2)(x2+x+4)2f'(x) = \frac{8 - 2x^2}{(x^2 + x + 4)^2} = \frac{2(4 - x^2)}{(x^2 + x + 4)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2xx2+x+4=lim⁡x→+∞2x(1+1x+4x2)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2 + x + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}\right)} = 0
4
2 puncte
Dreapta de ecuație y=0y = 0 este asimptota orizontală spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Din f′(x)=0f'(x) = 0 se obține x=−2x = -2 sau x=2x = 2; pentru orice x∈[2,+∞)x \in [2, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [2,+∞)[2, +\infty)
6
3 puncte
Pentru x∈[4,+∞)x \in [4, +\infty), avem 4−x∈(−∞,0]4 - x \in (-\infty, 0], deci f(x)≤f(4)=13f(x) \leq f(4) = \frac{1}{3} și f(4−x)≥f(−2)=−23f(4 - x) \geq f(-2) = -\frac{2}{3}, de unde se obține f(x)−f(4−x)≤13+23=1f(x) - f(4 - x) \leq \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x+3x+1f(x) = \frac{x + 3}{x + 1}. a) Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=8\displaystyle\int_0^2 (x + 1)f(x) \, dx = 8. b) Arătați că ∫01f(x) dx=1+2ln⁡2\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = 1 + 2\ln 2. c) Determinați numărul real aa pentru care ∫12(x2−1)exf(x) dx=e(e+a)\displaystyle\int_1^2 (x^2 - 1)e^x f(x) \, dx = e(e + a).

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫02(x+1)f(x) dx=∫02(x+3) dx=x22+3x∣02\displaystyle\int_0^2 (x + 1)f(x) \, dx = \int_0^2 (x + 3) \, dx = \left.\frac{x^2}{2} + 3x\right|_0^2
2
2 puncte
Se obține 2+6=82 + 6 = 8
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01f(x) dx=∫01x+3x+1 dx=∫01(1+2x+1)dx=x+2ln⁡(x+1)∣01\displaystyle\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{x + 3}{x + 1} \, dx = \int_0^1 \left(1 + \frac{2}{x + 1}\right) dx = \left.x + 2\ln(x + 1)\right|_0^1
4
2 puncte
Se obține 1+2ln⁡2−2ln⁡1=1+2ln⁡21 + 2\ln 2 - 2\ln 1 = 1 + 2\ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫12(x2−1)exf(x) dx=∫12(x2+2x−3)ex dx=(x2−3)ex∣12=e2+2e\displaystyle\int_1^2 (x^2 - 1)e^x f(x) \, dx = \int_1^2 (x^2 + 2x - 3)e^x \, dx = \left.(x^2 - 3)e^x\right|_1^2 = e^2 + 2e
6
2 puncte
Din e(e+a)=e2+2ee(e + a) = e^2 + 2e se obține a=2a = 2

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2024 — Matematică-Informatică

Următor →

Bac Vară 2024 — Tehnologic

← Înapoi la arhiva completă Bac