BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2024 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 125⋅(12+13)=2\frac{12}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 2.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează 125⋅(12+13)=125⋅(36+26)=125⋅56\frac{12}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{12}{5} \cdot \left( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \right) = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6}.
2
3 puncte
Se obține 125⋅56=2\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = 2.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5x+1f(x) = 5x + 1. Determinați numărul real aa pentru care f(a)=6f(a) = 6.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(a)=5a+1f(a) = 5a + 1, pentru orice număr real aa.
2
3 puncte
Din 5a+1=65a + 1 = 6 se obține a=1a = 1.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+1=3\sqrt{4x + 1} = 3.

Rezolvare

1
3 puncte
Din 4x+1=3\sqrt{4x + 1} = 3 se obține 4x+1=94x + 1 = 9, de unde 4x=84x = 8.
2
2 puncte
Se obține x=2x = 2, care convine.
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}A = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}, acesta să fie divizibil cu 2020.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 99 elemente, deci sunt 99 cazuri posibile.
2
3 puncte
Numerele din mulțimea AA care sunt divizibile cu 2020 sunt 2020, 4040, 6060 și 8080, deci sunt 44 cazuri favorabile, de unde se obține p=49p = \frac{4}{9}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,0)A(2, 0), B(8,8)B(8, 8) și C(11,4)C(11, 4). Arătați că AB=2BCAB = 2BC.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează BC=32+42=5BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.
2
3 puncte
Se calculează AB=62+82=10AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10, deci AB=2BCAB = 2BC.
Exercițiul 6
Arătați că 1+sin⁡30°=2sin⁡60°⋅cos⁡30°1 + \sin 30° = 2 \sin 60° \cdot \cos 30°.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}, sin⁡60°=cos⁡30°=32\sin 60° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}.
2
2 puncte
Se obține 1+sin⁡30°=1+12=321 + \sin 30° = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} și 2sin⁡60°⋅cos⁡30°=2⋅32⋅32=322 \sin 60° \cdot \cos 30° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și A(x)=(xx−1−2x2)A(x) = \begin{pmatrix} x & x - 1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=2\det(A(1)) = 2. b) Arătați că A(2)+A(0)=2A(1)A(2) + A(0) = 2A(1). c) Determinați numerele reale xx pentru care det⁡(A(x)+xI2)=2\det(A(x) + xI_2) = 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează A(1)=(10−22)A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣10−22∣=1⋅2−(−2)⋅0\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0.
2
2 puncte
Se obține det⁡(A(1))=2−0=2\det(A(1)) = 2 - 0 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează A(2)+A(0)=(21−42)+(0−102)=(20−44)A(2) + A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}.
4
2 puncte
Se obține 2A(1)=2(10−22)=(20−44)2A(1) = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}, deci A(2)+A(0)=2A(1)A(2) + A(0) = 2A(1).
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A(x)+xI2=(2xx−1−2x2+x)A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix} 2x & x - 1 \\ -2x & 2 + x \end{pmatrix} și det⁡(A(x)+xI2)=4x2+2x\det(A(x) + xI_2) = 4x^2 + 2x, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Din 4x2+2x−2=04x^2 + 2x - 2 = 0 se obține x=−1x = -1 sau x=12x = \frac{1}{2}.
Exercițiul 2
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2(x+y)−xy−4x \circ y = 2(x + y) - xy - 4. a) Arătați că 1∘3=11 \circ 3 = 1. b) Arătați că legea de compoziție "∘""\circ" este comutativă. c) Determinați numerele naturale nn pentru care n∘n≥n−2n \circ n \geq n - 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează 1∘3=2(1+3)−1⋅3−41 \circ 3 = 2(1 + 3) - 1 \cdot 3 - 4.
2
2 puncte
Se obține 1∘3=8−3−4=11 \circ 3 = 8 - 3 - 4 = 1.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează y∘x=2(y+x)−yx−4y \circ x = 2(y + x) - yx - 4.
4
3 puncte
Se obține y∘x=2(x+y)−xy−4=x∘yy \circ x = 2(x + y) - xy - 4 = x \circ y, pentru orice numere reale xx și yy, deci legea de compoziție "∘""\circ" este comutativă.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) Se calculează n∘n=4n−n2−4n \circ n = 4n - n^2 - 4, pentru orice număr natural nn.
6
3 puncte
Din 4n−n2−4≥n−24n - n^2 - 4 \geq n - 2 se obține −n2+3n−2≥0-n^2 + 3n - 2 \geq 0 și, cum nn este număr natural, se obține n=1n = 1 și n=2n = 2.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x−1x2f(x) = \frac{2x - 1}{x^2}. a) Arătați că f′(x)=2(1−x)x3f'(x) = \frac{2(1 - x)}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff. c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=(2x−1)′⋅x2−(2x−1)⋅(x2)′x4=2x2−2x(2x−1)x4f'(x) = \frac{(2x - 1)' \cdot x^2 - (2x - 1) \cdot (x^2)'}{x^4} = \frac{2x^2 - 2x(2x - 1)}{x^4}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=−2x2+2xx4=2(1−x)x3f'(x) = \frac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{2(1 - x)}{x^3}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty).
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(1)=1f(1) = 1 și f′(1)=0f'(1) = 0.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1), adică y=1y = 1.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) f′(x)=0⇔x=1f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; pentru orice x∈(0,1]x \in (0, 1], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe (0,1](0, 1].
6
2 puncte
Pentru orice x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [1,+∞)[1, +\infty).
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+1x2+x+1f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}. a) Arătați că ∫01(x2+x+1)f(x) dx=2\displaystyle\int_0^1 (x^2 + x + 1) f(x)\, dx = 2. b) Arătați că ∫01f(x) dx=ln⁡3\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \ln 3. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=ex(x2+x+1)f(x)g(x) = e^x(x^2 + x + 1) f(x), axa OxOx și dreptele de ecuații x=0x = 0 și x=1x = 1 are aria egală cu e+1e + 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(x2+x+1)f(x) dx=∫01(x2+x+1)⋅2x+1x2+x+1 dx=∫01(2x+1) dx=(x2+x)∣01\displaystyle\int_0^1 (x^2 + x + 1) f(x)\, dx = \int_0^1 (x^2 + x + 1) \cdot \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\, dx = \int_0^1 (2x + 1)\, dx = \left. (x^2 + x) \right|_0^1.
2
2 puncte
Se obține 1+1−0−0=21 + 1 - 0 - 0 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫01f(x) dx=∫012x+1x2+x+1 dx=∫01(x2+x+1)′x2+x+1 dx=ln⁡(x2+x+1)∣01\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\, dx = \int_0^1 \frac{(x^2 + x + 1)'}{x^2 + x + 1}\, dx = \left. \ln(x^2 + x + 1) \right|_0^1.
4
2 puncte
Se obține ln⁡3−ln⁡1=ln⁡3\ln 3 - \ln 1 = \ln 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează g(x)=ex(2x+1)g(x) = e^x(2x + 1), x∈Rx \in \mathbb{R}, deci A=∫01∣g(x)∣ dx=∫01ex(2x+1) dx=ex(2x+1)∣01−∫012ex dx\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 |g(x)|\, dx = \int_0^1 e^x(2x + 1)\, dx = \left. e^x(2x + 1) \right|_0^1 - \int_0^1 2e^x\, dx.
6
2 puncte
Se obține A=ex(2x+1)∣01−2ex∣01=3e−1−2e+2=e+1\mathcal{A} = e^x(2x + 1) \Big|_0^1 - 2e^x \Big|_0^1 = 3e - 1 - 2e + 2 = e + 1.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2024 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2024 — Matematică-Informatică (Varianta 9)

← Înapoi la arhiva completă Bac