BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2025 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră numerele complexe z1=1−iz_1 = 1 - i și z2=2+iz_2 = 2 + i. Arătați că 2z1+iz2=12z_1 + iz_2 = 1.

Rezolvare

1
2 puncte
2z1+iz2=2(1−i)+i(2+i)=2−2i+2i+i2=2z_1 + iz_2 = 2(1 - i) + i(2 + i) = 2 - 2i + 2i + i^2 =
2
3 puncte
=2−1=1= 2 - 1 = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+3f(x) = x + 3. Determinați numărul real aa pentru care (f∘f)(a)=9(f \circ f)(a) = 9.

Rezolvare

1
3 puncte
f(a)=a+3f(a) = a + 3, (f∘f)(a)=a+6(f \circ f)(a) = a + 6, pentru orice număr real aa
2
2 puncte
a+6=9a + 6 = 9, de unde obținem a=3a = 3
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2−3x+2=x\sqrt{2x^2 - 3x + 2} = x.

Rezolvare

1
2 puncte
2x2−3x+2=x22x^2 - 3x + 2 = x^2, de unde obținem x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0
2
3 puncte
x=1x = 1 sau x=2x = 2, care convin
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor al numărului 262^6.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 9090 de elemente, deci sunt 9090 de cazuri posibile
2
3 puncte
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 33 divizori ai numărului 262^6, deci sunt 33 cazuri favorabile, de unde obținem p=390=130p = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(0,1)A(0, 1), B(5,0)B(5, 0), C(6,3)C(6, 3) și D(a,b)D(a, b), unde aa și bb sunt numere reale. Determinați numerele reale aa și bb, știind că segmentele ACAC și BDBD au același mijloc.

Rezolvare

1
3 puncte
Mijlocul segmentului ACAC are coordonatele (3,2)(3, 2) și mijlocul segmentului BDBD are coordonatele (5+a2,b2)\left(\frac{5 + a}{2}, \frac{b}{2}\right)
2
2 puncte
a=1a = 1 și b=4b = 4
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul ABCABC, dreptunghic în AA, cu AB=2AB = 2 și tg B=3\text{tg}\, B = 3. Arătați că BC=210BC = 2\sqrt{10}.

Rezolvare

1
3 puncte
tg B=ACAB\text{tg}\, B = \frac{AC}{AB}, de unde obținem AC=6AC = 6
2
2 puncte
BC2=22+62BC^2 = 2^2 + 6^2, de unde obținem BC=210BC = 2\sqrt{10}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricea A(x)=(2−3x0x020−9x02+3x)A(x) = \begin{pmatrix} 2 - 3x & 0 & x \\ 0 & 2 & 0 \\ -9x & 0 & 2 + 3x \end{pmatrix}, unde xx este număr real. a) Arătați că det⁡(A(1))=8\det(A(1)) = 8. b) Arătați că A(x)⋅A(y)=2A(x+y)A(x) \cdot A(y) = 2A(x + y), pentru orice numere reale xx și yy. c) Determinați numerele reale xx pentru care (A(x)+A(3x))⋅A(2x)=4A(x2)(A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = 4A(x^2).

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
A(1)=(−101020−905)A(1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{pmatrix}, deci det⁡(A(1))=∣−101020−905∣=\det(A(1)) = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -9 & 0 & 5 \end{vmatrix} =
2
3 puncte
=−10+0+0+18−0−0=8= -10 + 0 + 0 + 18 - 0 - 0 = 8
b)5 puncte
3
3 puncte
A(x)⋅A(y)=(4−6x−6y02x+2y040−18x−18y04+6x+6y)=A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 4 - 6x - 6y & 0 & 2x + 2y \\ 0 & 4 & 0 \\ -18x - 18y & 0 & 4 + 6x + 6y \end{pmatrix} =
4
2 puncte
=2(2−3(x+y)0x+y020−9(x+y)02+3(x+y))=2A(x+y)= 2\begin{pmatrix} 2 - 3(x + y) & 0 & x + y \\ 0 & 2 & 0 \\ -9(x + y) & 0 & 2 + 3(x + y) \end{pmatrix} = 2A(x + y), pentru orice numere reale xx și yy
c)5 puncte
5
3 puncte
A(x)+A(3x)=2A(2x)A(x) + A(3x) = 2A(2x), (A(x)+A(3x))⋅A(2x)=4A(4x)(A(x) + A(3x)) \cdot A(2x) = 4A(4x), pentru orice număr real xx
6
2 puncte
4A(4x)=4A(x2)4A(4x) = 4A(x^2), de unde obținem 4x=x24x = x^2, deci x=0x = 0 sau x=4x = 4
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=aX3+3X2−aX−6f = aX^3 + 3X^2 - aX - 6, unde aa este număr real nenul. a) Arătați că f(1)=−3f(1) = -3, pentru orice număr real nenul aa. b) Pentru a=1a = 1, determinați câtul și restul împărțirii polinomului ff la polinomul g=X2+3X−1g = X^2 + 3X - 1. c) Determinați numărul real nenul aa pentru care (1+x1)(1+x2)(1+x3)=1(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) = 1, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f(1)=a⋅13+3⋅12−a⋅1−6=f(1) = a \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - a \cdot 1 - 6 =
2
2 puncte
=a+3−a−6=−3= a + 3 - a - 6 = -3, pentru orice număr real nenul aa
b)5 puncte
3
3 puncte
f=X(X2+3X−1)−6f = X(X^2 + 3X - 1) - 6 și câtul împărțirii este XX
4
2 puncte
Restul este −6-6
c)5 puncte
5
3 puncte
(1+x1)(1+x2)(1+x3)=−f(−1)a(1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3) = -\frac{f(-1)}{a}, pentru orice număr real nenul aa
6
2 puncte
−f(−1)a=1-\frac{f(-1)}{a} = 1, de unde obținem a=3a = 3

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡xx+2f(x) = 2x + \ln\frac{x}{x + 2}. a) Arătați că f′(x)=2(x+1)2x(x+2)f'(x) = \frac{2(x + 1)^2}{x(x + 2)}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞+\infty la graficul funcției ff. c) Demonstrați că funcția ff este bijectivă.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
f′(x)=2+x+2x⋅x+2−x(x+2)2=2+2x(x+2)=f'(x) = 2 + \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x + 2 - x}{(x + 2)^2} = 2 + \frac{2}{x(x + 2)} =
2
2 puncte
=2x2+4x+2x(x+2)=2(x+1)2x(x+2)= \frac{2x^2 + 4x + 2}{x(x + 2)} = \frac{2(x + 1)^2}{x(x + 2)}, x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)
b)5 puncte
3
2 puncte
lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(2+1xln⁡xx+2)=2\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x} \ln\frac{x}{x + 2}\right) = 2
4
3 puncte
lim⁡x→+∞(f(x)−2x)=lim⁡x→+∞ln⁡xx+2=0\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x}{x + 2} = 0, deci dreapta de ecuație y=2xy = 2x este asimptota oblică spre +∞+\infty la graficul funcției ff
c)5 puncte
5
2 puncte
Pentru orice x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare, deci ff este injectivă
6
3 puncte
lim⁡x→0f(x)=−∞\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty și ff este continuă, deci ff este surjectivă, de unde obținem că ff este bijectivă
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→Rf : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2(x+1)3f(x) = \frac{x^2}{(x + 1)^3}. a) Arătați că ∫03f(x)(x+1)3 dx=9\displaystyle\int_0^3 f(x)(x + 1)^3\, dx = 9. b) Arătați că ∫01f(x)(x+1) dx=1−ln⁡2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)}\, dx = 1 - \ln 2. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=f(ex)exg(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}, axa OxOx și dreptele de ecuații x=−1x = -1 și x=1x = 1 este egală cu e−12(e+1)\frac{e - 1}{2(e + 1)}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
∫03f(x)(x+1)3 dx=∫03x2 dx=x33∣03=\displaystyle\int_0^3 f(x)(x + 1)^3\, dx = \int_0^3 x^2\, dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3 =
2
2 puncte
=9−0=9= 9 - 0 = 9
b)5 puncte
3
3 puncte
∫01f(x)(x+1) dx=∫01xx+1 dx=∫01(1−1x+1)dx=x−ln⁡(x+1)∣01=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{f(x)(x + 1)}\, dx = \int_0^1 \frac{x}{x + 1}\, dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right) dx = \left.x - \ln(x + 1)\right|_0^1 =
4
2 puncte
=1−0−ln⁡2+ln⁡1=1−ln⁡2= 1 - 0 - \ln 2 + \ln 1 = 1 - \ln 2
c)5 puncte
5
3 puncte
g(x)=ex(ex+1)3g(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^3}, x∈Rx \in \mathbb{R}, deci A=∫−11∣g(x)∣ dx=∫−11ex(ex+1)3 dx=∫−11(ex+1)′(ex+1)3 dx=−12(ex+1)2∣−11=\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-1}^{1} |g(x)|\, dx = \int_{-1}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 1)^3}\, dx = \int_{-1}^{1} \frac{(e^x + 1)'}{(e^x + 1)^3}\, dx = \left.-\frac{1}{2(e^x + 1)^2}\right|_{-1}^{1} =
6
2 puncte
=e2−12(e+1)2=e−12(e+1)= \frac{e^2 - 1}{2(e + 1)^2} = \frac{e - 1}{2(e + 1)}

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Simulare 2025 — Tehnologic

Următor →

Bac Vară 2025 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac