BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară 2025 — Tehnologic

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că 110+3⋅(12−15)=1\frac{1}{10} + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = 1.

Rezolvare

1
3 puncte
Se calculează 110+3⋅310=110+910\frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \frac{9}{10}.
2
2 puncte
Se obține 110+910=1\frac{1}{10} + \frac{9}{10} = 1.
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=6x−3f(x) = 6x - 3. Determinați numărul real aa pentru care f(2)=a+f(0)f(2) = a + f(0).

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează f(2)=9f(2) = 9 și f(0)=−3f(0) = -3.
2
3 puncte
Din 9=a−39 = a - 3 se obține a=12a = 12.
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=53−x5^{2x} = 5^{3-x}.

Rezolvare

1
3 puncte
Din 52x=53−x5^{2x} = 5^{3-x} se obține 2x=3−x2x = 3 - x.
2
2 puncte
Se obține x=1x = 1.
Exercițiul 4
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr nn din mulțimea A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}, acesta să verifice inegalitatea 6n>256n > 25.

Rezolvare

1
2 puncte
Mulțimea AA are 1010 elemente, deci sunt 1010 cazuri posibile.
2
3 puncte
În mulțimea AA sunt 55 numere nn pentru care 6n>256n > 25, deci sunt 55 cazuri favorabile, de unde se obține p=510=12p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.
Exercițiul 5
În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(2,0)A(2, 0), B(2,1)B(2, 1) și C(6,4)C(6, 4). Determinați numărul real aa pentru care BC=a⋅ABBC = a \cdot AB.

Rezolvare

1
2 puncte
Se calculează BC=5BC = 5.
2
3 puncte
Se calculează AB=1AB = 1 și, cum BC=5⋅ABBC = 5 \cdot AB, se obține a=5a = 5.
Exercițiul 6
Se consideră triunghiul MNPMNP, dreptunghic în MM, cu MN=4⋅MPMN = 4 \cdot MP și MN=8MN = 8. Arătați că aria triunghiului MNPMNP este egală cu 88.

Rezolvare

1
2 puncte
Din MN=4⋅MPMN = 4 \cdot MP și MN=8MN = 8 se obține MP=2MP = 2.
2
3 puncte
Se calculează AMNP=MN⋅MP2=8⋅22=8\mathcal{A}_{MNP} = \frac{MN \cdot MP}{2} = \frac{8 \cdot 2}{2} = 8.

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră matricele A=(5221)A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, B=(533−1)B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} și I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Arătați că det⁡A=1\det A = 1. b) Determinați numărul real xx pentru care 3A−5I2=xB3A - 5I_2 = xB. c) Determinați mulțimea numerelor reale xx pentru care det⁡(A⋅(B−A)+xI2)≤2\det\left(A \cdot (B - A) + xI_2\right) \leq 2.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează det⁡A=∣5221∣=5⋅1−2⋅2\det A = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 2.
2
2 puncte
Se obține det⁡A=5−4=1\det A = 5 - 4 = 1.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează 3A−5I2=(15663)−(5005)=(1066−2)=2(533−1)=2B3A - 5I_2 = \begin{pmatrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 2B.
4
2 puncte
Din 2B=xB2B = xB se obține x=2x = 2.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează A⋅(B−A)=(2110)A \cdot (B - A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, A⋅(B−A)+xI2=(2+x11x)A \cdot (B - A) + xI_2 = \begin{pmatrix} 2 + x & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}, det⁡(A⋅(B−A)+xI2)=x2+2x−1\det\left(A \cdot (B - A) + xI_2\right) = x^2 + 2x - 1, pentru orice număr real xx.
6
2 puncte
Din x2+2x−1≤2x^2 + 2x - 1 \leq 2 se obține x2+2x−3≤0x^2 + 2x - 3 \leq 0, de unde x∈[−3,1]x \in [-3, 1].
Exercițiul 2
Se consideră polinomul f=X3−3X2+X+mf = X^3 - 3X^2 + X + m, unde mm este număr real. a) Pentru m=1m = 1, arătați că f(1)=0f(1) = 0. b) Determinați numărul real mm pentru care 2x1+2x2+2x3=1+x1x2x32x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 1 + x_1 x_2 x_3, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff. c) Știind că restul împărțirii polinomului ff la polinomul X−2X - 2 este −5-5, arătați că ff este divizibil cu polinomul X2+1X^2 + 1.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Pentru m=1m = 1, f=X3−3X2+X+1f = X^3 - 3X^2 + X + 1, deci f(1)=13−3⋅12+1+1f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 + 1.
2
2 puncte
Se obține f(1)=1−3+1+1=0f(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Din relațiile lui Viète: x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x1x2x3=−mx_1 x_2 x_3 = -m, deci 2⋅3=1−m2 \cdot 3 = 1 - m.
4
2 puncte
Se obține m=−5m = -5.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Din f(2)=−2+mf(2) = -2 + m și f(2)=−5f(2) = -5 se obține −2+m=−5-2 + m = -5, deci m=−3m = -3.
6
2 puncte
f=X3−3X2+X−3=(X−3)(X2+1)f = X^3 - 3X^2 + X - 3 = (X - 3)(X^2 + 1), de unde rezultă că polinomul ff este divizibil cu X2+1X^2 + 1.

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x−2exf(x) = \frac{x - 2}{e^x}. a) Arătați că f′(x)=3−xexf'(x) = \frac{3 - x}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0, situat pe graficul funcției ff. c) Demonstrați că −ex−1≤x−2≤ex−3-e^{x-1} \leq x - 2 \leq e^{x-3}, pentru orice x∈[1,4]x \in [1, 4].

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează f′(x)=ex−(x−2)ex(ex)2f'(x) = \frac{e^x - (x - 2) e^x}{(e^x)^2}.
2
2 puncte
Se obține f′(x)=ex(1−x+2)(ex)2=3−xexf'(x) = \frac{e^x(1 - x + 2)}{(e^x)^2} = \frac{3 - x}{e^x}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
b)5 puncte
3
2 puncte
b) Se calculează f(0)=−2f(0) = -2 și f′(0)=3f'(0) = 3.
4
3 puncte
Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0)y - f(0) = f'(0)(x - 0), adică y=3x−2y = 3x - 2.
c)5 puncte
5
2 puncte
c) f′(x)=0⇔x=3f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3; pentru orice x∈[1,3]x \in [1, 3], f′(x)≥0f'(x) \geq 0, deci ff este crescătoare pe [1,3][1, 3] și, pentru orice x∈[3,4]x \in [3, 4], f′(x)≤0f'(x) \leq 0, deci ff este descrescătoare pe [3,4][3, 4].
6
3 puncte
f(1)=−1ef(1) = -\frac{1}{e}, f(3)=1e3f(3) = \frac{1}{e^3} și f(4)=2e4f(4) = \frac{2}{e^4}, deci −1e≤f(x)≤1e3-\frac{1}{e} \leq f(x) \leq \frac{1}{e^3}, pentru orice x∈[1,4]x \in [1, 4], de unde se obține −ex−1≤x−2≤ex−3-e^{x-1} \leq x - 2 \leq e^{x-3}, pentru orice x∈[1,4]x \in [1, 4].
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+4x+8f(x) = x^2 + 4x + 8. a) Arătați că ∫01(f(x)−x2−8)dx=2\displaystyle\int_0^1 \left( f(x) - x^2 - 8 \right) dx = 2. b) Arătați că ∫08xf(x)−4x dx=ln⁡3\displaystyle\int_0^8 \frac{x}{f(x) - 4x}\, dx = \ln 3. c) Determinați a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) pentru care ∫0a1f(x)−4 dx=14\displaystyle\int_0^a \frac{1}{f(x) - 4}\, dx = \frac{1}{4}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
a) Se calculează ∫01(f(x)−x2−8)dx=∫014x dx=2x2∣01\displaystyle\int_0^1 \left( f(x) - x^2 - 8 \right) dx = \int_0^1 4x\, dx = 2x^2 \Big|_0^1.
2
2 puncte
Se obține 2−0=22 - 0 = 2.
b)5 puncte
3
3 puncte
b) Se calculează ∫08xf(x)−4x dx=∫08xx2+8 dx=12∫08(x2+8)′x2+8 dx=12ln⁡(x2+8)∣08\displaystyle\int_0^8 \frac{x}{f(x) - 4x}\, dx = \int_0^8 \frac{x}{x^2 + 8}\, dx = \frac{1}{2} \int_0^8 \frac{(x^2 + 8)'}{x^2 + 8}\, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 8) \Big|_0^8.
4
2 puncte
Se obține ln⁡722−ln⁡82=ln⁡3\frac{\ln 72}{2} - \frac{\ln 8}{2} = \ln 3.
c)5 puncte
5
3 puncte
c) Se calculează ∫0a1f(x)−4 dx=∫0a1(x+2)2 dx=−1x+2∣0a=−1a+2+12\displaystyle\int_0^a \frac{1}{f(x) - 4}\, dx = \int_0^a \frac{1}{(x + 2)^2}\, dx = -\frac{1}{x + 2} \Big|_0^a = -\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{2}, pentru orice a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty).
6
2 puncte
Din −1a+2+12=14-\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} se obține a=2a = 2.

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2025 — Științele Naturii

Următor →

Bac Specială 2025 — Matematică-Informatică

← Înapoi la arhiva completă Bac