BAC M1 Mate-Info10 exerciții

Bac Vară Rezervă 2010 — Matematică-Informatică

Rezolvare detaliată pas cu pas cu punctaj pe fiecare pas

Dificultate:Subiectul I — UșorSubiectul II — MediuSubiectul III — Greu

ISubiectul I(6 exerciții)

Exercițiul 1
Arătați că numărul i2−1i\sqrt{2} - 1 este soluție a ecuației z2+2z+3=0z^2 + 2z + 3 = 0.

Rezolvare

1
3 puncte
(i2−1)2+2(i2−1)+3=2i2−2i2+1+2i2−2+3=(i\sqrt{2} - 1)^2 + 2(i\sqrt{2} - 1) + 3 = 2i^2 - 2i\sqrt{2} + 1 + 2i\sqrt{2} - 2 + 3 =
2
2 puncte
=−2+1−2+3=0= -2 + 1 - 2 + 3 = 0
Exercițiul 2
Fie funcțiile f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+af(x) = 2x + a și g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a. Determinați a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care (f∘g)(x)>0(f \circ g)(x) > 0, oricare ar fi x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare

1
2 puncte
f(g(x))=2(x2−a)+a=f(g(x)) = 2(x^2 - a) + a =
2
1 punct
=2x2−a= 2x^2 - a
3
2 puncte
2x2−a>0⇔a<02x^2 - a > 0 \Leftrightarrow a < 0
Exercițiul 3
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−2x+1=x+1\sqrt{x^2 - 2x + 1} = x + 1.

Rezolvare

1
2 puncte
(x−1)2=x+1\sqrt{(x - 1)^2} = x + 1
2
1 punct
∣x−1∣=x+1|x - 1| = x + 1
3
2 puncte
x=0x = 0
Exercițiul 4
Determinați numărul elementelor mulțimii A={1,33,36,39,…,32010}A = \{1, 3^3, 3^6, 3^9, \ldots, 3^{2010}\}.

Rezolvare

1
2 puncte
0,3,6,9,…,20100, 3, 6, 9, \ldots, 2010 sunt în progresie aritmetică cu rația 33
2
3 puncte
Numărul termenilor este 671671
Exercițiul 5
În sistemul de coordonate xOyxOy se consideră punctele A(3,5)A(3, 5), B(−2,5)B(-2, 5) și C(6,−3)C(6, -3). Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii [BC][BC], în triunghiul ABCABC.

Rezolvare

1
2 puncte
Mijlocul segmentului [BC][BC] este M(2,1)M(2, 1)
2
3 puncte
Ecuația medianei este y=4x−7y = 4x - 7
Exercițiul 6
Calculați sin⁡π12\sin\dfrac{\pi}{12}.

Rezolvare

1
2 puncte
sin⁡π12=sin⁡(π3−π4)=\sin\dfrac{\pi}{12} = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}\right) =
2
3 puncte
=6−24= \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

IISubiectul II(2 exerciții)

Exercițiul 1
Fie sistemul {x+y+az=1x+2ay+z=−12ax+y+(a+1)z=0\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + 2ay + z = -1 \\ 2ax + y + (a+1)z = 0 \end{cases}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} și aa este parametru real. a) Rezolvați sistemul pentru a=0a = 0. b) Verificați dacă pentru a=−1a = -1 sistemul este compatibil. c) Determinați a∈Ra \in \mathbb{R} pentru care sistemul are soluție unică.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
Pentru a=0a = 0: {x+y=1x+z=−1y+z=0\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = -1 \\ y + z = 0 \end{cases}
2
3 puncte
S={(0,1,−1)}S = \{(0, 1, -1)\}
b)5 puncte
3
3 puncte
∣11−11−21−210∣=0\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0
4
1 punct
rang⁡A=2\operatorname{rang} A = 2
5
1 punct
Sistemul este compatibil, deoarece rang⁡Aˉ=2\operatorname{rang} \bar{A} = 2
c)5 puncte
6
5 puncte
∣11a12a12a1a+1∣=−2(2a−1)(a−1)(a+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2a & 1 \\ 2a & 1 & a+1 \end{vmatrix} = -2(2a - 1)(a - 1)(a + 1), deci a∈R∖{±1,12}a \in \mathbb{R} \setminus \left\{\pm 1, \dfrac{1}{2}\right\}
Exercițiul 2
Fie m,n∈Rm, n \in \mathbb{R} și polinomul f=X3−3X2+mX−nf = X^3 - 3X^2 + mX - n care are rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. a) Determinați valorile reale mm și nn pentru care x1=2+ix_1 = 2 + i. b) Determinați valorile reale mm și nn pentru care restul împărțirii polinomului ff la polinomul (X−1)2(X - 1)^2 este egal cu 00. c) Arătați că, dacă toate rădăcinile polinomului ff sunt reale și m>0m > 0, n>0n > 0, atunci x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt strict pozitive.

Rezolvare

a)5 puncte
1
1 punct
x1=2+i⇒x2=2−ix_1 = 2 + i \Rightarrow x_2 = 2 - i
2
2 puncte
Folosind relațiile lui Viete, obținem x3=3−x1−x2=−1x_3 = 3 - x_1 - x_2 = -1
3
2 puncte
m=1m = 1, n=−5n = -5
b)5 puncte
4
3 puncte
Restul este r=X(m−3)+1−nr = X(m - 3) + 1 - n
5
2 puncte
m=3m = 3 și n=1n = 1
c)5 puncte
6
5 puncte
Presupunând prin absurd că x1≤0x_1 \leq 0, rezultă x13≤0x_1^3 \leq 0, −3x12≤0-3x_1^2 \leq 0, mx1≤0mx_1 \leq 0, −n<0-n < 0. Adunând cele patru relații se obține 0=f(x1)<00 = f(x_1) < 0, contradicție

IIISubiectul III(2 exerciții)

Exercițiul 1
Fie funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+23f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x + 2}. a) Arătați că dreapta de ecuație y=xy = x este asimptotă oblică pentru graficul funcției ff spre +∞+\infty. b) Studiați derivabilitatea funcției ff în punctul x=−2x = -2. c) Calculați lim⁡x→+∞ln⁡f(x)ln⁡x\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln f(x)}{\ln x}.

Rezolvare

a)5 puncte
1
2 puncte
m=lim⁡x→+∞f(x)x=1m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1
2
2 puncte
n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞x3−3x+2−x3(x3−3x+2)23+xx3−3x+23+x2=0n = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3 - 3x + 2 - x^3}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x + 2)^2} + x\sqrt[3]{x^3 - 3x + 2} + x^2} = 0
3
1 punct
Asimptota oblică este y=xy = x
b)5 puncte
4
2 puncte
x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2), deci f(x)−f(−2)x+2=(x−1)2(x+2)23\dfrac{f(x) - f(-2)}{x + 2} = \sqrt[3]{\dfrac{(x - 1)^2}{(x + 2)^2}}
5
3 puncte
lim⁡x→−2f(x)−f(−2)x+2=∞\displaystyle\lim_{x \to -2} \dfrac{f(x) - f(-2)}{x + 2} = \infty, deci ff nu e derivabilă în −2-2
c)5 puncte
6
5 puncte
lim⁡x→+∞ln⁡f(x)ln⁡x=lim⁡x→+∞ln⁡(x3−3x2+2)ln⁡x3=1\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln f(x)}{\ln x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x^3 - 3x^2 + 2)}{\ln x^3} = 1
Exercițiul 2
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=cos⁡x2−cos⁡2xf(x) = \dfrac{\cos x}{2 - \cos^2 x}. a) Calculați ∫0π2f(x) dx\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\, dx. b) Arătați că orice primitivă a funcției ff este strict crescătoare pe intervalul [0,π2]\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]. c) Calculați ∫02πx⋅f(x) dx\displaystyle\int_0^{2\pi} x \cdot f(x)\, dx.

Rezolvare

a)5 puncte
1
3 puncte
Cu substituția sin⁡x=t\sin x = t se obține ∫0π2cos⁡x2−cos⁡2x dx=∫01dt1+t2=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{2 - \cos^2 x}\, dx = \int_0^1 \dfrac{dt}{1 + t^2} =
2
2 puncte
=arctan⁡t∣01=π4= \left.\arctan t\right|_0^1 = \dfrac{\pi}{4}
b)5 puncte
3
2 puncte
Dacă funcția FF este o primitivă a funcției ff, atunci F′(x)=cos⁡x2−cos⁡2xF'(x) = \dfrac{\cos x}{2 - \cos^2 x}, ∀x∈[0,π2]\forall x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]
4
2 puncte
Cum cos⁡x∈[−1,1]\cos x \in [-1, 1], ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}, rezultă F′(x)=cos⁡x2−cos⁡2x≥0F'(x) = \dfrac{\cos x}{2 - \cos^2 x} \geq 0, ∀x∈[0,π2]\forall x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]
5
1 punct
FF este strict crescătoare pe [0,π2]\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]
c)5 puncte
6
5 puncte
f(y)=f(2π−y)f(y) = f(2\pi - y). Cu substituția x=2π−yx = 2\pi - y se obține I=∫02π(2π−y)f(y) dy=2π∫02πf(y) dy−II = \displaystyle\int_0^{2\pi} (2\pi - y) f(y)\, dy = 2\pi \int_0^{2\pi} f(y)\, dy - I. Cum ∫02πf(y) dy=0\displaystyle\int_0^{2\pi} f(y)\, dy = 0, deci I=0I = 0

Ai rezolvat acest subiect?

Încarcă soluția ta scrisă de mână și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit, ce punctaj ai obține și cum să îmbunătățești.

Vreau corectare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

← Anterior

Bac Vară 2010 — Științele Naturii

Următor →

Bac Vară Rezervă 2010 — Științele Naturii

← Înapoi la arhiva completă Bac